中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题

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中考数学压轴题策略之动态几何问题

中考数学压轴题策略之动态几何问题
面对中考，考生对待考试需保持平常心态，复习时仍要按知识点、题型、易混易错的问题进行梳理，不断总结，不断反思，从中提炼最正确的解题方法，进一步提高解题能力。

下文准备了动态几何问题的解题策略的内容。

解这类问题的基本策略是：
1.动中觅静：这里的〝静〞就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性.
2.动静互化：〝静〞只是〝动〞的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住〝静〞的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到〝动〞与〝静〞的关系.
3.以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系.
总之，解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住变化中的不变，以不变应万变。

具体做法是：
①全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中的变与变的量及其位置关系;
②应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，变〝动〞为〝静〞;
③在各类〝静态图形〞中运用相关的知识和方法(如方程、相似等)
进行探索，寻找各个相关几何量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。

另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是此题基本的做题思想和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出【答案】，更重要的是明确此题的方法和思路。

中考数学复习考点知识专题讲解---动点型问题归类解析

中考数学复习考点知识专题讲解动点型问题归类解析点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题．它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题．这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力．一、点动问题例1 如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，DE上AB，CF⊥AB，且AE＝EF＝FB＝5，DE＝12动点P从点A出发，沿折线AD－DC－CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止，设运动时间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是( )思路分析分三段考虑：①点P在AD上运动；②点P在DC上运动；③点P在BC上运动．分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．解在Rt△ADE中，综上可得，选项A的图象符合，故选A．点评解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，在具体解题中，可直接判断是一次函数还是二次函数，不需要求出解析式．二、线动问题例2 如图2所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l 垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是( )分析与解分三段考虑：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；综合选项可得，选A．点评解答类似问题，有时候只要我们能判断面积增大的快慢速度就能选出答案．三、面动问题例3 如图3所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为( )分析与解根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段：①小正方形向右未完全穿入大正方形，S＝2×2－V t×1＝4－Vt；②小正方形穿人大正方形，但未穿出大正方形，S＝2×2－1×1＝3；③小正方形穿出大正方形，S＝Vt×1．分析选项可得，选A．四、双动点问题双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高，解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系．例4 如图4，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，点B(10，0)，C(7，4)．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB＝2．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q 从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P 作PM垂直于x轴，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒(t>0)，△MPQ的面积为S．(1)点A的坐标为_______，直线l的解析式为_______；(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；(3)试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；(4)随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．思路分析 (1)利用梯形性质确定点D的坐标，利用sin∠DAB＝2，得到△AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D 的坐标，利用待定系数法求出直线l的解析式；(2)解答本小题，需要弄清动点在各阶段运动过程中的状态．(3)本小题考查二次函数与一次函数在指定区间上的极值，根据(2)中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；(4)△QMN为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论．过点C作CF⊥x轴于点F，则CF＝4，BF＝3，由勾股定理得BC ＝5．过点Q作QE⊥x轴于点E，②当1<t≤2时，如图6所示．过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ＝5t－5， PE＝AF－AP－EF＝11－2t－（5t－5）＝16－7t，③当点M与点Q相遇时，DM＋CQ＝CD＝1，即（2t－4）＋（5t－5）＝7，．解得t＝167时，如图7所示．当2<t<167．∵a＝－5<0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线t＝75∵当0<t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t＝1时，S有最大值，最大值为9；②当1<t≤2时，②如图9所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t＝125．故当t＝209，或t＝125时，△QMN为等腰三角形．点评本题是典型的运动型综合题，难度较大，解题的关键仍然是要对动点运动过程有清晰的理解．。

初中数学专题讲座精编中考动态几何问题

中考动态几何问题动态几何问题通常包括:（1）动点;（2）动直线;（3）动型问题。

通过这些问题，有效的区分学生的档次，在做这类题前一定要基本知识扎实，“化动为静”，通常前两问较简单，有时是“静态”的题，所以一定要认真冷静，有时又需要用数学方法（分类讨论数形结合等），因此一定要多多训练，独立思考，充满信心。

练习:（注：题目难度按照动态几何题目难度编排，并非中考试卷难度） 1.（2000吉林省）如图，在矩形ABCD 中，BC=acm ，AB=bcm ，a>b,且a,b 是方程84231(5)5x x x x x -++=++的两个根,P 是BC 上一动点,动点Q 在PC 或其延长线上，BP=PQ ，以PQ为一边的正方形为PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP=x 。

cm ，正方形PQRS与矩形ABCD 重叠部分的面积为ycm 2． (1)求a 和b ；(2)分别求出0≤x ≤2和2≤x ≤4时，y 与x 之间的函数关系式．2.（2001吉林省）如图，A ，B 是直线l 的两点,AB ＝4厘米,过l 外一点C 作CD//l ，射线BC 与l 所成的锐角∠l ＝60°，线段BC= 2厘米．动点P,Q 分别从B ，C 同时出发，P 以每秒1厘米的速度沿由B 向C 的方向运动，Q 以每秒2厘米的速度沿由C 向D 的方向运动．设P ，Q 运动的时间为t （秒），当t ＞2时，PA 交CD 于E ．（1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长；（2）求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？CPEQD 13. （江西2001）如图，正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，BC ＝2cm ．现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1㎝/s 的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2㎝/s 的速度向点C 运动．设点E 离开点B 的时间为t （s ）． (l)当t 为何值时，线段EF 与BC 平行？(2)设1＜t ＜2，当t 为何值时，EF 与半圆相切？(3)当1≤t ＜2，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP ：PC 的值．CABD4. (2001湖南长沙市)已知：Rt △AOC 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3厘米，OB ＝4厘米．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．设P 、Q 分别为AB 边、OB 边上的动点，它们同时分别从点A 、O 向B 点匀速移动，移动的速度都为1厘米/秒．设P 、Q 移动时间为t 秒（40≤≤t ）.（l ）过点P 作PM ⊥OA 于M ．证明:ABAPBO PM AO AM ==，并求出P 点的坐标（用t 表示）．（2）求△OPQ 的面积S （厘米2）与移动时间t （秒）之间的函数关系式；当t 为何值时，S 有最大值，并求出S 的最大值．（3）当t 为何值时，△OPQ 为直角三角形？（4）①试证明无论t 为何值，△OPQ 不可能为正三角形；②若点P 的移动速度不变，试改变点Q 的运动速度；使△OPQ 为正三角形，求出点Q 的运动速度和此时的t 值．yx5.（2002上海市）操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（1）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的取值范围；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△P CQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图1、图2、图3的形状大小相同，图1供操作、实验用，图2和图3备用）6.（2000吉林省）如图，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰△PQR ，PQ=PR=5cm ，QR=8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一条直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积为Scm 2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S 的值；（2）当t=5秒时，求S 的值；（3）当5秒≤t ≤8秒时，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．A B C D A B CD A B C D图2图1图37.（2002年吉林省）如图，菱形OABC的边长为4㎝，∠AOC=60°，动点P从O出发，以每秒1㎝的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2s后。

中考数学压轴题策略之动态几何问题

中考数学压轴题策略之动态几何问题面对中考，考生看待考试需坚持往常心态，温习时仍要按知识点、题型、易混易错的效果停止梳理，不时总结，不时反思，从中提炼最正确的解题方法，进一步提高解题才干。

下文预备了静态几何效果的解题战略的内容。

解这类效果的基本战略是：
1.动中觅静：这里的〝静〞就是效果中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探求效果中的不变性.
2.动态互化：〝静〞只是〝动〞的瞬间，是运动的一种特殊方式，动态互化就是抓住〝静〞的瞬间，使普通情形转化为特殊效果，从而找到〝动〞与〝静〞的关系.
3.以动制动：以动制动就是树立图形中两个变量的函数关系，经过研讨运动函数，用联络开展的观念来研讨变化元素的关系.
总之，处置静态几何效果的关键是要擅长运用运动与变化的目光去观察和研讨图形，掌握图形运动与变化的全进程，抓住变化中的不变，以不变应万变。

详细做法是：
①片面阅读标题，了解运动的方式与方式，全方位调查运动中的变与变的量及其位置关系;
②运用分类讨论思想，将在运动进程中招致图形实质发作变化的各种时辰的图形分类画出，变〝动〞为〝静〞;
③在各类〝静态图形〞中运用相关的知识和方法(如方程、相似等)停止探求，寻觅各个相关几何量之间的关系，树立相应的数学模型停止求解。

另外，需求强调的是此类题型普通终点低，第一步往往是一个十分复杂的效果，考生普通都能拿分，但恰恰是这一步效果的解题思想和方法是此题基本的做题思想和方法，是特殊到普通数学思想和方法的详细运用，所以考生在处置第一步时不只要准确计算出答案，更重要的是明白此题的方法和思绪。

中考数学动态几何问题课件 (共37张PPT)

2 2
1
1
S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
2 2 2
1
1
1
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边形PABQ面积的最小值为( C )

2023年九年级数学中考压轴复习专题几何综合——动点问题课件

6−5
∴
=

4

Rt△ADH中，AD=5，tanA= = 3
6−5
∴y与x的函数关系式为
=
∴DH=4，AH=3.在Rt△EDH中，DH=4，

25
EH=x-3，
( 6 ≤≤35)
∴DE²=DH²＋EH²=4²＋(x-3)²=x²-6x＋
4
例题在△ABC中,AC=25,AB =35,tanA=3,D为AC边上的一点，且AD=5 ,E,F都为AB边上的动
所以结合已知条件与所给图形进行认真分析是非常重要的，
当然这样的分析是建立在熟练运用常见图形的几何性质之上
的.
（2）类似于例题这样的几何计算型的压轴题，同学们
要切实体会解直角三角形与相似三角形在计算中所发挥的
重要作用.
（3）对于类似于例题这样的动态几何，应时刻谨记
“动静结合”、“数形结合”的处理原则，以及“分类
∴∠EDF＋∠ADF=90°，即
∠ADE=90°.在Rt△ADE中，AD=5，

4
tanA= = 3
4
20
5
25
∴DE=3AD= 3 ，AE=3AD= 3
∴△EDF∽△EAD，

∴ =
∴DE²=AE·EF=x·（x一y）=x²-xy.∴x²-6x＋25=x²xy
（2）如下图，作DH⊥AE于点H，在
目录
01
研究背景
03
典型例题探究
动态几何研究重要性
总结分析动态问题处理技巧
05
02
知识脉络梳理
初中阶段几何知识梳理
04 小试能手
技巧，
挑战自我
展

2020年中考数学复习初中数学动态几何问题 (29张PPT)

ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD的中点，连结MN，设点D运动的时间为 t.
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
[解析] (3)根据等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，从而求出t的值．
初中数学动态几何问题
动态几何问题是指以几何知识和图形为背景，蕴涵一些运动变化的几何元素，主要研究几何图形在运动中所遵循的规律，如图形的形状、位置、数量关系等．
就运动对象而言，有点动(点在线段或弧线上运动)、线动(直线或线段的平移、旋转)和面动(部分图形的平移、旋转、翻折)等，而且在运动过程中大多是动中有静，动静结合．
(3)根据题意可知，MD＝12AD，DN＝12DC，MN＝12AC＝3.
i)当MD＝MN＝3时，△DMN为等腰三角形，此时AD＝AC＝6，
∴t＝6；
ii)当MD＝DN时，AD＝DC，
1 过D作DH⊥AC交AC于H，则AH＝2AC＝3， ∵AC＝6，BC＝8， ∴AB＝10，
∵cosA＝AAHD＝AACB＝35，
例 2 已知：如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，直线 y＝x－2 经过 A、C 两点，且 AB＝2.
(2)若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分别交 y 轴、线段 BC 于点 E、D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位的速度运动．当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连结
位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达B点即停止运动，M，N分别是AD，CD 的中点，连结MN，设点D运动的时间为t.

初三数学专项复习之动态几何

初三数学专项复习之动态几何知识精讲一．与函数结合动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与知量间的一种变化关系，这种变化关系确实是动点问题中的函数关系．那么，我们一样用以下几种方法建立函数：（1）应用勾股定理建立函数解析式；（2）应用比例式建立函数解析式；（3）应用求图形面积的方法建立函数关系式．二．动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是专门图形，考查问题也是专门图形，因此要把握好一样与专门的关系；分析过程中，专门要关注图形的特性（专门角、专门图形的性质、图形的专门位置）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的专门性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、专门角或其三角函数、线段或面积的最值．动态几何常见的题型有三大类：（1）点动问题；（2）线动问题；（3）面动问题．解决动态几何问题的常见方法有：（1）专门探路，一样推证；（2）动手实践，操作确认；（3）建立联系，运算说明．动态几何习题的共性：1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查；四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数；2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究专门情形下的函数值．三．双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题．它要紧以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题．这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力，其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点．常以双动点为载体，探求函数图象问题、探求结论开放性问题、探求存在性问题、探求函数最值问题．双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型．这类试题信息量大，对同学们猎取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观看和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并专门关注运动与变化中的不变量、不变关系或专门关系,动中取静,静中求动．三点剖析一．考点：1．三角形、四边形与函数综合问题；2．三角形、四边形中的动点问题．二．重难点：1．三角形、四边形与函数综合问题；2．三角形、四边形中的动点问题．题模精讲题模一：三角形与动点问题例1.1 如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，点P为△ABC内一点．（1）连接PB，PC，将△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，点B，C，P的对应点分别为点D，A，E，连接CE．①依题意，请在图2中补全图形；②假如BP⊥CE，BP=3，AB=6，求CE的长．（2）如图3，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值．小慧的作法是：以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得到△AMN，那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值，连接CN，当点P落在CN上时，此题可解．请你参考小慧的思路，在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN．并直截了当写出当AC=BC=4时，PA+PB+PC的最小值．【答案】（1）①②33（2）见解析，2226【解析】（1）①补全图形如图所示；②如图，连接BD、CD∵△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC=A D，∵∠ACB=90°，∴四边形BCAD是矩形，∴CD=AB=6，∵BP=3，∴DE=BP=3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，（2）证明：如图所示，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转6 0°得到△AMN，连接BN．由旋转可得，△AMN≌△ABP，∴MN=BP，PA=AM，∠PAM=60°=∠BAN，AB=AN，∴△PAM、△ABN差不多上等边三角形，∴PA=PM，∴PA+PB+PC=CP+PM+MN，当AC=BC=4时，当C、P、M、N四点共线时，由CA=CB，NA=NB可得CN垂直平分AB，∴，例1.2 以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO_；②如图2，将图1中的△AOB论进行证明；（2）如图3N在线段OD P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．【答案】（12【解析】（1）①连接EF ，∵点E 、F 、M 分别是AC 、CD 、DB 的中位线， ∴EF 、FM 分别是△ACD 和△DBC 的中位线，∴EF//AD,FM//CB ，EFM EM//CD.∵Rt △AOB∵Rt △COD∴△AOD ∽△BOC ．例1.3 在△ABCABC 绕顶点C 顺（1）如图1AC AB 相交于点D ．证明：△BC D 是等边三角形；（2）如图2（3）如图3，设AC 中点为EP EP ，求：EP 长度最大，并求出EP 的最大值．【答案】（123E P 【解析】（11，∵在△ABCAC ，∴在△CDB∴△BCD 是等边三角形；（2）解：如图2（3EP 例1.4 在图中已标出），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC 和ED 重合），在BC 边上有一动点P ．（1）当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接AP ，求线段AP 的长；（2）当点PPAB 的度数．探究二：如图④，将△DEF 的顶点D 放在△ABC 的BC 边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF ，使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于M 、N 两点，连接MN ．在旋转△DEF 的过程中，△A MN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】探究一：（1）依题意画出图形，如图所示：FP 为角平分线，过点A 作AG ⊥BC 于点G在Rt △APG（2）由（1 如图所示，以点A BC 交于点过点在Rt∴∠PAB 的度数为15°或75°．探究二：△AMN 的周长存在有最小值．如图所示，连接AD∵△ABC ∵在△AMD 与△∴△AMD ≌△CND在Rt △AMN ．例1.5 如图，在△，DE=4c m ．动线段DE （端点D 从点B 开始）沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 运动，当端点E 到达点C 时运动停止．过点E 作EF ∥AC 交AB 于点F （当点E 与点C 重合时，EF 与CA 重合），连接DF ，设运动的时刻为t 秒（t ≥0）．（1）直截了当写出用含t 的代数式表示线段BE 、EF 的长；（2）在那个运动过程中，△DEF 能否为等腰三角形？若能，要求出t 的值；若不能，请说明理由；（3）设M 、N 分别是DF 、EF 的中点，求整个运动过程中，MN 所扫过的面积．【答案】（1）t+4）（cm ）（2）t=03【解析】（1）∵DE=4cm ，∴BE=BD+DE=（t+4）cm ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BCA ，∴EF ：CA=BE ：BC ，即EF ：t+4）：16，解得：t+4）（cm ）；（2①如图1，∵当DF=EF 时，∴∠EDF=∠DEF ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵EF ∥AC ，∴∠DEF=∠C ，∴∠EDF=∠B ，∴点B 与点D 重合，∴t=0；，当DE=EF 时，则），DE=DF 时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C ， ABC ．综上所述，当t=0DEF为等腰三角形．（3）如图4，设P BP，∵EF∥AC，∴△FBE∽△ABC．又∵∠BEN=∠C，∴△NBE∽△PBC，∴∠NBE=∠PBC．∴点B，N，P共线，∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．如图5，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．∵M、N分别是DF、EF∴MN∥DE，且．分别过点T、P作TK⊥K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST 交PL于点R TKLR∵当t=0时，0+4）当t=12时，，•10•∴PR=PL﹣RL=PL﹣TK=3∴S平行四边形PQST=ST•∴整个运动过程中，MN．题模二：四边形与动点问题例2.1 如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，连结AM、CM．（1）当M点在何处时，AM＋CM的值最小；（2）当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；（3）当AM＋BM＋CM【答案】（1）见解析（2）见解析（3【解析】该题考查的是四边形综合．（1）当M点落在BD小．……………………………1分（2）如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时……………………………2分理由如下：∵M是正方形ABCD对角线上一点∴△ABM≌△CBM3分EC上取一点N BN∴△BNE≌△ABM……………………3分∴△BMN是等边三角形．4分∴当M点位于BD与CE于EC的长．……………………………5分（3）过E设正方形的边长为x6分在Rt△EFC中，7分例2.2 如图1B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CADE，BE．C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、F（2B．将△CDE绕点D顺时针旋转αC①如图2②如图3，点M为DC中点，点P究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值范畴？【答案】（1）如图1，证明见解析；（2）①见解析；②【解析】（1）补全图形，如图1所示；证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD∴△EBD是等边三角形（2）①证明：如图2又∵点C与点F关于BD对称∴四边形BCDF为正方形，由（1）△BDE为等边三角形SAS）∴△EDF②线段PM设射线CA交BD于点O，I：如图3（1）DC，MP D、M、P、C共线时，PM有最小值II：如图3（2）P、D、M、C共线时，PM有最大值．当点P∴线段PM例2.3 如图1，在菱形ABCD中，tan∠ABC=2，点E从点D动身，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时刻为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BC D），得到对应线段CF．（1）求证：BE=DF；（2）当t=___秒时，DF的长度有最小值，最小值等于___；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BC D），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直截了当写出点F到直线AD的距离y关于时刻t的函数表达式．【答案】（1）见解析（2），12（3）6（4）﹣12ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC =BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知现在DF最小，求得B E′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，依照tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得D E；②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得（4）连接GF分别交直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD 于点H，证△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得CGN=∠DCN=∠CNG知tan∠ABC=tan∠CGN=2可得，由GF=DE=t得FM=t﹣12，利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，现在DF最小，在Rt△ABE′中，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴则AE′=6∴DE′，DF=BE′=12，故答案为：，12；（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴∴（4﹣12如图GF AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥A D于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣12，∵tan∠ABC=2，∴t﹣12），即﹣12例中，点E是对角线AC的中点，点F在边C D上，连接DE、AF，点G在线段AF上（1）如图①，若DG是△ADFD的中线，DG=2.5，DF=3，连接E G，求EG的长；（2）如图②，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD的中点，连接F H，求证：∠CFH=∠AFD；（3）如图③，若DG⊥AF交AC于点H，点F是CD上的动点，连接EG．当点F在边CD上（不含端点）运动时，∠EGH的大小是否发生EGH的度数；若发生改变，请说明理由．【答案】（1（2（3）不改变，∠EGH=45°【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC，∠ADF=∠BCD=90°，∠DAC=∠ACB=∠ACD=4 5°，∵DG是△ADF的中线，DG=2.5，∴AF=2DG=5，∴，∴CF=CD﹣DF=1，∵点E是对角线AC的中点，G是AF的中点，∴EG的中位线，∴（2DH交BC于M，如图所示，∵DG⊥AF，∴∠AGH=∠DGA=∠DGF=90°，∴∠AFD+∠FDG=90°，∵∠DMC+∠FDG=90°，∴∠AFD=∠DMC，在△CDM 和△DAF∴△CDM ≌△DAF （∴CM=DF ，∵点F 是CD 的中点， ∴DF=CF ， ∴CM=CF ，在△CMH和△CFH ，∴△CMH ≌△CFH （∴∠CMH=∠CFH ， ∴∠CFH=∠AFD ；（3）解：∠EGH 的大小不发生改变，∠EGH=45°；理由如下： ∵点AC 的中点，∠ADC=90°， ∴，∴∠∠DAC=45°， ∴∠AED=90°=∠AGD ， ∴A 、D 、G 、E 四点共圆， ∴∠AGE=∠ADE=45°， ∴∠EGH=90°﹣45°=45°．例2.5 如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AC=6cm ，BD=8cm ，动点P ，Q 分别从点B ，D 同时动身，运动速度均为1cm/s ，点P 沿B →C →D 运动，到点D 停止，点Q 沿D →O →B 运动，到点O 停止1s 后连续运动，到点B 停止，连接AP ，AQ ，PQ ．设△APQ 的面积为y （cm2）（那个地点规定：线段是面积0的几何图形），点P 的运动时刻为x （s ）．（1）填空：AB=______cm ，AB 与CD 之间的距离为______cm ；（2）当4≤x ≤10时，求y 与x 之间的函数解析式；（3）直截了当写出在整个运动过程中，使PQ 与菱形ABCD 一边平行的所有x 的值．【答案】（1）5（2）（3AC=6cm，BD=8cm，∴AC∴，设AB∴△ABC的面积•h，又∵△ABC的面积菱形•6×8=1 2，，∠CDB=θ，则易得：sinθcosθ①当4≤x≤5时，如答图1﹣1与点O P在线段BC上．∵PB=x，∴PC=BC﹣PB=5﹣x．过点P作PH于点H•cosθ﹣x）．∴y=S△•35﹣x）；②当5＜x≤92OB上，点P 在线段CD上．PC=x﹣5，PD=CD﹣PC=5﹣（x﹣5）=10﹣x过点P作PH⊥BD于点H，则PH=PD•sinθ10﹣x）．∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S BCPQ﹣S△APDABQ BCD﹣）﹣S△••OA•OC•PH×h6×x）×38×3x﹣1）•﹣x）]x1﹣3所示，现在点Q 与点B 重合，点P 5．x 之间的函数解析式为：1所示．现在BP=QD=x ，则BQ=8﹣x ．，BC ，如答图2﹣2所示．现在PD=10﹣x ，QD=x ﹣1．x随堂练习随练1.1 在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B（0，3），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A ′BO ′，点A ，O 旋转后的对应点为A ′，O ′，记旋转角为α．（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA ′的长；（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O ′的坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA 上的一点P 旋转后的对应点为P ′，当O ′P+BP ′取得最小值时，求点P ′的坐标（直截了当写出结果即可）（2 （3【解析】（1）如图①，∵点A （4，0），点B （0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转90°，得△A ′BO ′， ∴BA=BA ′，∠ABA ′=90°， ∴△ABA ′为等腰直角三角形， ∴AA ′（2）作O ′H ⊥y 轴于H ，如图②，∵△ABO 绕点B 逆时针旋转120°，得△A ′BO ′， ∴BO=BO ′=3，∠OBO ′=120°， ∴∠HBO ′=60°，在RtBO ′HBO ′=30°， ∴′∴∴O（3）∵△ABO120°，得△A ′BO ′，点P 的对应点为P ′，∴BP=BP′，∴O ′P+BP ′=O ′P+BP ，作B 点关于x 轴的对称点C ，连结O ′C 交x 轴于P 点，如图②，则O ′P+BP=O ′P+PC=O ′C ，现在O ′P+BP 的值最小， ∵点C 与点B 关于x 轴对称， ∴C （0，﹣3），设直线y=kx+b ，把OC （0∴直线当﹣3=0），∴∴O′P′作P′D⊥O′，∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，∴∠DP=30∴O′′P′∴DH=O﹣O′∴P随练1.2点M为对角线BD（不含点B）上任意一点，△ABE是等边三角形，将B M绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①直截了当回答：当点M②当点M【答案】（1）见解析；（2）连接AC，当点M位于BD与AC的3）当点M位于BD、CE的交点处时，EC的长．理由见解析在△AMB和△ENB中，∴△AMB≌△ENB（SAS）；（2）①依照“两点之间线段最短”，连接AC，当点M位于BD与AC②连接CE，当点M位于BD、CE理由如下：如图，连接CE交BD于点M，连接AM，在EM上取一点N在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD（SSS），在△EBN和△CBM中，∴△EBN≌△CBM（ASA），∴现在BN由BM绕点B逆时针旋转60°得到，由（1）知：△AMB≌△ENB，∴△BMN是等边三角形，∴依照“两点之间线段最短”可知当点M位于BD、CE的交点处EC的长．为2的正方形ABCD与边长为的正方形AEFG按图1位置放置，A D与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．（1）小明发觉DG⊥BE，请你帮他说明理由．（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出现在BE的长．（3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A连续逆时针旋转，线段D G与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【答案】（1）见解析（2（3）6【解析】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴∠AGD=∠AEB，如图1所示，延长EB交DG于点H，在△ADG中，∠AGD+∠ADG=90°，∴∠AEB+∠ADG=90°，在△EDH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，∴∠DHE=90°，则DG⊥BE；（2）∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE，∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE，在△ADG和△ABE中，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴DG=BE，如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=9 0°，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠MDA=45°，在Rt△MDA=45°，∴cos45°∵AD=2，∴在Rt△AMG中，依照勾股定理得：，∵，∴（3）△GHE和△BHD面积之和的最大值为6，理由为：关于△EGH，点H在以EG为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△EGH的高最大；关于△BDH，点H在以BD为直径的圆上，∴当点H与点A重合时，△BDH的高最大，则△GHE和△BHD面积之和的最大值为2+4=6．随练1.4 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA 上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直截了当写出线段CK长的最大值．=（2）成立，证明见解析（3）323+【答案】（1）CH AB=．…………………………………1分【解析】（1）CH AB（2）结论成立．…………………………………2分证明：如图11，连接BE．在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=9 0°．[来∵DE=DF，∴AF=CE．在△ABF和△CBE中，∴△ABF≌△CBE．∴∠1=∠2．…………………………………………3分∵EH⊥BF，∠BCE=90°，∴H，C两点都在以BE为直径的圆上．∴∠3=∠2．∴∠3=∠1．∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，∴∠4=∠HBC．∴CH=C B．…………………………………………………………………5分∴CH=A B．…………………………………………………………………6分（3）+．………………………………………………………………………7分323随练1.5 已知，如图①，在▱ABCD 中，AB=3cm ，BC=5cm ．AC ⊥AB ．△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM ，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 动身，沿CB 方向匀速运动，速度为1cm/s ，当△PNM 停止平移时，点Q 也停止运动．如图②，设运动时刻为t （s ）（0＜t ＜4）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ ∥MN ？（2）设△QMC 的面积为y （cm2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使S △QMC ：S 四边形ABQP=1：4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2）y=3）2；（4）当时，PQ ⊥MQ【解析】如图1，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：，由平移性质可得MN ∥AB ； ∵PQ ∥MN ，，2PF ⊥由S ×5AE ， ∴∵PF ⊥BC ，AE ⊥BC ∴AE ∥PF ，，解得：∵PM∥M因此，△QCM是面积×t（3）∵PM∥BC，∴S△PQC=S△MQC，∵S△QMC：S四边形ABQP=1：4，∴S△：5，则54×3，t2﹣解得：t1=t2=2，∴当t=2时，S△QMC：S四边形ABQP=1：4；（4）如图2，∵PQ⊥MQ，∴∠MQP=∠PFQ=90°，∵MP∥BC，∴∠MPQ=∠PQF，∴△MQP∽△PFQ，∴PQ2=PM×FQ，解得答：当PQ⊥随练1.6 ABCD中，AB=4，AD=8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M（1）如图1，当CE=5，M点落在线段AD上时，求MD的长（2）如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△C EF沿EF折叠，①连接BM，△BME是否能够是直角三角形？假如能够，求现在CE 的长，假如不能够，说明理由②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和现在CE的长【答案】（1）MD（2）①能够；CE=2②四边形ABMD），现在CE的长为4【解析】（1）如图1，作EN⊥AD于点N，∴∠ANE=∠ENM=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=8，∴∠A=∠B=∠ANE=90°，∴AB=NE=4，AN=BE．∵EC=5，∴BE=3，∴AN=3．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM=5．在Rt△EMN中，由勾股定理，得MN=3，∴MD=8﹣3﹣3=2．答：MD的长为2；（2）①如图2，当∠BME=90°时，∵∠EMF=90°，∴∠BMF=180°，∴B、M、F在同一直线上．∵F是BC∴．∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴MF=CF=2，EC=EM．在Rt△BCF中，由勾股定理，得∴2．设EC=EM=x，则BE=8﹣x，在Rt△BME中，由勾股定理，得（8﹣2）2，∴如图°时，∴∠MEC=90°∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF=∠C=90°，CF=FM=2，∴四边形ECFM是正方形，∴∴CE=2②如图4ABMD的周长最小，∴BM+MD最小，∴B、M、D在同一直线上，∴点M在BD上．连结MC，∵△EFC与△EFM关于直线EF对称，∴△EFC≌△EFM，∴EC=EM，FC=FM．∴EF垂直平分MC，∴MG=CG，∴GF是△CDM的中位线，∴FG∥BD，∴BE=CE．∵BC=8，∴CE=4．在Rt△ABD中，由勾股定理，得∴四边形ABMD的周长的最小值为：．答：四边形ABMD的周长的最小值为（），现在CE的长为4．随练1.7 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，现在PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ= 2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（运算结果保留根号）【答案】（1）5（23【解析】（1为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，而∠CEP=∠MPE，∴∠MEP=∠MPE，∴ME=MP=5，在Rt△ENM中，∴NM′=11，∵AF∥NE，，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，∵ER=GQ，ER∥GQ，∴四边形ERGQ是平行四边形，∴QE=GR，∵GM=GM′，∴MG+QE=GM′+GR=M′R，现在MG+EQ最小，四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，NR=4﹣2=2，M′∵ME=5，GQ=2，∴四边形MEQGA、C分别在正方形EFG随练1.8 边长为2H的两边DE、DG上（如图1），现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转，当A点第一次落在DF上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M，BC边交DG于点N．（1（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求正方形ABCD 旋转的度数；（3）如图3p，在旋转正方形ABCD的过程中，p23）见解析【答案】（1（12分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（3．．．．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分化．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分课后作业作业1 已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，O C．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直截了当写出OA+OB+OC的最小值．【答案】（1）①90°；②OA2+OB2=OC2；证明见解析（2）①α=β=120°，OA+OB+OC有最小值；图形见解析【解析】（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，如图1，连接OD，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OC O′是等边三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四点B，O，O′，A′共线，∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O为△ABC的中心，∵四点B，O，O′，A′共线，∴BD⊥AC，∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，∴A′∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′作业2 几何模型：条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则P A+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC 上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是____；（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．【答案】（12）3）【解析】（1）由题意知：连接ED交AC于点P，现在PB+PE最小，最小值为ED，∵点E是AB的中点，∴AE=1，由勾股定理可知：ED2=AE2+AD2=5，∴∴PB+PE（2）延长AO交⊙O于点D，连接DC，AC，∴AD=4，∵∠AOC=60°，OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC=OA=2，∵AD是⊙O直径，∴∠ACD=90°，∴由勾股定理可求得：∴PA+PC的最小值为（3）作点C，使得点P与点C关于OB对称，作点D，使得点P与点D关于OA对称，连接OC、OD、CD，CD交OA、OB于点Q、R，现在PR+RQ+PQ最小，最小值为CD的长，∵点P与点C关于OB对称，∴∠BOP=∠COB，OP=OC=10，同理，∠DOA=∠POA，OP=OD=10，∵∠BOP+∠POA=45°，∴∠COD=2（∠BOP+∠POA）=90°，由勾股定理可知：∴△PQR周长的最小值为作业3 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，作正方形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ．（1）直截了当写出线段AN和BQ的数量关系是______．（2）将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转θ（0°＜θ≤36 0°）①判定（1）的结论是否成立？请利用图2证明你的结论；②若BC=MN=6，当θ（0°＜θ≤360°）为何值时，AN取得最大值，请画出现在的图形，并直截了当写出AQ的值．【答案】（1）BQ=AN（2）【解析】（1）BQ=AN．理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，BM=AM，∴∠AMB=∠AMC=90°．∵四边形PQMN是正方形，∴QM=NM．在△QMB和△NMA中，∴△QMB≌△NMA（SAS），∴BQ=AN．故答案为：BQ=AN；（2）①BQ=AN成立．理由：如图2，连接AM，∵在Rt△BAC中，M为斜边BC中点，∴AM=BM，AM⊥BC，∴∠AMQ+∠QMB=90°．∵四边形PQMN为正方形，∴MQ=NM，且∠QMN=90°，∴∠AMQ+∠NMA=90°，∴∠BMQ=∠AMN．在△BMQ和△AMN中，∴△BMQ≌△AMN（SAS），∴BQ=AN；②由①得，BQ=AN，∴当BQ取得最大值时，AN取得最大值．如图3，当旋转角θ=270°时，BQ=AN（最大），现在∠AMQ=9 0°．∵BC=MN=6，BC的中点，∴MQ=6，，∴在Rt△AMQ作业4 （1）发觉：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，A B=b．填空：当点A位于_________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_________（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直截了当写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM= PB，∠BPM=90°，请直截了当写出线段AM长的最大值及现在点P的坐标．【答案】（1）CB的延长线上；a+b（2）见解析（3）见解析【解析】（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，（2）①CD=BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD与△EAB中，∴△CAD≌△EAB，∴CD=BE；②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN=PA=2，BN=AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），∴OA=2，OB=5，∴AB=3，∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，∴当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，最大值=AB+AN ， ∵∴最大值为；如图2，过P 作PE ⊥x 轴于E ， ∵△APN 是等腰直角三角形， ∴∴OE=BO3=2∴P （2作业5（1当写出你得到的结论．（21）中的结论是否仍旧成立？假如成立，请予以证明；假如不成立，请说明理由．若DEFG 绕点D【答案】（1）垂直且相等（2【解析】（1）如图（1∵△ABC D 是BC 的中点，∵在△BDG 和△ADE∴△BDG ≌△ADE （SAS 延长EA 到BG 于一点M∴线段BG 和AE 相等且垂直；（2）成立，如图（2），延长EA 分别交DG 、BG ∵△ABC D 是BC 的中点，∵在△BDG和△ADE∴△BDG≌△ADE（SASBG⊥AE（3）由（2）知，要使AE最大，只要将正方形绕点D逆时针旋旋转270°，即A，D，E在一条直线上时，AE最大；∵正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，E点运动的图形是以点D为圆心，DE为半径的圆，∴当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG 绕点D为最大值时，1，已知B点坐标是（6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．（1）点M的坐标是（____，____），DE=____；（2）小明在研究动点问题时发觉，假如有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，假如一动点F从点B动身以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．（3）连接PQ，求当运动多少秒时，【答案】（1）（2），8（23【解析】∵点B的坐标为（6∴tan∠∴∠BOA=30∵在M是ED的中点，∴∴∠°，∵BD⊥ED，∴∠EDB=90°．∴∠EDO+∠BDA=90°．∵∠BDA+∠DBA=90°，∴∠EDO=∠DBA=30°∴AD=AB•tan30°=6∴∴OE=ODtan30°．∵M是DE的中点，2）．（2）依照题意画出点PD的运动时刻秒；点F运动的时刻=6÷1=6∵点P是BD∴点P P的坐标为（3），P1的坐标为（1）∴P；∵M EOD=90°∴∴点ME．∵∠BOA=30°，∴∠EOM=60°．∴点M运动的路线长∵GH=DE，∴点G（3P、Q分别为GH的中点，∴．∴当PQ最小，当FH⊥y轴时，FH最小值如图2，连接FH．设现在运动时刻为t秒，则AF=6﹣t，∴OG=（4﹣t在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH2=GH2﹣OG2∴OH2=82﹣3（4﹣t）2．∵OH=AF，∴（6．PQ最小值作业AB= 8．问题摸索：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF．（1）当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，要求出；若不是，要求出这两个正方形面积之和的最小值．（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由．问题拓展：（3）如图2，以AB 为边作正方形ABCD ，动点P 、Q 在正方形ABC D 的边上运动，且PQ=8．若点P 从点A 动身，沿A →B →C →D 的线路，向点D 运动，求点P 从A 到D 的运动过程中，PQ 的中点O 所通过的路径的长．（4）如图3，在“问题摸索”中，若点M 、N 是线段AB 上的两点，且AM=BN=1，点G 、H 分别是边CD 、EF 的中点，请直截了当写出点P 从M 到N 的运动过程中，GH 的中点O 所通过的路径的长及OM+OB 的最小值．【答案】（1）不是，最小值为32（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK （3）6π（4【解析】（1）当点P 运动时，这两个正方形的面积之和不是定值．设AP=x ，则PB=8-x ，依照题意得这两个正方形面积之和=x2+（8-x ）2 =2x2-16x+64 =2（x-4）2+32，因此当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32．（2）存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK 与△DFK ．依题意画出图形，如答图2所示．设AP=a ，则PB=BF=8-a ．AB8(8)8a ，∴DK=PD-PK=a-APK=1PK 2S △ •EF，（3）当点P 从点A 动身，沿A →B →C →D 的线路，向点D 运动时，不妨设点Q 在DA 边上，。

中考总复习专题三：动态几何问题

专题三：中考动态几何问题（第1课时）课程解读一、学习目标：了解几何动态问题的特点,学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法．二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容,有点动、线动、图形运动等类型，呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性．知识梳理几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题．它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按某一规则运动的动态情景，通过观察、分析、归纳、推理，动中窥定,变中求静，以静制动，从中探求本质、规律和方法,明确图形之间的内在联系．几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来,实际上是一般化与特殊化的方法．当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时,常建立方程模型求解．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．典型例题知识点一：动点问题例 1.如图所示，在直角梯形ABCD中，CD∥AB，∠A＝90°，AB＝28cm，DC ＝24cm，AD＝4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动,点N从点B同时出发,以2cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点也随之停止运动．则四边形ANMD的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s)的函数图象大致是（）思路分析：1）题意分析:本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等．解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD 是固定不动的，可用含t的式子表示出面积y,再根据y与t之间的关系式确定函数图象．2、如图所示，已知直线31y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为直角边在第一限象内作等腰Rt△ABC，∠BA C=90°，且点P(1，a）为坐标系中的一个动点。

中考二轮复习数学难点第3讲动态几何

中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。

动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。

在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。

但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。

对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。

但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。

所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。

由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。

【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。

在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。

具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【例2】在△ABC中，∠ACB=45º．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝3BC，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D 运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。

中考数学复习专题动态型问题PPT课件

(1)当t=1时，S有最大值，最大值为9；
(2)当t= 8 时，S有最大值，最大值为 6 4 ；
7
7
(3)0＜S＜4
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段 DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰
三角形？请直接写出t的值
如答图4所示，点M在线段 CD上，与Q相遇前时， MQ=CD-DM-CQ=7-（2t4）-（5t-5）=16-7t， MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t= 2 0
-4
k
b

0
解得：k=1，b=4，
∴y=x+4．
∴点A坐标为（-4，0），直线l的解析式为：y=x+4．
（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系
式，并写出相应的t的取值范围；
（2）解答本问，需要弄清动点的运动过程： 1 ①当0＜t≤1时，②当1＜t≤2时，③当2＜t＜
时6 ，
7
(1)S=-5t2+14t；
二、解题方法
（1）动中求静：找出运动过程中导致图形本质发生变化的分界点，由分界点确定区域（即分类思想），在界点间找共性（即为静）。
（2）以静制动，在界点间选取代表，得出静态图形，从而建立数学模型求解，达到解决动态问题的目的。
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）
函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系
A．
B．
C．
D．

中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题

中考数学压轴题策略之动态几何问题

中考数学复习考点知识专题讲解---动点型问题归类解析

初中数学专题讲座精编中考动态几何问题

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