拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

目录

引言 (1)

1 拉普拉斯变换以及性质 (1)

1.1拉普拉斯变换的定义 (1)

1.2拉普拉斯变换的性质 (2)

2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3)

3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (4)

3.1初值问题与边值问题 (4)

3.2常系数与变系数常微分方程 (5)

3.3含 函数的常微分方程 (6)

3.4常微分方程组 (7)

3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (7)

3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (11)

4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (12)

4.1齐次与非齐次偏微分方程 (12)

4.2有界与无界问题 (15)

5 综合比较，归纳总结 (19)

结束语 (20)

参考文献 (20)

英文摘要 (21)

致谢 (21)

拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用

物理系0801班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华

摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯

变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。

关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言

傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。

1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义

设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分

()st f t e dt +∞

-⎰

(s 是一个复参量)在s 的

某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为0

()()st F s f t e dt +∞

-=

⎰

.我们称上式

为函数()f t 的Laplace 变换式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）.

若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2].

Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件:

1︒在0t ≥的任一有限区间上分段连续；

2︒当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，

亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）.

则()f t 的Laplace 变换0

()st F f t e dt +∞

-⎰（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，

右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 1.2 拉普拉斯变换的性质

⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =,

则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=,

1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=.

⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.

一般，12'(2)(1)[()]()(0)(0)(0)(0)n n n n n n L f t s F s s f s f sf f ----=---⋅⋅⋅--.

⑶积分性质 若[()]()L f t F s =,则0

1

[()][()]t

L f t dt L F s s

=

⎰. ⑷位移性质 若[()]()L f t F s =，则[()]()(Re())at L e f t F s a s a c =-->. ⑸延迟性质 若[()]()L f t F s =,又0t <时()=0f t ,

则对于任一非负实数τ，

有[()]()s L f t e F s ττ--=,或1[()]()s L e F s f t ττ--=-[2].

⑹相似性性质 若[()]()L f t F s =,则1[()]()s L f at F a a

=

. ⑺卷积性质 若11[()]()L f t F s =,22[()]()L f t F s =，

则11212[()()]()()L f t f t F s F s *=，

其中112120()()()()t

f t f t f f t d τττ*≡-⎰称为)(1t f 与)(2t f 的卷积[3].

由于从定义以及性质求拉普拉斯变换或拉普拉斯逆变换困难且复杂，在控制工程中，常常通过查阅已编好的“拉氏变换对照表”来实现。拉氏变换对照表列