勾股数规律的探究

勾股数规律的探究

在直角三角形中，斜边长为c，两条直角边长分别为a、b，那么a2+b2=c2，这个结论通

常叫做勾股定理，

因为在中国古代，

称直角三角形较短的一条直角边为勾，

较长的一条直角边为股，斜边为弦．

使a2+b2=c2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道

3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．

如下表，其中所给的每行的三个数

a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有的数的规律，

把b、c用a的代数式表示出来，并写出①当

a=2n（n为大于等于1的整数）时，b、c的值；②当n=20时，b、c的值．6，8，10 62+82=1028，15，17 82+152=17210，24，26 102+242=26212，35，37 122+352=372… 2n，b，c2n2+b2=c2 观察得出表中已有数的规律为

⎩⎨⎧+==+2222bccba由①得（b+c）（c-b）=a2 ③

把②代入③得

b=42a-1，c=42a+1 当a=2n时，b=442n-1=n2-1 c=442n+1=n2+1 当a=20时，b=102-1=99，c=102+1=101 规律：当a是偶数2n（n为大于等于1整数）时，b为n2-1，c为n2+1，不难看出c=b+2，即2n，n2-1，n2+1为勾股数．

下面我们再来探究为a奇数2n+1（n为大于1的整数）时，勾股数的规律．

我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出

已有数的规律为

⎩⎨⎧+==+1222bccba把②代入①得b=212-a③①②①②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21)12(2++n当a=2n+1时，b=21)12(2-+n，c=21)12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21)12(2-+n，c为21)12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21)12(2-+n，21)12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．

故应填②．

点评：

由以上例题解答可以看出，

利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题

比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．