用积分法求梁的挠和转角
梁的挠曲线近似微分方程及其积分.
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
A a
P q
C a
P
a
a
q
a
a
+
=
例6－4-1 按叠加原理求A点转角 和C点挠度.
解、载荷分解如图
、由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 2 4 EI
f ( x) M ( x) I0 M ( x)
EI ( x) I0
EI 0
EI 0 f ( x) M ( x)
M(x) M(x) I0
I(x)
：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。
：实梁对应方程： EI0 f ( x) M ( x)
虚梁对应方程：
M (x) q(x)
：令：q(x) M ( x ) 依此建立虚梁上的分布载荷。
8
2
- q a2
a2
C
a
求虚梁B点的剪力和弯矩
x
13qa 3 RA 72
QB
13qa3 72
1 2
qa2 2
a
5 72
qa3
MB
13qa3 72
a
1 2
qa2 2
a
a 3
7 72
qa4
D
B
5qa 3 72EI
7qa4 f B 72EI
C点左右位移怎样？
四、变截面直梁的共轭梁法： ：将截面的变化折算到弯矩之中去。
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
梁的挠度及转角(1)
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
x 0 时， ， wA 0 A w A 0
当
求得：
C 0; D 0
y
L
P
B
B
wB
x
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
Px 2 w( x) ( x 3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
PL2 B （ ） 2 EI
wmax
PL3 wB （ ） 3EI
C
x1
x2
AB段 (0 x1 a)
a
a
M1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分 AB段
M1 Px1 EIw1
P 2 EI1 x1 C1 EIw1 2 P 3 EIw x1 C1 x1 D1 6
1
y
M<0
d2w 0 2 dx
d2w M ( x) 2 EI dx
o
x
d 2 w M ( x) (2) 2 EI dx
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d w M ( x) 2 EI dx
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
最大挠度及最大转角
dw( x 2 ) Pa 2 ( x2 ) dx 2 2 EI
2
y
a
P
C
C
max C CB
wmax
Pa 2 2EI
L
B
x
wB
Pa 2 wB (3L a) 6EI
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
不定积分和定积分知识的应用
不定积分和定积分知识的应用1 积分法原理及知识的应用1.1求解静定梁的挠度和转角，应用积分法的原理及知识此问题主要出现在水利工程专业的《工程力学》课程中，主要应用于求解建筑结构中静定梁的位移。
梁变形时，其上各横截面的位置都发生移动，称之位移；位移通常用挠度和转角两个基本量描述。
运用微分法和积分法求解挠度和转角的一般步骤是：（1）建立挠曲线近似微分方程，即 EI x M dxy d )(22-=；（2）对微分方程二次积分。
积分一次，可得出转角方程：⎰+-==])([1C dx x M EIdx dy Q ;再积分一次，可得出挠度方程：⎰⎰++-=]))(([1D Cx dx x M EIy ;(3)利用边界条件或连续条件确定积分常数C 、D ；（4）确定转角方程和挠度方程；（5）求指定截面的转角和挠度值。
〔实例1〕一等截面悬臂梁如图所示，自由端受集中力P 作用，梁的抗弯刚度为EI ，求自由端的转角和挠度。
分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M （ x ）=-P （l-x ），挠曲线的近似微分方程为22dx y d =EI1-[-P(l-x)].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（C=0，D=0）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得自由端截面的转角和挠度。
x解答：（计算过程略） 自由端截面的转角和挠度分别为P EI B (1=θl 2-21Pl 2）=EI Pl 22y B =21(1EI Pl 3-61Pl 3）=EI Pl 33 （转角θB 为正，表示截面B 是顺时针转；挠度y B 为正，表示挠度是向下的.） 〔实例2〕一承受均布荷载的等截面简支梁如图所示，梁的抗弯刚度为EI ，求梁的最大挠度及B 截面的转角。
分析：首先建立合适的直角坐标系，根据力学知识可知，该梁的弯矩方程为M （x ）=21qlx-21qx 2，挠曲线近似微分方程为22dxy d =-EI 1[21qlx-21qx 2].然后，对微分方程二次积分，利用边界条件确定积分常数（D=0，C=241ql 3）.最后，回代转角方程和挠度方程，从而求得最大挠度和截面B 的转角。
用积分法求挠度和转角
确定。例如，在固定端处的挠度w=0，转角＝0。在铰支座处的挠
度w=0。这种条件称为边界条件。
当梁的弯矩方程必须分段建立时，挠曲线微分方程也应该分段
建立。在这种情况下，经过积分后，积分常数增多，除利用边界条
件确定积分常数外，还应根据挠曲线为连续光滑这一特征，利用分
段处有相同挠度和相同转角的条件来确定积分常数。这种条件称为
1 M (x) ρ(x) EI
由高等数学可知，平面曲线w = w(x)上任一点的曲率为
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角
d2w
1 dx 2
(x)
[1
(
dw
)
2
]
3 2
dx
在小变形条件下，转角是一个很小的量，故 (dw)2 << 1,于是
上式可简化为
dx
1 ρ(x)
d2w dx2
d2w dx2
最大挠度发生的位置。在本例中梁的挠曲线应为一上凸曲线，并在
固定端处与梁变形前的轴线相切。由此可知，梁的最大转角和最大
挠度都发生在自由端B处。
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角
将x=l代入方程，得
max
B
ql3 6EI
wmax
wB
ql4 8EI
() （↓）
所得B为正值，说明横截面B顺时针方向转动；所得wB为正值，
梁的挠曲线近似微分方程也分段建立，分别为
AC段：
d 2 w1 dx 2
Fb EIl
x
CB段：
d2w2 Fb x F (x a) dx2 EIl EI
目录
弯曲变形\用积分法求挠度和转角
2) 对微分方程进行积分并确定积分常数。对两段的挠曲线近似 微分方程分别积分两次后得
讲梁的挠曲线方程与积分解法
②积分常数的确定——边界条件和连续条件：
边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 这样的已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦 的曲线。因此，在梁的同一截面上不可能有两个 不同的挠度值或转角值，这样的已知条件称为连 续条件。
边界条件
积分常数2n个=2n个
连续条件
列出图示结构的边界条件和连续条件。
8
代入（1）（2）得：
1 ( 1 qx3 1 qL3)
EI 6 6
1 ( 1 qx4 qL3 x qL4 )
EI 24
68
将 x 0 代入得：
A
qL3 6EI
（与C比较知E：I A C）
A
qL4 8EI
（与D比较知E：IA ）D
因此
常数C表示起始截面的转角×刚度(EI)
常数D表示起始截面的挠度×刚度(EI)
x L
2
2、
d 2
dx 2
M (x) EI z
EI" 1 qx2
2
积分一次： EI' EI 1 qx3 C （1）
积分二次：
6
EI 1 qx4 Cx D （2）
24
B X``
3、确定常数C、D.
由边界条件： x L, 0 代入（1）得： C 1 qL3
6
x L, y 0 代入（2）得： D 1 qL4
支座反力，分段列弯矩方程； 分段的原则:
①凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
②凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；
③中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间 的相互作用力，故应作为分段点；
(2)分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分 两次
材料力学-弯曲变形
二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
材料力学第六版答案第07章
习 题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。
7－1（a ） 0M()M x = ''0EJ M y ∴='0EJ M y x C =+ 201EJ M 2y x Cx D =++ 边界条件: 0x =时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：C=D=0201M 2EJ y x ∴='01=M EJ y x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJ B y l（b ）222()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2''21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+-3'2211EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+422311EJ 4624qx y ql x qlx Cx D =-+-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=04223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+-'2231111=(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+-3-1=6EJ B ql θ 4-1=8EJB y ql（c ）()()()()()0303''04'050()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l xq x q lq l x M x q x l x l x l q y l x l q y l x Cl q y l x Cx Dl-=-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∴=-=--+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：4024q l C l -= 50120q l D l =()455000232230120EJ 24EJ 120EJ(10105)120EJq q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+- 3024EJ B q l θ=- 4030EJB q l y =-(d)'''223()EJ 1EJ 211EJ 26M x Pa Pxy Pa Pxy Pax Px C y Pax Px Cx D=-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=023'232321112611253262B C C B y Pax Px EJy Pax Px EJ Pa Pa Pay y a a EJ EJ EJPa EJθθθ⎛⎫∴=-⎪⎝⎭⎛⎫==-⎪⎝⎭=+=+==(e)()()()21222''1'211231113()02()2223EJ 231EJ ()2231EJ ()46a M x q qax x a q M x a x a x a a y q qaxa y qa x x C a y qa x x C x D =-+≤≤=--≤≤=-+=-++=--+++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0()()()22118492024EJ 12EJ qax qax y a x a x x a ∴=--=--≤≤''2223'222242232221EJ ((2)4)21EJ (42)2312EJ (2)2312y q a ax x x y q a x ax C x y q a x ax C x D =--+=--++=---+++边界条件：x a = 时 12y y = ；12θθ=代入上面方程可求得：2296a C = 4224qa D =-()()43223421612838464162384q y x ax a x a a a x a EJ-=-+-+≤≤ 43412476B B qa y EJqa EJθ=-=-(f)()()221222''212'231122341115()20225()2225251EJ 22251EJ 26511EJ 4324qa qx M x qax x a qa qa a M x qax x a x a a y q ax x a y q x ax x C a y q x ax x C x D =-+-≤≤⎛⎫=-+--≤≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C 1=D 1=0''22'2222223222EJ (2)1EJ (2)21EJ ()6y q a ax y q a x ax C y q a x ax C x D =--=--+=---++ 边界条件：x a = 时 12y y = ； ''''12y y =3296a C =- 4224a D =-437124136B B qa y EJqa EJθ=-=-7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA 和θB ，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI 为常量。
梁的弯曲-变形刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程
8-1试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程，并求A 截面转角和C 截面挠度。
解：如(c)图所示 约束反力为：P R B =， Pl M B 23=弯矩方程为：8-3 滚轮在天车梁上移动。
现将梁做成向上微弯，若要求滚轮在梁上能走一水平路径，问需把梁预弯成什么形状（用v＝f (x)的方程表示）才能达到要求？8-6 试画出下列各梁的挠曲线的大致形状。
注意曲率符号及支座约束条件。
8-9．EIa q y c 84=，此梁曲线的大致形状如图c 所示。
8-178－23 试用，叠加法计算图示等截面刚架B 处的垂直位移。
C 处为刚节点。
此刚架的截面为圆形，抗弯刚度为EI ，抗扭刚度为GI P 。
解： 分段考虑（1）AC ：C 点受力P 和力矩M ＝Pl 的共同作用。
在力P 作用下：EIpl y c 331=在力矩M 作用下：ρϕGI pl l y c 22== （2）BC ：EIpl y B 33= ρGI pl EI pl y y y v B c c B 332132+=++=8－28 A 1B 梁用A 2C 梁加固，两梁的EI 相同，试用变形比较法求两梁接触处的压力Y C 。
并用叠加法求v B 。
解：分开考虑两个梁 （1） 对A 1B ：A 1B 受到P 和Y c 的共同作用，当P 单独作用时：))(3(6121/1↓−=l l EI pl v c当Y c 的单独作用：)(321//1↑=EIl Y v c c//1/11c c c v v v −=∴对A 2C ：)(3212↓=EIl Y v c c利用，可得： 21c c v v =∴ 114)3(l l l p Y c −=（2）当P 单独作用时：)(321↓=EIpl v B当Y c 的单独作用： ))(3(61211↓−=l l EIl Y v c B)3(63121321l l EIl Y EI pl v v v c B B B −−=−=∴ 8-30 图示结构，悬臂梁AB 和简支梁DG 均用18号工字钢制成，BC 为圆截面钢杆，直径d ＝20mm 。
13讲梁的挠曲线方程与积分解法
w
dw2 dx 2
0
2
M 0
M
M
o
x
选取如图坐标系，则 弯矩M与 d 2 恒为同号
dx 2
d2
M（x）
dx2 ＝ EI
近似解释： （1）忽略了剪力的影响； （2）由于小变形，略去 了曲线方程中的高次项。
(3)选用不同坐标系下的挠曲线近似微分方程
2 2
d2 dx2
＝
M(x) EI
d2 dx2
Fb L
x,
M 2(x)
Fb L
x
F(x
a),
EI2 "
Fb L
x
F (x a),
AC段 (0 x a)
EI1'
EI1
Fb 2L
x2
C1,
EI1
Fb 6L
x3
C1x
D1,
3、确定常数
BC段 (a x L)
EI2 '
EI2
Fb 2L
x2
及其 所在截面。
max
max
例题1: 悬臂梁受力如图所示。求 A和 A 。
解： 取参考坐标系Axy。
y
q
1、列出梁的弯矩方程
A
M (x) 1 qx2 (0 x L)
x L
2
2、
d 2
dx 2
M (x) EI z
EI" 1 qx2
2
积分一次： 积分二次：
EI' EI 1 qx3 C （1）
①积分常数的数目——取决于的分段数
M (x) —— n 段 积分常数——2n个
梁的变形,挠曲线微分方程及其积分
w
M (x)dx EI
C
w
M (x) EI
dxdx
Cx
D
3.积分常数C、D的确定
边界条件
θ
连续性条件 w1 w2
1 2
（c)
4.挠曲线的大致形状
正的弯矩，挠曲线向上凹 负的弯矩，挠曲线线上凸
积分法求梁的弯曲变形 ---例题
例 如图示的悬臂梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
将边界条件代入(1)(2)两式
22
挠曲线近似微分方程：
D=0 C ql3 24
EIw M (x) ql x 1 qx2 22
积分得
EIw ql x2 q x3 C — (1)
EIw EI
EIw
ql 12
x3
ql x2 q x3 46 q x4 ql3 24 24
x
ql 3 24
46
EIw ql x3 q x4 Cx D — (2) 12 24
边界条件为
x 0, wA 0 x l, wB 0
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w x l 2
5ql 4 384EI
例 如图示的简支梁，抗弯刚度为EI，集中载荷F,求 w(x)、θ(x)及wmax、θmax。
对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的 梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的 弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了 （x-a）的项。
对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为 积分变量，从而简化了确定积分常数的工作。
梁的变形，挠度和转角 挠曲线近似微分方程
一、梁的弯曲变形 挠度w 挠曲线方程
材料力学 积分法求梁的变形
q B = 0 w B = 0
q A = FL 2 EI z
2 Fx 2 FL q = 2 EI z 2 EI z 2 3 Fx 3 FL FL w = x + 6 EI z 2 EI z 3 EI z
FL3 w A = 3 EI z
例题 5.2 &
(
)
Fb L - b q A = 6 EI z L
(
) = Fab (L + b )
6 EI z L
2 Fb 2 Fab 1 L + a 2 Fb L - b 2 q B L =EI zq + F (L - a ) + B = 2 L 2 6 EI z L 6 L
w =0
y
x = 0
w = 0
q =0
y
②.变形连续条件
{ ⑵、光滑条件（转角）
F
⑴、连续条件（挠度）
画出挠曲线大致形状并列出变形连续条件。图中C为中间铰。 1、两根梁由中间铰连接， 挠曲线在中间铰处，挠度连 续，但转角不连续。
A
C
B
wc = wc q c ¹ qc
+
-
+
2、支座B处左右侧，挠度 连续，且转角光滑。
x
2 Fb 2 Fb L - b 2 EI zq x + 1 = 2 L 6 L
(
)
(
)
y
w ¢¢ = 0
2 2
M (x ) = 0
x = 0
x = L
2 Fb 3 1 Fb L - b 2 3 EI z w 2 = x + F ( x - a ) + x 6 L 6 6 L
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角梁是一种常见的结构，在结构设计和分析中经常需要求解梁的挠度和转角。
挠度和转角是评价梁在受载过程中变形情况的重要指标，对于保证梁的安全性和使用寿命有着重要作用。
本文将介绍用积分法求解梁的挠度和转角的方法。
首先，需要明确梁的基本假设及其约束条件。
梁的基本假设包括：梁轴线是直线、截面内部应力分布均匀、横截面形状及尺寸在受力过程中不变、截面在平面内转动的角度很小、且不影响梁内部的应力分布等。
约束条件一般有：端部固定或支承等。
接着，需要根据约束条件和配重条件列出梁的弯曲方程和边界条件。
假设梁长度为L，x轴方向为梁轴线方向，则弯曲方程为：d^2y/dx^2+M/(EI)=0其中，y是梁的挠度，M是弯矩，E是杨氏模量，I是梁的截面惯性矩，上述方程即为梁的弯曲方程。
根据约束条件和配重条件，可以列出边界条件。
对于悬臂梁，端点处有一个支承，因此边界条件为y(0)=0,d^2y/dx^2(0)=0；对于双端支承梁，两端都有支承，因此边界条件为y(0)=y(L)=0,d^2y/dx^2(0)=d^2y/dx^2(L)=0。
根据弯曲方程和边界条件可以解出梁的挠度和转角。
但是，弯曲方程中的弯矩是未知的，需要通过力学分析求解。
通常的做法是，将梁截面分成若干小段，每段长度为dx，考虑该段上下两点的受力平衡条件，可以得到该段的弯矩M。
然后将弯矩代入弯曲方程求解，就可以得到该段的挠度和转角。
最后将所有小段的挠度和转角相加即可得到整个梁的挠度和转角。
具体的计算过程可以用数值方法进行，也可以用解析方法求解。
下面介绍解析方法的两种常用技巧：超定积分法和欧拉-伯努利积分法。
超定积分法是一种较为简单和常用的求解梁挠度和转角的方法。
它的基本思想是将弯曲方程两端同时积分两次，得到整个梁的挠度函数和转角函数，然后根据边界条件解出各个常数。
以悬臂梁为例，弯曲方程为：将上式积分两次，得到：其中，b1和b2是积分常数，需要根据边界条件求解。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
1
( x)
d 2w dx2
dx
y
M<0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
0
x
o
d2w dx2
M (x)(2) EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2
M (x) EI
EI
d2w dx2
M
(x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw
0
P(a
x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw
P 2
x12
Pax1
C1
C2
EIw
P
6
x13
Pa 2
x12
C1x1
D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x) P(L x)
x
写出挠曲线微分方程并积分
EIw M (x) P(L x)
EIw P x2 PLx C 2
EIw P x3 PL x2 Cx D 62
确定积分常数
当 x 0 时，
A wA 0， wA 0
求得：
C 0; D 0
(6a
a)
RC a3 3EI
a
RC a
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
x=l
∴y =−
'
∴D = 0
y=0
∴C =
− M 0l 6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞ ∴θ = y = − ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
− M 0l 2 l ；此时挠度最大 f = 3 9 3EJ 2 ⎛ l ⎞ − M 0l 中点挠度 y ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 EJ − M 0l Ml θA = θB = 0 6 EJ 3EJ （b）解： 设中点为C点，则分析CB段
''
C2 = −
D2 = −
a4 24
用积分法求梁的挠度以及转角
q (l3 6lx2 4x3)
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
ymax
y
x l 2
5ql 4 384EI
max
A
B
ql3 24 EI
~ ~~
~ ~ ~
~
~
yA yAL yAR
－弹簧变形 AL AR
yAL yAR
看§看8-3 风用积景分，法求稍梁的后挠回度和来转角
世界那么 大
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
二、使用声音 1.可使用的声音文件类型
常用的声音文件格式有：WAV（声音波形）和MID（MIDI格式）。 在FrontPage 2000中支持的声音文件格式有：WAV、MID、RAM、 RA、AIF和AU等，对MP3格式，目前在FrontPage 2000中还不支 持。 2.设置背景音乐 1）选择“文件/属性”菜单命令，或在网页上单击右键选择“网页 属性” 2）在“网页属性”对话框中选择“常规”标签 3）在背景音乐的“位置”文本框中输入音乐文件的位置或浏览选 择 4）设置播放循环次数 5）单击“确定”
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程：
d2y dx 2
M (x) EI
d2y EI dx2 M (x)
积分一次得转角方程为：
EIy M (x)
dy dx
M (x) EI
dx
C
再积分一次得挠度方程为：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
EI 2 6
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
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d2y dx 2
M (x) EI
EI
d2y dx2
M
(x)
积分一次得转角方程为：
EIy M (x)
dy dx
M (x) EI
dx
C
再积分一次得挠度方程为：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
5ql 4
ymax
y
x l 2
384EI
max
A
B
ql3 24 EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。
设弯矩刚度EI为常数。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
三、使用视频 1.可使用的视频文件类型 常用格式为AVI,另一种为RealAudio。 2.加入视频 1）定位光标 2）选择“插入/图片/视频”菜单命令，弹出
“视频”对话框 3）选择视频文件 3.修改视频属性 1）选定视频位置上出现的图片 2）单击右键选择“图片属性” 3）在“图片属性”对话框中设置视频的属性
C ql3 24
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
ql x3 q x4 ql3 x 12 24 24
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
EIy ql x2 q x3 ql3 4 6 24
q (l3 6lx2 4x3)
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
三、使用视频 1.可使用的视频文件类型 常用格式为AVI,另一种为RealAudio。 2.加入视频 1）定位光标 2）选择“插入/图片/视频”菜单命令， 弹出“视频”对话框 3）选择视频文件 3.修改视频属性 1）选定视频位置上出现的图片 2）单击右键选择“图片属性” 3）在“图片属性”对话框中设置视频的 属性
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
二、使用声音 1.可使用的声音文件类型
常用的声音文件格式有：WAV（声音波形）和MID（MIDI格式）。 在FrontPage 2000中支持的声音文件格式有：WAV、MID、RAM、 RA、AIF和AU等，对MP3格式，目前在FrontPage 2000中还不支 持。 2.设置背景音乐 1）选择“文件/属性”菜单命令，或在网页上单击右键选择“网页 属性” 2）在“网页属性”对话框中选择“常规”标签 3）在背景音乐的“位置”文本框中输入音乐文件的位置或浏览选 择 4）设置播放循环次数 5）单击“确定”
位移边界条件
~
AA
~~
~
~
A
A
A A AA
A AA A
~
~
yA 0
yA 0
A 0~ ~~ ~~AFra bibliotekA AAA
光滑连续条件
A
A AA
A
A AA A
~ ~~
~ ~ ~
~
~
yA yAL yAR
－弹簧变形 AL AR
yAL yAR
看§看8-3 风用积景分，法求稍梁的后挠回度和来转角
世界那么 大
2、由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C 0, D 0
3、确定转角方程和挠度方程
F (lx x2 ) y F (lx2 x3 )
EI 2
EI 2 6
4、确定最大转角和最大挠度
x l,
max
Fl 2 2EI
,
Fl 3
ymax
3EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、写出x截面的弯矩方程
M (x) F(l x)
列挠曲线近似微分方程并积分
EI
d2y dx2
M
(x)
F (l
x)
积分一次
dy
F
(lx
x2 )C
dx EI 2
再积分一次
y
F
lx 2 (
x3 ) Cx D
EI 2 6
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求
此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
解：
FRA
FRB
ql 2
M(x) ql x q x2
22
EIy ql x q x2 22
EIy ql x2 q x3 C 46
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
2、画挠曲线的大致形状图
AD段的弯矩为正，DC段的弯矩为负，横截面D的弯矩为零，其横坐标 为XD=8a/5。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 AD段为凹曲线，DC段为凸曲线，D截面存在拐点。
在支座A、B处挠度为零。在梁的交界面与截面D处，挠 曲线满足连续、光滑的条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
由边界条件：
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;