傅里叶变换性质证明

傅里叶变换时移性和频移性证明

一、时移性证明

傅里叶变换公式如下：X f = x t e −j 2πft d t +∞

−∞ 对于x (t ±t 0)进行傅里叶变换如下： X x t ±t 0 = x t ±t 0 e −j 2πft d t +∞

−∞

令t ±t 0=τ则t =τ∓t 0；d t =d τ 代入上式：

X x t ±t 0 =

x τ e −j 2πf τ∓t 0 d τ+∞−∞

=e ±j 2πf t 0 x τ e −j 2πfτd τ=+∞−∞e ±j 2πf t 0X x τ 所以：x t ±t 0 ↔e ±j 2πf t 0X f . 证毕.

二、频移性证明

傅里叶变换公式如下：X f = x t e −j 2πft d t +∞−∞ 对x t e ±j 2πf 0t 进行傅里叶变换如下： X x t e ±j 2πf 0t =

x t e ±j 2πf 0t e −j 2πft d t +∞−∞

=

x t e −j 2π f∓f 0 t d t =+∞−∞X f ∓f 0 所以：x t e ±j 2πf 0t ↔X f ∓f 0 证毕.