探究勾股数
探究：关于勾股定理的那点事(勾股的历史、证明,勾股数探究等)
探究：关于勾股定理的证明的那点事在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”（Pythagoras Theorem）。
数学公式中常写作a2+b2=c2勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。
据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。
勾股定理指出：直角三角形两直角边（即“勾”“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2 (为了编辑省时，以下“a2”用“a^2”代替)勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。
我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。
”它被记录在了《九章算术》中。
勾股数组满足勾股定理方程a^2+b^2=c^2的正整数组(a,b,c)。
例如(3,4,5)就是一组勾股数组。
由于方程中含有3个未知数，故勾股数组有无数多组。
勾股数组的通式：a=m^2-n^2b=2mnc=m^2+n^2(m>n,m,n为正整数）推广1、如果将直角三角形的斜边看作二维平面上的向量，将两直角边看作在平面直角坐标系坐标轴上的投影，则可以从另一个角度考察勾股定理的意义。
即，向量长度的平方等于它在其所在空间一组正交基上投影长度的平方之和。
2、勾股定理是余弦定理的特殊情况。
勾股定理定理如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^ 2=c^2;；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古埃及人利用打结作Rt如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2;，还有变形公式：A B=根号（AC^2+BC^2），如：一条直角边是3，另一条直角边是4，斜边就是3×3+4×4=x×x，x=5。
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿2
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿2一. 教材分析《数序活动探寻“勾股数”》是苏科版数学八年级上册的一节探究活动课。
本节课是在学生学习了勾股定理的基础上进行的，通过引导学生进行动手操作、观察、猜测、验证等活动，让学生发现并证明勾股数的存在。
教材通过数序活动的形式，让学生在实践中感受数学的乐趣，培养学生的动手操作能力和探究能力。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了勾股定理，对勾股定理有一定的了解。
但是，对于勾股数的定义、性质和判定方法，学生可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，我需要引导学生回顾勾股定理，为新课的学习做好铺垫。
同时，学生对于探索性问题比较感兴趣，通过数序活动，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握勾股数的定义、性质和判定方法，能够找出常见的勾股数。
2.过程与方法：通过数序活动，培养学生的动手操作能力、观察能力、猜想能力和验证能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学的乐趣，培养学生的探究精神，提高学生对数学学科的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握勾股数的定义、性质和判定方法，能够找出常见的勾股数。
2.教学难点：让学生通过数序活动，发现并证明勾股数的存在。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究法、合作学习法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、数序活动素材等，辅助教学，使抽象的数学问题形象化、具体化。
六. 说教学过程1.导入：回顾勾股定理，引导学生思考勾股数的定义和性质。
2.探究：分组进行数序活动，让学生找出常见的勾股数，并观察、猜测、验证勾股数的存在。
3.总结：引导学生归纳总结勾股数的定义、性质和判定方法。
4.应用：布置课后练习，让学生运用所学知识解决实际问题。
七. 说板书设计板书设计如下：判定方法：……八. 说教学评价教学评价主要包括过程性评价和终结性评价两部分。
八年级数学上册《探寻勾股数》教案、教学设计
b.对于基础较好的学生，引导他们深入探索勾股定理的证明过程，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
4.精讲多练，巩固知识：在教学过程中，教师应注重讲解与练习的相结合，让学生在解答过程中巩固所学知识，提高解题能力。
5.拓展延伸，培养创新：在学生对勾股定理有了基本掌握后，引导他们探索勾股定理在其他领域中的应用，如物理、工程等，培养学生的创新思维和跨学科素养。
2.提倡学生独立思考，遇到问题可以与同学讨论，但不得直接抄袭他人答案。
3.家长要关注学生的学习情况，协助学生完成实践题和思考题，培养学生的自主学习能力。
4.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈和指导，帮助学生提高。
2.提高题：尝试完成课本第17页提高题6、7。这两道题目涉及勾股定理的逆向应用，有助于培养学生的逆向思维和解决问题的能力。
3.实践题：结合生活实际，设计一道与勾股定理相关的实际问题，并运用勾股定理解决问题。例如，测量学校旗杆的高度、计算三角形土地的面积等。要求学生将问题、解题过程和答案写成一篇小论文，提高学生的应用能力和写作能力。
在本章节的教学中，要充分考虑到学生的认知水平和心理特点，注重激发学生的兴趣，引导他们通过自主探究、合作交流的方式去发现勾股定理。此外，针对学生在解决问题时可能遇到的困难，教师应适时给予指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
同时，要关注学生的个体差异，对于基础较弱的学生，教师应给予更多的关注和鼓励，帮助他们建立信心；对于基础较好的学生，则可以适当提高要求，引导他们深入挖掘勾股定理的内涵和外延，培养他们的创新思维和解决问题的能力。通过本章节的学习，使学生在掌握勾股定理的基础上，进一步提高数学素养，培养良好的学习习惯和团队合作精神。
勾股数规律的探究
勾股数规律的探究在直角三角形中，斜边长为c ，两条直角边长分别为a 、b ，那么a 2+b 2=c 2，这个结论通常叫做勾股定理，因为在中国古代，称直角三角形较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦．使a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数便组成勾股数，我们知道3，4，5；6，8，10；5，12，13都是勾股数，勾股数有没有规律可循呢？下面我们作一探究．如下表，其中所给的每行的三个数a 、b 、c ，有a ＜b ＜c ，试根据表中已有的数的规律，把b 、c 用a 的代数式表示出来，并写出①当a =2n （n 为大于等于1的整数）时，b 、c 的值；②当n =20时，b 、c观察得出表中已有数的规律为⎩⎨⎧+==+2222b c c b a 由①得（b +c ）（c -b ）=a 2 ③把②代入③得b =42a -1，c =42a +1 当a =2n 时，b =442n -1=n 2-1 c =442n +1=n 2+1 当a =20时，b =102-1=99，c =102+1=101规律：当a 是偶数2n （n 为大于等于1整数）时，b 为n 2-1，c 为n 2+1，不难看出c =b +2，即2n ，n 2-1，n 2+1为勾股数．下面我们再来探究为a 奇数2n +1（n 为大于1的整数）时，勾股数的规律．我们知道3，4，5；5，12，13；7，24，25…都是第一个数为奇数的勾股数，观察得出已有数的规律为⎩⎨⎧+==+1222b c c b a 把②代入①得b =212-a ③ ① ②① ②把③代入②得c=212-a+1=212+a=21 )12(2++n当a=2n+1时，b=21 )12(2-+n，c=21 )12(2++n规律：当a为奇数2n+1（n≥1的整数）时，b为21 )12(2-+n，c为21 )12(2++n，不难看出c=b+1，即2n+1，21 )12(2-+n，21 )12(2++n为勾股数，如25，312，313为勾股数．例给出下列几组数：①6，7，8；②9，40，41；③11，264，266；④14，194，200，其中能组成直角三角形的三条边长的有．解：对于①∵6为偶数，8-7=1不等于2，所以①不能，对于②，因为9为奇数，181-180=1且40=21)18(2-+，所以②能，对于③因为11为奇数，266-264=2不等于1，所以③不能，对于④因为14为偶数，200-194≠2，所以不能．故应填②．点评：由以上例题解答可以看出，利用勾股数的规律解答三边能否构成直角三角形问题比用a2+b2=c2简洁的多，望同学们掌握之．。
探究勾股定理蕴含的秘密
探究勾股定理蕴含的秘密勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。
然而，除了其实用性以外，这个定理蕴含了一些深层的秘密。
本文将探究勾股定理所蕴含的三个秘密，以期更深入地了解这一经典定理。
一、几何之美：勾股定理的视觉享受通过勾股定理，我们可以推导出各种美妙的几何关系和性质。
首先，让我们先来感受一下勾股定理的几何之美。
1. 直角三角形的推演勾股定理表达了直角三角形中三条边之间的关系。
假设三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c。
则根据勾股定理，有：c^2 = a^2 + b^2直角三角形的几何之美在于它的斜边恰好可以表达为两个直角边的平方和的开平方。
这种简洁而优美的表达方式让人赞叹几何学的奇妙。
2. 勾股数的兴趣勾股定理不仅仅局限于直角三角形，还与整数集合之间的关系产生了有趣的联系。
我们将满足勾股定理的三个正整数称为勾股数。
例如，3、4、5就是最小的一组勾股数。
通过勾股定理，我们可以得到无穷多组勾股数。
例如，5、12、13也是一组勾股数。
这种数学的奇迹使得勾股定理蕴含了数学中的宝藏，供我们去探索。
二、数学之美：勾股定理的数学奥秘勾股定理所蕴含的秘密不仅仅是几何学上的，还深藏于数学的奥秘之中。
在这一部分，我们将进一步探究勾股定理的数学之美。
1. 勾股定理的代数证明勾股定理可以通过代数方法进行证明。
例如，我们可以利用平方差公式，将直角三角形的两条直角边的平方和与斜边的平方进行对比，从而证明勾股定理的成立。
这种代数证明方法揭示了勾股定理背后的数学结构和规律，让我们以另一种方式欣赏到数学之美。
2. 勾股定理的数论特性勾股定理还涉及到数论领域的研究。
例如，根据勾股定理，我们可以得知一个奇数的平方必定是奇数，偶数的平方必定是偶数。
这个特性在数论中具有重要影响。
勾股定理的数论特性表明了数学中隐藏的神秘性，引发了人们对数学规律和性质的好奇。
三、哲学之美：勾股定理的深层意义最后，勾股定理所蕴藏的秘密也折射出了哲学上的深层意义。
勾股数规律的探究
勾股数的规律能够组成一个直角三角形的三边长的正整数，叫做勾股数。
如“勾三股四弦为五”（3，4，5）再如常见的（6，8，10）（5，12，13）、（7，24，25），熟记一些勾股数利于我们更快、更准的解决于直角三角形有关的实际问题。
下面就勾股数的三个正整数之间的规律进行探究：规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现由（3，4，5）有： 32=9=4+5由（5，12，13）有： 52=25=12+13由（7，24，25）有： 72=49=24+25由（9，40，41）有： 92=81=40+41.即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a+1为奇数数，则有∵（2a+1）2=4a2+4a+1=（2a2+2a）+（2a2+2a+1）∴（2a +1）2+（2a 2+2a）2=（2a2+2a+1）2因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式一：（2a+1，2a2+2a，2a2+2a+1）（a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整奇数m,构成的勾股数为（m,,）规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续且相差为2的整数之和的二倍。
其论证如下：数a为大于1的正数，则2a为偶数，则有∵（2a）2=4a2=2[（a2-1）+（a2+1）]∴（2a）2+（a2-1）2=（a2+1）2（a≥2且a为正整数）因此，我们把它推广到一般，从而可得出勾股数公式二：（2a，a2-1，a2+1）（a≥2且a为正整数）或整理为：对于一个大于1的整偶数m,构成的勾股数为（m,,）。
勾股数的相关探究
对勾股数的相关探究摘要本篇论文是对勾股数及定理的相关探究，在探究的过程中我主要围绕以下这五个问题：1.谁发现了勾股定理？2.勾股定理的证明有多少？3.如何寻找勾股数？4.勾股数有哪些特征？5.勾股世界妙处何在？在整篇文章中其网络资源非常丰富，而且对这五个问题的解决起到非常重要的作用，接下来我就这五个问题做出详细的解答。
关键词：勾股数、勾股定理、特征1、看历史，谁发现了勾股定理？根据考古发现及其他史籍记载，周代的天文测量历算达到《周髀》所描述的水平完全可能。
《周札》卷十《地官。
大司徒》有如下记载：“正日景（同”影“）以求地中，日南则景短，多暑；日北则景长，多寒”，“日至之景尺有五寸，谓之地中”。
而《周髀》说：“立竿测影……法曰：周髀长八尺，勾之损益，寸千里。
”两者何其相似。
曹魏著名数学家刘徽在《九章算术注》的序中指出，周代设有“大司徒”职，任务之一就是在夏至日立表观测日地距。
至今河南登封县还有周代观景台遗址。
《周髀》中周公称商高为“善数”的“大夫”，说明商高完全可能是主管天文测量和历算的官员。
《周髀》中荣方对陈子说：“今者窃闻夫子之道，知日之高大。
光之所照，一日所行，远近之数，人所望见，四极之穷，列星之宿，天地之广袤。
夫子之道，皆能知之。
”可见陈子也是精通天文历算的学者。
顺便指出，大约也在公元前6世纪，被西方誉为“测量之租”的塔利斯曾利用日影测量金字塔高，埃及王惊叹不已。
其实金字塔在地面，既可走近，又能攀登，与陈子测2、再思考，勾股定理的证明有多少？勾股定理的证明勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。
也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。
1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案教学目标1.了解勾股数的概念。
2.掌握如何判断勾股数。
3.能够熟练地运用勾股数求解实际问题。
教学准备1.教师准备宣传海报和宣传材料。
2.软件准备：麻将图、IPTV3.教师要提前准备讲台板书。
教学步骤第一步：自主学习引导将引导教材寄发给学生，让学生自主地观看、理解“直角三角形”、“勾股定理”的概念. 对一些看不懂的地方，要提出问题，以便后续了解。
第二步：自主学习活动主题活动：勾股数探寻活动活动方案我们的数学学科广泛应用于生活和社会中。
活动具体内容如下： 1. 请同学们自己组队，以探寻的方式来寻找“勾股数”。
2. 同学们在组队后就应该联系，确定了一个位于校园周围的合适区域，进行勾股数的探寻活动，这个区域最好是几何实物或者建筑物。
3. 在探寻的过程中，请同学们通过测量建筑物的各个边长来寻找勾股数，勾股数要求在探寻范围内。
4. 每个组要完成勾股数的探寻并转化为勾股定理的运用，然后再去勾股问题的求解。
5. 三个班的所有小组都必须结合自己探索的文字、图片、数据等完整呈现目标的勾股问题解。
活动效果这个挑战活动主要是让同学们在感受中掌握勾股数的概念和勾股定理的应用，这里还有一些效果、价值和意义： 1. 勾股问题谜团被破解，同学们的掌握程度逐步深化，以探索的方式活动反映了数学学科以掌握、应用的思维进阶。
2. 探索过程强调了团队协作和合作的学科精神，展现了经验跨越、多学科合作的教学策略，旨在促进同学们私底下交流和思考。
第三步：课堂讲解授课1.提出数学问题，基于“探索”活动的结果进行总结：用什么条件来判断直角三角形？2.勾股数的概念与判定。
–勾股数指的是a²+b²=c²这种形式的数值，其中a、b、c分别为三条边上的数值，其中一个角为直角。
3.推导勾股数的运用–演示如何使用勾股定理求解勾股数。
–引导同学们实际操作，并公布一些练习题，检验学生的掌握情况。
勾股数的计算详解
勾股数的计算详解
什么是勾股数？
勾股数是指满足勾股定理的整数数对。
勾股定理是一条关于直角三角形的定理，它表明直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股数的计算方法
要计算勾股数，可以使用以下方法：
1. 枚举法
枚举法是一种直接列举可能的数对并逐个验证是否满足勾股定理的方法。
通过穷举法，我们可以找到满足条件的勾股数。
2. 欧几里德法
欧几里德法是一种基于勾股定理的数学方法。
根据勾股定理，对于任意的正整数 m 和 n（m > n），满足以下关系：
$
a = m^2 - n^2 \\
b = 2mn \\
c = m^2 + n^2
$
其中 a、b、c 分别表示直角三角形的三个边长。
我们可以通过选择合适的 m 和 n 的值，计算出满足条件的勾股数。
勾股数的应用
勾股数在几何学和数学领域有广泛的应用。
例如，它们在解决勾股定理相关问题时非常有用。
此外，勾股数还被广泛应用于计算和算法设计中。
结论
勾股数是满足勾股定理的整数数对。
通过枚举法或欧几里德法，我们可以计算出满足条件的勾股数。
勾股数在几何学和数学领域有
着重要的应用。
以上对勾股数的计算进行了详解。
希望这份文档对您有所帮助！。
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案
数序活动探寻“勾股数”-苏科版八年级数学上册教案一、教材分析本教案根据苏科版八年级数学上册的教学内容编写而成，教学内容顺序为：数列基本概念 -> 数列的通项公式 -> 数列求和 -> 勾股数。
其中，勾股数是数学中一个重要的概念，也是初中数学中的经典问题之一。
勾股数是指一个直角三角形的两条直角边的长度都是整数，斜边的长度也是整数。
例如，3、4、5就是一组勾股数，因为32+42=52。
二、教学目标1.了解数列基本概念。
2.掌握数列的通项公式和求和公式。
3.了解勾股数的概念和特点。
4.能够寻找勾股数并进行验证。
5.通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法。
三、教学内容和方法1. 数列基本概念学生通过对数列的定义和数列的表示方法的学习，掌握数列的基本概念。
通过课堂上的讨论，帮助学生理解数列的概念。
方法：课堂讨论。
2. 数列的通项公式和求和公式学生通过重点讲解数列的通项公式和求和公式的推导和运用，深入理解数列的数字规律及其推导方法。
方法：通过讲解和分组实践。
3. 勾股数的探索学生在学习勾股数前，先探究一下最小的勾股数构成的三角形是什么样子的，以此引导学生理解勾股数的基本概念。
方法：小组讨论，展示自己构造的勾股数三角形并进行验证。
4. 勾股数的性质学生通过探究勾股数的性质，初步了解数学证明的方法，并能发现勾股数之间的一些关系。
方法：教师提出问题，学生通过小组合作解决，然后在课堂上进行讨论。
四、教学流程1. 数列基本概念•通过例题引出数列的概念。
•介绍等差数列、等比数列等常见数列。
•提出数列的表示方式。
2. 数列的通项公式和求和公式•以等差数列为例，引出通项公式、求和公式的定义和公式表达。
•通过推导过程介绍通项公式、求和公式的使用方法。
•分组实践中让学生自己尝试推导一些简单的数列通项公式和求和公式。
3. 勾股数的探索•提出勾股数的概念，并引出最小的勾股数。
•学生通过小组讨论，构造出最小勾股数组成的三角形。
勾股定理-探索勾股定理
勾股定理-探索勾股定理要点一、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=．要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-．补充：平方数例1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．例2．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的值可能有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个举一反三：1.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝6，c ＝10，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．2．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则222AB AC BC ++的值为( )A ．8B ．4C ．6D ．无法计算 3.在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是c b a ,,，若3=a ，4=b ，则 2c =要点二、勾股数满足222c b a =+的三个正整数，称为一组勾股数常见的勾股数有：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17等注：勾股数的任意正数倍仍然满足勾股定理例1: 在下列数组①3，4，5；②4，5，6；③5，12，13；④6，8，10；⑤7，40，41；⑥8，15，17；⑦10，24，26 中，勾股数组有：______________要点三、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．例1、阅读下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍的一种拼图证明勾股定理的方法．先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形．由图1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：由图2可以得到，整理，得，所以．要点四、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边例1．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，CD=12，BD=9．求AB与BC的长．例2．如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5 B．6C．8D．10举一反三：1．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=8，BC=5，DB=3．（1）求DC的长；（2）求AB的长．2.如图，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长2.与勾股定理有关的面积计算例1．我们已经知道，以直角三角形a，b，c为边，向外分别作正方形，那么S1+S2=S3．如图，如果以直角三角形三条边为直径向外作半圆，是否也存在S1+S2=S3？如果以三条边向外作等边三角形呢？例2．求出下列各图中阴影部分的面积（单位：cm2）．例3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和．变式练习：1．如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且S1=30，S2=40，则S3等于（）2.如图中字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．643.如图，带阴影的长方形面积是（）A．9cm2B．24cm2 C．45cm2 D．51cm24．如图所示，三个正方形中两个的面积分别为S1=100，S=64，则中间的正方形的面积S3为（）2A.36B.60C.24D.485.如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S =8，S4=10，则S=（）3A.25B.31C.32D.403.勾股定理在实际生活中的应用．例1.如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根1 2米处．大树在折断之前高多少？例2.台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？例3．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．举一反三：1.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．2.如图，两根直立的竹竿相距6m，高分别为4m和7m．求两竹竿顶端间的距离AD．3.一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，木杆折断以前有多少米？。
勾股定理与勾股数
勾股定理与勾股数勾股定理作为数学中的一条重要定理，广泛应用于几何学和物理学等学科，它的核心思想是描述直角三角形的边与角之间的关系。
而与勾股定理密切相关的概念便是勾股数。
本文将围绕勾股定理和勾股数展开讨论，探究其定义、性质及应用。
一、勾股定理的定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem），是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的。
它的定义如下：“在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方之和。
”数学表达式为：a² + b² = c²其中，a和b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边（也称为斜边或斜线）。
勾股定理不仅适用于直角三角形，理论上适用于任何三角形，只要满足边长关系即可。
然而，非直角三角形的情况更复杂，我们将集中讨论直角三角形的情形。
二、勾股定理的性质勾股定理具有以下几个性质：1. 互逆性：勾股定理中的a、b可互换位置，即a² + b² = c²也可以表示为b² + a² = c²。
这是因为在直角三角形中，直角边相互交换并不会改变斜边的长度。
2. 基本勾股数：勾股定理中的（a，b，c）被称为勾股数。
最简单的勾股数是（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），它们被称为基本勾股数。
除了基本勾股数外，还存在无穷多个勾股数。
3. 扩展勾股数：勾股定理适用于各种单位下的长度，例如米、厘米、英尺等。
所以，单位长为1的直角三角形的边长也可以是勾股数，这些勾股数被称为扩展勾股数。
4. 勾股三元组：勾股数（a，b，c）也被称为勾股三元组。
它表示直角三角形的三个边长。
三、勾股定理的应用勾股定理作为一条基础定理，有广泛的应用。
以下是一些勾股定理的应用领域：1. 几何学：勾股定理被广泛应用于解决直角三角形的边长和角度问题。
通过应用勾股定理，我们可以计算与直角三角形相关的各种属性，如边长、角度、面积等。
探索勾股数的规律
探索勾股数的规律初中数学讲到直角三角形就离不开它的三边关系的一个重要定理：勾股定理;如果直角三角形的三边a 、b 、ca ﹤b ﹤c,由勾股定理可知：222a b c +=,其中a 为勾,b 为股,c 为弦;若它们都为整数时,则它们称为一组数;如何求得一组勾股数呢勾股数有多少组呢为此我们可以在以下四个方面来研究这些问题;一、当勾为奇数时,探求勾股数的规律2、归纳规律：1每组中a 都是奇数；22a b c =+,212a b -=；3c = b+1,212a c +=.由此可得第n 组当a=2n+1时2221(21)12222a nb n n -+-===+ 于是有第n 组勾股数为2n+1、2n 2+2n 、2n 2+2n+1n 为正整数; 3、证明：∵22222(21)(22)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; 4、此种形式勾股数的另一种规律表现形式：化简后即为：a 、b 、c 分别为2n+1、222n n +、2221n n ++;3证明过程：同前面的证明;二、当勾为偶数是,探求勾股数的规律2、 归纳规律：1、每组中a 勾是偶数第一组较特殊：勾比股大；2、2214,22a abc b -=+=⨯3、2c b =+242a +=由此可得第n 组中的2(1)a n =+时,则：或22c=b+2=(n 2n)+2=n 2n+2++,于是有第n 组勾股数为2(1)n +、22n n +、222n n ++n 为正整数;3、 证明： ∵22222[2(1)](2)a b n n n +=+++ ∴222a b c +=∴2n+1、22n n +、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;三、运用配方法探求勾股数的规律1、a 勾、b 股、c 弦用含有m 、n 两个不同的正整数且m ＞n 的代数式表示： 此时,它们也是一组勾股数;2、证明：∵222222()(2)a b m n mn +=-+∴222a b c +=∴22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数;四、运用已知勾股数探求勾股数的规律1、如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;例如一组勾股数是3、4、5,当n=2时那么得到另一组勾股数为6、8、10;2、证明：∵222a b c +=∴222222()()na nb n a n b +=+∴如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;说明：在等腰直角三角形中因为a=b,因此22222a b a c +==得c =,所以a 、b 、c不可能都为整数;即等腰直角三角形三边长组成的不是一组勾股数;综上所述得以下勾股数的四种表现形式：★ 2n+1、222n n +、2221n n ++n 为正整数是一组勾股数; ★ 2n+1、n 2+2n 、n 2+2n+2n 为正整数是一组勾股数;★ 22m n -、2mn 、22m n +m 、n 表示两个不同的正整数且m ＞n 是一组勾股数; ★ 如果a 、b 、c 是一组勾股数,那么na 、nb 、ncn 为正整数也是一组勾股数;我们从中任取一种形式来,给出其中字母所示符合条件的值时即可求得一组勾股数; 每种形式也可求出无数组勾股数,所以勾股数的组数也就是无数个了;。
浙教版数学八年级上册2.7《探索勾股定理》说课稿
浙教版数学八年级上册2.7《探索勾股定理》说课稿一. 教材分析《探索勾股定理》这一节是浙教版数学八年级上册第2章第7节的内容。
本节课主要引导学生通过探究直角三角形三边的关系，发现并证明勾股定理。
教材内容由浅入深，从实际问题出发，引导学生探究数学规律，培养学生的动手操作能力、逻辑思维能力和数学建模能力。
教材还注重引导学生利用信息技术辅助探究，提高学生的信息素养。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形的基本概念、性质和判定，对直角三角形有一定的了解。
学生具备一定的问题解决能力和合作交流能力，能够利用信息技术进行自主探究。
但部分学生在解决抽象数学问题时，可能存在思维障碍，需要教师引导和帮助。
此外，学生对数学史的了解较少，对勾股定理的背景和意义认识不足。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：培养学生动手操作、合作交流、探究发现的能力，提高学生的信息素养。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神和民族自豪感。
四. 说教学重难点1.教学重点：引导学生探究并证明勾股定理。
2.教学难点：理解并掌握勾股定理的证明过程，能够运用勾股定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、网络资源、几何画板等教学手段，辅助学生进行探究和验证。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示勾股定理的动画视频，引发学生对勾股定理的好奇心，激发学生的学习兴趣。
2.探究活动：让学生分组进行探究，利用信息技术和几何画板工具，验证勾股定理。
学生可以自主选择三角形的大小和形状，通过实际操作发现规律。
3.交流分享：各小组汇报探究成果，教师引导学生总结勾股定理的表述和证明过程。
4.拓展应用：让学生运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长等。
5.总结反思：教师引导学生总结本节课的学习内容，让学生分享自己的收获和感受。
2022年 《探索勾股数》优秀教案
探索勾股数对于正整数a、b、c，如果它们满足，那么a、b、c就叫做勾股数，记作〔a，b，c〕象〔3，4，5〕就是最常见的一组勾股数，而且是唯一的一组连续整数；其次，以3、4、5为基数的勾股数有无数多组，即〔3，4，5〕〔为正整数〕是勾股数；5，12，13也是常见的勾股数之一，它们是后两数为连续整数，3，4，5既可以看作是前两数为连续整数，也可以看作是后两数为连续整数，下面我们来探索一下象这种前两数或后两数为连续整数的勾股数．一、三数为连续整数的勾股数如果a、b、c是连续整数的勾股数，那么b=a1，c=a2，由，得，整理，得，解得a=3或a=-1〔舍去〕，故三数为连续整数的勾股数只有〔3，4，5〕一组；二、前两数为连续整数的勾股数如果a、b、c是前两数a、b为连续整数的勾股数，即b=a1，那么由，得，整理，得，由于左边是奇数，所以c必为奇数，设c=2n1〔n为正整数〕，那么，整理，得，即a〔a1〕=2n〔n1〕，由于a与〔a1〕是连续整数，所以2n与n1或n与2〔n1〕也是连续整数，假设2n与n1是连续整数，那么2n1=n1或2n-1=n1，分别解得n=0〔舍去〕，或n=2；假设n与2〔n1〕是连续整数，那么n1=2〔n1〕，解得n=-1〔舍去〕，综上，n=2，从而c=5，a=3，b=4．因此，前两数为连续整数的勾股数只有〔3，4，5〕一组；三、后两数为连续整的勾股数如果a、b、c是后两数b、c为连续整数的勾股数，即c=b1，那么由，得，整理，并解得b=，从而c=，此时满足条件的勾股数为〔a，，〕，其中a为大于1的奇数．显然，取a=3，那么得对应的勾股数为〔3，4，5〕；取a=5，那么对应的勾股数为〔5，12，13〕；取a=7，那么对应的勾股数为〔7，24，25〕；同样地，以〔a，，〕为基数，可得〔a，，〕勾股数．。
勾股数的3条规律总结
勾股数的3条规律总结1、第一组勾股数3，4，55，12，137，24，259，40，4111，60，6113，84，8515，112，113首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。
我们用乘方进行尝试。
先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。
3²=9，5²=25，7²=49大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。
即：3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25我们再试几组进行验证。
9²=81=40+41，11²=121=60+61目前看来这个规律是正确的。
我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。
那么总结这两点就可初步发现以下规律：一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。
设n为一正奇数(n≠1)，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。
2、第二组勾股数6，8，108，15，1710，24，2612，35，3714，48，5016，63，6518，80，82我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。
似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。
6²=36，10+8=188²=64，15+17=3210²=100，24+26=50这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。
12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1=m²验证成功，可总结为以下规律：当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。
探索勾股数规律
勾股定理也是数学史上的一个里程碑，标志着人类对于数与形之间关系的 深入理解。
勾股数与人类文明的关系
勾股定理在建筑、工程、天文等领域中都有着广泛的应用，是人类文明发展的重要 支撑。
勾股定理也是数学教育中的重要内容，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重 要意义。
勾股数在物理学中的应用
力学中的应用
在物理学中，勾股定理可以用于解决与力矩、力臂、杠杆平衡等 相关的力学问题。
光学中的应用
在光学中，勾股定理可以用于计算光的折射角、反射角等，以及解 决与光学仪器相关的几何问题。
电磁学中的应用
在电磁学中，勾股定理可以用于计算电场强度、磁场强度等物理量 ，以及解决与电磁波传播相关的几何问题。
勾股数迭代法
总结词
计算机编程，适用于大量数值
详细描述
通过计算机编程实现迭代计算，不断寻找满足勾股定理的勾和股的数值。这种方法适用 于大量数值的计算，能够快速得到大量的勾股数。但需要一定的编程基础和算法设计能
力。
03
CATALOGUE
勾股数的规律探索
勾股数与奇偶性的关系
总结词
勾股数与奇偶性之间存在一定的规律， 即勾股数中的勾和股都是奇数，而弦是 偶数。
勾股数在计算机科学中的应用
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，勾股定理可以用于计算 二维或三维图形中的角度、距离等几何量， 以及进行图形变换和动画制作。
计算机算法中的应用
在计算机算法中，勾股定理可以用于优化计 算过程和提高算法效率，例如在计算两点之 间的距离时可以使用勾股定理进行简化计算
。
05
探索勾股数规律
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿
苏科版数学八年级上册《数序活动探寻“勾股数”》说课稿一. 教材分析《数序活动探寻“勾股数”》这一节的内容是苏科版数学八年级上册的第十章第二节。
这部分内容主要是让学生通过实践活动，探寻并证明勾股数的性质。
教材中通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，激发学生的学习兴趣，然后引导学生通过小组合作，发现并证明勾股数的性质。
教材内容丰富，既有理论知识的讲解，又有实践活动的安排，使学生在活动中感受数学的魅力。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了实数的基本概念，有了一定的数学基础。
但部分学生可能对勾股定理的理解还比较肤浅，对证明过程的把握可能不够准确。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过引导和帮助，提高他们的理解能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解勾股数的定义，掌握勾股数的性质，并能够运用勾股数解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作，培养学生主动探究、合作交流的能力。
3.情感态度价值观：让学生在探究过程中，体验数学的乐趣，培养对数学的热爱。
四. 说教学重难点1.教学重点：勾股数的定义和性质。
2.教学难点：勾股数的证明过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示相关案例和证明过程。
六. 说教学过程1.导入：通过展示毕达哥拉斯的故事，引导学生进入学习情境，激发学习兴趣。
2.新课导入：介绍勾股数的定义，引导学生理解并掌握。
3.案例分析：通过展示一些勾股数的例子，引导学生发现勾股数的性质。
4.小组合作：让学生分组讨论，自主探索勾股数的证明过程。
5.讲解与演示：利用多媒体课件，展示勾股数的证明过程，帮助学生理解和掌握。
6.练习与巩固：布置一些相关的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
7.总结与反思：让学生总结本节课的学习内容，反思自己的学习过程。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出教学重点。
可以设计如下板书：定义：…性质：…证明：…八. 说教学评价教学评价可以从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶
《探索勾股定理》教案设计从勾股定理到勾股数的进阶教案章节：一、引言【教学目标】1. 了解勾股定理的背景和意义。
2. 掌握勾股定理的表述和证明。
【教学内容】1. 介绍勾股定理的历史背景。
2. 讲解勾股定理的表述和证明方法。
【教学方法】1. 采用讲授法讲解勾股定理的背景和证明方法。
2. 引导学生通过小组讨论，探索勾股定理的应用。
教案章节：二、勾股定理的证明【教学目标】1. 掌握勾股定理的证明方法。
2. 能够运用勾股定理解决实际问题。
【教学内容】1. 讲解勾股定理的几种证明方法。
2. 运用勾股定理解决实际问题。
【教学方法】1. 采用演示法和实验法讲解勾股定理的证明方法。
2. 运用案例教学法，引导学生运用勾股定理解决实际问题。
教案章节：三、勾股数的定义和性质【教学目标】1. 了解勾股数的定义和性质。
2. 能够判断一个数是否为勾股数。
【教学内容】1. 介绍勾股数的定义和性质。
2. 讲解如何判断一个数是否为勾股数。
【教学方法】1. 采用讲授法讲解勾股数的定义和性质。
2. 运用小组讨论法，引导学生探究勾股数的判断方法。
教案章节：四、探索勾股数【教学目标】1. 能够发现勾股数的规律。
2. 能够运用勾股数解决实际问题。
【教学内容】1. 引导学生探索勾股数的规律。
2. 运用勾股数解决实际问题。
【教学方法】1. 采用探究法和案例教学法引导学生探索勾股数的规律。
2. 运用案例教学法，引导学生运用勾股数解决实际问题。
【教学目标】2. 能够运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
【教学内容】2. 讲解如何运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
【教学方法】2. 采用案例教学法，引导学生运用勾股定理和勾股数解决更复杂的问题。
教案章节：六、应用勾股定理解决实际问题【教学目标】1. 能够将勾股定理应用于解决实际问题。
2. 提高运用数学知识解决实际问题的能力。
【教学内容】1. 介绍勾股定理在实际问题中的应用。
2. 分析并解决具体的实际问题。
人教版八年级下册数学教案：17.1探寻“勾股数”
3.勾股定理的逆定理及其应用；
4.实际问题中的勾股数应用。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过勾股定理的证明过程，让学生理解数学的严谨性和逻辑性；
2.提升学生的空间想象力和几何直观，通过勾股数在实际问题中的应用，增强学全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
关于学生小组讨论环节，我发现学生们在讨论勾股数在实际生活中的应用时，能够提出很多有趣的观点和创意。但在引导和启发学生思考方面，我觉得自己还有待提高。在未来的教学中，我将努力提出更具启发性的问题，引导学生深入思考，提高他们的分析问题和解决问题的能力。
最后，总结回顾环节，学生对勾股数的掌握程度较好，但仍有个别学生在运用方面存在困难。为了帮助学生更好地巩固知识，我计划在课后布置一些与勾股数相关的练习题，并对他们进行个别辅导。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生在探究勾股数的奥秘中表现出很高的兴趣。他们对于勾股定理的证明过程感到好奇，同时也对实际应用中如何使用勾股数来解决直角三角形问题产生了浓厚的兴趣。以下是我对教学的几点反思：
首先，我觉得在新课导入环节，通过提出与生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心和求知欲。这使得他们在接下来的学习中，能够更加主动地参与到课堂讨论和实践中。
3.培养学生的数据分析能力，使学生能够运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，并从中发现规律；
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探究勾股数两例
满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．对于给定的三个正整数，若能验证其中最大数的平方等于其他两数的平方和，这组数就一定是勾股数，否则不是．可以验证若a 、b 、c 是一组勾股数，则ka 、kb 、kc （k 为正整数）也是勾股数． 以下几个都可构成勾股数：
1．设n 为正整数，且n >1，a =2n ，b =n 2-1，c =n 2+1; 2．设n 为正整数，a =2n +1，b =2n 2+2n ，c =2n 2+2n +1;
3．设m 、n 为正整数，且m >n ，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2;
例1 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为:“勾三、股四、弦五”．
（1）观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没有间断过，计算
21(9-1)，21(9+1)与21(25-1)，2
1
(25+1)，并根据你发现的规律，分别写出能(用勾)表示7、24、25的股和弦的算式；
(2)根据(1)的规律，用n (n 为奇数且n ≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦．猜想它们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明；
（3）继续观察4、3、5；6、8、10；8、15、17；…．可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用类似上述探索的方法，直接用m （m 为偶数且m >4）的代数式来表示它们的股和弦．
分析：本题是一个勾股数的探索问题，考查观察、分析、类比、猜想和论证等能力．第（2）、（3）两小题都具有开放性，能较好地考查大家的创新意识和能力． 解:(1)因为
21(9-1)=21(32-1)=4， 21(9+1)=21(32+1)=5，21(25-1)=2
1
(52-1)=12， 21(25+1)=2
1
(52+1)=13， 对于3、4、5和5、12、13两组勾股数来说，可以表示为：
股=
21(勾2-1)，弦=2
1
(勾2+1)． 所以7、24、25的股24的算式为21(49-1)=21
(72-1)，
7、24、25的弦25的算式为21(49+1)=2
1
(72+1);
(2)当n 为奇数且n ≥3时，勾、股、弦的代数式分别为n ，21(n 2-1），2
1(n 2+1）． 猜想关系式一：弦-股=1；关系式二：勾2+股2=弦2．
说明关系式一：弦-股=
21(n 2+1）-21(n 2-1）=21[（n 2+1）-（n 2-1）]= 2
1
×2=1； 说明关系式二：勾2+股2=n 2+[21(n 2-1)]2=2224)1(4
1
412141+=++n n n =弦2．
(3)探索得：当m 为偶数且m >4时，股、弦的代数式分别为1)2
(,1)2(22+-m
m ．
例2 阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们了解到：“能够成为直角三角形三边的三个正整数称为勾股数”．以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m 为奇数(m ≥3)，则a =m ，b =
21(m 2-1)和c =2
1
(m 2+1)是勾股数． 方法2:若任意取两个正整数m 和n (m >n )，则a =m 2-n 2，b =2mn ，c =m 2+n 2是勾股数．
(1)在以上两种方法中任选一种，证明以a 、b 、c 为边长的△ACB 是直角三角形． （2）请你根据方法1和方法2按规律填写表格：
表2
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如右图所示的图案竟观．该图案由四个
全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这个四个直角三角形的边上共植树多少棵？
分析：本题是一道集阅读、证明、探究规律、解决实际问题于一体的综合性试题，通过阅读可使考生进一步认识勾股定理的重要性，了解勾股数的意义，感受毕达哥拉斯等学派的巨大的贡献．本题共三问，其中第（1）问是证明题，可利用代数计算解决;第(2)是探索规律问题，可在第(1)问的基础上解决;第(3)是实际应用问题，也是根据第(2)问解决． 解: (1)方法1:
因为a 2+b 2=m 2+[
21(m 2-1)]2=m 2+4
1(m 4-2m 2
+1) = 41m 4+21m 2+41=41
(m 4+2m 2+1) =41(m 2+1)2=[2
1
(m 2+1)]2 =c 2，
所以以a 、b 、c 为边长的△ACB 是直角三角形． 方法2:(请你试一试，相信你一定能成功!
(2)由第(1)可得到表1中第三竖列的勾、股、弦分别为：7、24、25；第四竖列的勾、股、弦分别为9、40、41． 观察表2的变化规律可得:
第九竖列应填5，2，21，20，29； 第十竖列应填5，1，24，10，26．
（3）根据每个直角三角形的最短边上植6棵树，每个树的距离为1米，可知最短边的长为5米，又直角三角形的每个边均为整数，根据第(2)问可知，直角三角形三边的长分别是5，12，13，这样一个直角三角形三边共植30棵树，所以四个三角形共植120棵树．。