函数图象关于点对称性

函数图象关于点对称性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质之一，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷的是问题得到解决，对称关系还充分体现了数学的之美。对称性，在几何中研究的较多，在代数中研究的较少。本文只探讨函数的关于点对称性。

I.函数自身关于点对称性

命题1：函数的图像关于点对称的充要条件是

(或者)

证明：（必要性）设是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即故，必要性得证。

（充分性）设点是图像上任一点，则，∵

，∴，即，故点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。

推论1：奇函数的图像关于原点对称。

证明：设函数是奇函数，则奇函数定义有，由命题1可得函数图像关于源点对称。

推论2：如果函数满足,则函数图象关于点对称。（证明略）

推论3：函数的图像关于点。

证明：∵，，

∴

由命题1有函数的图像关于点对称。

例 1 已知定义域为的函数满足且函数在区间上单调递增，如果且，则的值（）A.恒小于0 B. 恒大于0 C. 可能为零 D. 可正可负

分析：先代替，使变形为，它的特征就是推论2，因此函数的图像关于点对称。在区间上单调递增，在区间上也单调递增。我们可以把该函数想象成是奇函数的图象向右平移了两个单位。

解：∵且在区间上单调递增，

∴，∵∴函数的图像关于点对称，∴∴.所以选A

例2 如果函数满足，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心）

如果为奇函数，并且，求该函数的所有对称中心和对称轴。（由周期性定义知周期为4，又，从而，按上例知x=-1为对称轴，所以为对称轴，为对称中心其中k∈Z）

例3 定义在上的函数满足，

则

解：由命题1可得函数关于点对称，所以点关于点的对称点也在函数图象上，所以，即；同理可得，，；于是

.

例4 已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数

都有，且、，

则的值为（）。

A. 2

B. -1

C. 0

D. 1

解：由函数的图象关于点成中心对称，得，又，∴;令则,于是是偶函数，且，即是以3为周期的函数，则

，，∴

==1.

例 4 函数的图象关于点成中心对称，则实数.

解：由推论3可知图象关于点成中心对称,所以，即.

例5函数的反函数的图象关于点成中心对称，则实数.

A. 2

B. 3

C. -2

D. -4

由推论3可知图象关于点成中心对称,又的反函数的图象关于点成中心对称，

所以点点关于直线,即.

II.不同函数关于点对称性

命题1: 函数与的图像关于点成中心对称。

证明：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,因为点在函数的图象上，所以函数与的图像关于点成中心对称。

命题2：设均为常数，函数)与函数的定义域均为，那么函

数的图象与函数的图象关于成中心对称图形的充要条件是：对一切,均有 b.

证明：（1）充分性：设是函数图象上的任意一点，则点关于的对称点是,且.所以,即点是函数图象上的一点，也即函数图象上任意一关于点的对称点都在函数的图象上；同理可证，函数图象上任意一关于点的对称点也都在函数

的图象上。

(2) 必要性：设点是函数图象上的任意一点，则点关于点的对称点在函数图象上，

∴,即，也即对一切,均有

.

由（1）（2）证明可知：命题2成立。

推论1:设均为常数，则函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。

证明：令,

则,对均成立。

∴对均成立.

∴由命题2，函数与函数的图象，即函数的图象与函数的图象关于点成中心对称。

例1 已知函数是定义在上的函数，那么与的图象( )

A.关于直线对称.

B.关于直线对称.

C.关于点对称.

D.关于点对称。

简解：令,则对均成立。

∴,由：命题2可知选D。