2第二讲矩阵
矩阵运算第二讲课件
13
1 引例 线性变换的逆变换
x1 y1 X来自 x2
xn
,
Y
y2
yn
,
则线性变换 (1) 可记作 Y = AX . (2)
按克拉默法则，若 | A | 0，则由 (1) 可解出
xi |1 A|(A 1iy1A 2iy2 A nyin),
(3)ABAB.
12
八 、 逆矩阵
1 引例 线性变换的逆变换
设给定一个线性变换
y1 a11x1a12x2 a1nxn ,
y2
a21x1
a22x2 a2nxn
,
(1)
yn an1x1an2x2 annxn ,
它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A，若记
推论 若 AB = E（或 BA = E），则
其中
bij
|
1 A|
Aji
,
并且这个表示式是唯一的.
(3) 是一个从 y1 , y2 , ···, yn 到 x1 , x2 , ···, xn 的线 性 变换，称为线性变换 (1) 的逆变换.
若把 (3) 的系数矩阵记作 B，则 (3) 也可记作
15
1 引例 线性变换的逆变换
X = BY
(4)
线性代数
1
矩阵及其运算——第二讲 这次课继续讲：
矩阵的运算(二).
2
五、矩阵的转置
1. 定义
定义 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到
一个新矩阵, 叫做 A 的转置矩阵, 记作 AT .
例如矩阵
A15
3 2
2 1
80
1 5
第二章 矩阵及其运算
或 Ax = 0
否则, 称方程组为非齐次线性方程组. 非齐次线性方程组 否则, 称方程组为非齐次线性方程组. non-homogeneous
转置运算的性质： 转置运算的性质： (1) (AT )T = A;
(3) (λ A)T = λ AT ;
6 May 2012
(2) （A + B T = AT + B T ; ）
(4) （AB T = B T AT . ）
河北科大理学院
第二章 矩阵及其运算
17
定义7 则称A为对称阵. 定义 若 AT = A, 则称 为对称阵. symmetric matrix 则称A为反对称矩阵. 若 AT = − A, 则称 为反对称矩阵. skew symmetric matrix
第二章 矩阵及其运算 本章内容
矩阵的概念 矩阵的线性运算、乘法、 矩阵的线性运算、乘法、转置及幂运算 逆矩阵, 逆矩阵,矩阵可逆的条件及逆矩阵的求法 矩阵分块法
第二章 矩阵及其运算
2
第4讲 矩阵的概念 讲
一 概念的引入 线性方程组与矩阵
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 , a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn = b2 , LLLLLLLLLLLL a x + a x + L +a x = b mn n m m1 1 m 2 2
第二讲非负矩阵与m矩阵
k
1
∥Fk
,
k = 1, 2, . . . .
Therefore,
lim
k→∞
∥Ak
1
∥Fk
≤
lim
k→∞
∥|A|k
1
∥Fk
≤
lim
k→∞
∥B
k
1
∥Fk
.
That is to say, ρ(A) ≤ ρ(|A|) ≤ ρ(B).
由定理 1.1 可直接得到下面的两个结论.
推论 设 A, B ∈ Rn×n, 若 0 ≤ A ≤ B, 则 ρ(A) ≤ ρ(B).
ρ(A)|xk| = |λxk| = [Ax]k =
akj xj ≤ |akj xj | = akj |xj |.
j=1
j=1
j=1
On the other hand, we have
[ ] ∑n ρ(A)|xk| = A|x| k = akj|xj|.
j=1
Therefore,
∑n
∑n
akj xj = |akj xj |.
j=1
(
)−1
∑n
and, if α > 0, we could set bij = αaij
aij . By Lemma 1.3, we have
j=1
ρ(B) = α. Therefore, it follows from Corollary 1.2 that
∑n min aij = α = ρ(B) ≤ ρ(A).
由前面的引理, 我们可以得到一个很有用的结论. 定理 设 A ∈ Cn×n, B ∈ Rn×n. 如果 |A| ≤ B, 则 ρ(A) ≤ ρ(|A|) ≤ ρ(B).
矩阵理论第二讲线性子空间
矩阵理论第⼆讲线性⼦空间第⼆讲线性⼦空间⼀、线性⼦空间的定义及其性质1. 定义：设V1是数域K上的线性空间V的⼀个⾮空⼦集合，且对V已有的线性运算满⾜以下条件1. 如果x、yV1，则x＋yV1；2. 如果xV1，kK，则kxV1，则称V1是V的⼀个线性⼦空间或⼦空间。
2. 性质：（1）线性⼦空间V1与线性空间V享有共同的零元素；（2）V1中元素的负元素仍在V1中。
[证明]（1）0V中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。
（2）（－1）x=(－x) 封闭性V1中元素的负元素仍在V1中1. 分类：⼦空间可分为平凡⼦空间和⾮平凡⼦空间平凡⼦空间：{0}和V本⾝⾮平凡⼦空间：除以上两类⼦空间4. ⽣成⼦空间：设x1、x2、···、x m为V中的元素，它们的所有线性组合的集合也是V的线性⼦空间，称为由x1、x2、···、x m⽣（张）成的⼦空间，记为L(x1、x2、···、x m)或者Span(x1、x2、···、x m)。
若x1、x2、···、x m线性⽆关，则dim{L(x1、x2、···、x m)}=m5. 基扩定理：设V1是数域K上的线性空间V n的⼀个m维⼦空间，x1、x2、···、x m是V1的⼀个基，则这m个基向量必可扩充为V n的⼀个基；换⾔之，在V n中必可找到n-m个元素x m+1、x m+2、···、x n，使得x1、x2、···、x n成为V n的⼀个基。
这n-m个元素必不在V1中。
⼆、⼦空间的交与和1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个⼦空间，则分别称为V1和V2的交与和。
2.定理：若V1和V2是线性空间V的两个⼦空间，则，V1＋V2均为V的⼦空间[证明]（1）是V的⼀个线性⼦空间。
第二章矩阵
习题课一 （第二章） 内容介绍一、 第二章基本内容回顾 二、 讲评第二章练习题 三、 讲评第二章部分习题四、 讲评辅导材料第二章中部分典型题一、 第二章矩阵基本内容回顾§2.1 基本内容2.1.1 矩阵的运算1．矩阵的加法设,][,][n m ij n m ij b B a A ⨯⨯==则.][n m ij ij b a B A ⨯+=+2．矩阵的数乘.][n m ij ka kA ⨯=矩阵的加法与数乘统称为矩阵的线性运算，它们满足以下算律： ∙ ;A B B A +=+∙ );()(C B A C B A ++=++ ∙ );()(lA k A kl = ∙ ;)(lA kA A l k +=+∙ 。
A A k kA n为阶方阵|,|||= 3．矩阵的乘法设,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯==则,][,][p n kj n m ik b B a A ⨯⨯== 其中.,,2,1,,,2,1,1p j m i b aC kjnk ik ij ===∑=即矩阵C 的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列对应元素乘积这和。
两个矩阵可乘的条件是：左边矩阵A 的列数等于右边矩阵B 的行数。
矩阵乘法与数的乘法有很大差异，它体现在∙ 矩阵乘法不满足交换律，即一般地，.BA AB ≠∙ 矩阵乘法含有非零的零因子，即既使0,0≠≠B A ，可能有.0AB =∙ 矩阵乘法不满足消去律，即由0,≠=A AC AB 不能导出.C B =矩阵乘法满足以下运 算律：∙ );()(BC A C AB =∙ ;)(,)(CA BA A C B AC AB C B A +=++=+ ∙ );()()(kB A B kA AB k == ∙ B A B A AB ,|,|||||=为同阶方阵。
4．矩阵的转置 设nn n n n a a a a a a a a a A2121222111211=则A 的转置为nnn nm m Ta a a a a a a a a A212222112111=矩阵转置满足以下算律： ∙ ;)(A A TT =∙ ;)(TTTB A B A +=+ ∙ ;)(TTTA B AB +=∙ |A ||A |T =，此时A 为阶方阵。
辅导讲义(线性代数第二讲)
178第二章 矩阵矩阵本质上就是一个数表，它是线性代数中一个非常重要而且应用十分广泛的概念，贯穿了线性代数的始终，复习时要高度重视，概念要清晰，符号要习惯，运算要准确、迅速、简捷。
1. 理解矩阵的概念，熟练几种特殊的矩阵；2. 了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质；3. 掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4. 理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆；5. 了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则。
一、 考试内容 2.1 矩阵的定义由n m ⨯个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==排成如下m 行n 列的形式⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n mna a a a a a a a a A (2)12222111211称为一个n m ⨯矩阵，当n m =时，矩阵A 称为n 阶矩阵或者叫n 阶方阵。
只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵，又称为行向量；反之，只有一列的矩阵称为列矩阵，又称为列向量。
两个矩阵的行数和列数都相等时，就称它们为同型矩阵。
如果是同型矩阵，而且对应元素都相等，则称两矩阵为相等矩阵。
元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作O 。
注意不同型的零矩阵是不同的。
2.2 矩阵的加法设有两个n m ⨯阶矩阵)(ij a A =和)(ij b B =，那么矩阵A 与B 的和记作B A +，规定为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A (2)21122222221211112121111 运算法则：（1）A B B A +=+ （2）)()(C B A C B A ++=++ （3）A O A =+ （4）)(B A B A -+=- 注意：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算。
第二讲：逆矩阵、克拉默法则
主讲人：同济大学濮燕敏一、知识要点(1) 逆矩阵的定义： 设A 为n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B 使得==AB BA E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则称矩阵A 是可逆的，矩阵B 称为A的逆矩阵；否则称A 是不可逆的.(2) 方阵逆可逆的充要条件：方阵A 可逆0⇔≠A ⇔存在方阵B ，使得=AB E⇔存在方阵B ，使得=BA E .(3) 逆矩阵的性质：(i) 若A 可逆, 则1-A 也可逆, 并且()11--=A A ；(ii) 若A 可逆, 则T A 也可逆, 并且()()1T T 1--=A A ；(4) 伴随矩阵： 方阵A 的伴随矩阵定义为()T *ij A =A ，其中ij A 是行列式A中(),i j 元的代数余子式.(iii) 若A 可逆并且数0k ≠, 则k A 也可逆, 并且()111k k--=A A ； (iv) 若矩阵,A B 都可逆，则AB 也可逆，并且()111---=AB B A .伴随矩阵的性质： (i) **==AA A A A E ； (ii) 若0≠A , 则1*1-=A A A ，*1-=A A A . (5) 克拉默法则： 含n 个未知数n 个线性方程的方程组=Ax b ，当系数矩阵A 的 行列式0≠A 时有惟一解，且解为i i x =A A，这里i A 是把A 的第i 列换成b 所得n 阶 方阵，1,2,,i n =.系数矩阵的行列式0=A .定理：含n 个未知数n 个线性方程的齐次线性方程组=0Ax ，当系数矩阵A 的 行列式0≠A 时，没有非零解.定理：含n 个未知数n 个线性方程的齐次线性方程组=0Ax 有非零解，则系数矩阵A 的行列式0=A .定理：含n 个未知数n 个线性方程的方程组=Ax b 无解或有两个不同的解，则它的二、教学要求1.理解可逆矩阵的概念和性质，会利用概念和性质求逆矩阵；2.理解矩阵可逆的充分必要条件；3.理解伴随矩阵的概念和性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵；4.知道克拉默法则.三、例题精讲例1. 设1213⎛⎫= ⎪⎝⎭P ，1002⎛⎫= ⎪⎝⎭Λ，矩阵A 满足=ΛAP P ，求n A . 解12113==P ， 逆矩阵为1*32111--⎛⎫== ⎪-⎝⎭P P P . 于是由=ΛAP P 得1-=ΛA P P ，()11111=n n n n -----==个ΛΛΛΛΛA P P P P P PP P P P ()113222121032130211312322n n n n n ++⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪--⋅-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例2. 设1134⎛⎫= ⎪⎝⎭P ，2001⎛⎫= ⎪⎝⎭Λ，矩阵A 满足=ΛAP P ，求3222+-A A E . 解11134==P ， 由=ΛAP P 得1-=ΛA P P ， 1n n -=ΛA P P . 3231212222--+-=+-ΛΛA A E P P P P E ()32122-=+-ΛΛP E P . 而323220201402222010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ΛΛE E ， 故3232114022221401-+-=+-==ΛΛA A E P E P .例3. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若3=A O ，则( ).(A) 矩阵-E A 不可逆，+E A 不可逆； (B) 矩阵-E A 不可逆，+E A 可逆；(C) 矩阵-E A 可逆，+E A 可逆； (D) 矩阵-E A 可逆，+E A 不可逆； 解由3=A O 3⇒+=A E E ()()2⇒+-+=A E A A E E ， 所以+E A 可逆，且()12-+=-+E A A A E . 由3=A O 3⇒-=-A E E ()()2⇒-++=-A E A A E E ，即()()2-++=E A A A E E ， 所以-E A 可逆，且()12--=++E A A A E . 正确答案为(C).例4. 设n 阶矩阵A 、B 、C 满足=ABC E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则( ).(A) =ACB E (B) =CBA E (C) =BAC E (D) =BCA E 解由=ABC E 有()=AB C E ， 或是由=ABC E 有()=A BC E ， 从而得=BCA E .所以正确答案为(D). 得=CAB E .设121111121⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭A=，例5. 设A为n阶方阵，则下列说法中正确的是( ).(A) 若A为非零矩阵，则A可逆；(B) 若A没有全零行，则A可逆；(C) 若A可逆，k为任意实数，则k A可逆；(D) 若A可逆，则A没有全零行.解则A为非零矩阵，且A没有全零行，k A 不可逆， 若A 有全零行， 则0=A ，于是A 不可逆， 选项( C)错.当0k =时，0k =A , 与A 可逆矛盾. 所以正确答案为(D). 但由1211110121=A =知A 不可逆，选项(A)、(B)错.由2=A 知A 可逆，例6. 设A,B 是n 阶方阵，已知2=A ，3+=E AB ，则+=E BA . 解()1-+=+E BA A E AB A ()1-=+A E AB A ， 1-=+A E AB A 3=+=E AB .1-+=+E BA A A BA ()1-=+A B A ()11--=+A E A AB A 34=A ， 例7. 设矩阵X 满足*12-=+A X A B X ，其中矩阵111111111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，111001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，解1112111111-⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪-⎝⎭E A 可逆，且()1110120112101-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭E A ， *114--==A A A A ， ()1122-⇒=-X E A B 11011101110410101⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭21111410⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭. 求X .()122-=-X E A B 1142--=+A X A B X 42⇒=+X B AX ()22⇒-=E A X B .当齐次线性方程组的系数矩阵的行列式例8. 当,λμ取何值时，齐次线性方程组()()()123123123103010x x x x x x x x x λμμ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪+++=⎩有非零解？ 解()111131220111λμλμμ---=-=+， 即0λ=或1μ=时，该齐次线性方程组有非零解.。
矩阵论-第二讲
2、维数公式
定理（维数公式）：设W1和W2是有限维线性空间V的两 个子空间，则 dimW 1 dimW 2 dim(W 1 W 2) dim(W 1 W 2)
x x x 例：对二阶矩阵所构成的线性空间M （ 2 R），令A ，B x y 0 L（A），L（B），L（A） L（B）和 M （ 2 R）的关系。 y ， z
T { A | S1 A A, A M 22 (R)} 2 { A | S2 A A, A M 22 (R)}
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，
W 1 W 2 { | W 1, W 2}
称为子空间W1和W2的交。
W 1 W 2 { 1 2 | 1 W 1, 2 W 2}
(1) ( ) ( ) ( ), , W 1 (2) (k ) k ( ), W 1 , k F
则称 是同构映射，线性空间W1和W2同构。
同构映射的性质：
(1) (0) 0, ( ) ( ). (2) ( k i i )
生成子空间：
给定线性空间V的一组元素 1， ， 2， m, L( 1 , 2 ,, m) { k i i | k i F , i 1,2,, m)
i 1 m
定理：设W是线性空间V的一个非空子集，则W是V的 子空间的充要条件是： W对V的加法和数乘运算是封 闭的。
称为子空间W1和W2的和。
定理：设W1和W2是线性空间V的两个子空间，则它 们的交以及它们的和仍然是V的子空间。
定义： 设W1和W2是线性空间V的两个子空间，如果
W 1 W 2 {0}
则称W1+W2为子空间W1和W2的直和，记为 W 1 W 2 。
第2讲_行列式的应用、计算与性质
问题3： 问题 ：设计算速度取为每秒 算所化的时间？ 算所化的时间？ 年数 =
次乘法时， 次乘法时，估算按定义计
约为3.1亿亿年 约为 亿亿年
二 行列式的性质 性质1： 性质 ：
证明： 证明： 左端
= 右端
性质2： 性质 ：
证明： 证明： 左端
= 右端
性质3：对换行列式中两行的位置，行列式反号。 性质 ：对换行列式中两行的位置，行列式反号。
借助于行列式，则可把解表示成： 借助于行列式，则可把解表示成：
行列式可以表示二元线性方程组的解， 行列式可以表示二元线性方程组的解，但这还不足以说 明这样做有什么优势。 明这样做有什么优势。
2
用消元法解三元线性方程组
该方程组有惟一解的条件为
若使用行列式则可表示为
式 若记 有 否 简 单 的 规 律 记 ？ 可
级行列式， 例 ：一个 n 级行列式，假设它的元素满足
为奇数时，此行列式为零。 则当 n 为奇数时，此行列式为零。
故当 n 为奇数 时，得 d=-d， ， 因而 d=0。 。
例 ：计算行列式
的第一列乘-1后加到其余各列 当n>2时，将D的第一列乘 后加到其余各列，则得 时 的第一列乘 后加到其余各列，
比如本节开始所举的 n=30 行列式的计算问题，按化 行列式的计算问题， 三角行列式法， 三角行列式法，所需计算次数与时间分别为
显然这是可以接受的。 显然这是可以接受的。 更重要的是， 更重要的是， 这个方法完全是机械的，因而可用计算机编程实现。 这个方法完全是机械的，因而可用计算机编程实现。
例：计算行列式
二
1
行列式在求解简单方程组中的应用
用消元法解二元线性方程组
分析方程解的形式，其分子、 分析方程解的形式，其分子、分母都是四个数分两对 相乘再相减而得，与二阶行列式定义中的展开形式接近， 相乘再相减而得，与二阶行列式定义中的展开形式接近， 看其分子分母能否表示成行列式的形式？ 看其分子分母能否表示成行列式的形式？
第二讲矩阵运算
六、矩阵的拆分
A(m,n)：提取第m行，第n列元素 A(:,n)： 提取第n列元素 A(m,:)： 提取第m行元素 A(m1:m2,n1:n2)：
提取第m1行到第m2行和第n1 列到第n2列的所有元素（提取子 块）。
1．矩阵元素
通过下标引用矩阵的元素，例如 A(3,2)=200
采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。 矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的 排列顺序。在MATLAB中，矩阵元素按 列存储，先第一列，再第二列，依次类推。 例如 A=[1,2,3;4,5,6]; A(3) ans =
②变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 ③当一个指令或矩阵太长时，可用•••续行
✓利用M文件建立矩阵
对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为
它专门建立一个M文件,便于修改。 步骤：
(1) 启动有关编辑程序或MATLAB文本编 辑器，并输入待建矩阵；
(2) 把输入的内容以纯文本方式存盘(设 文件名为mymatrix.m)；
zeros(3) (2) 建立一个3×2零矩阵。
zeros(3,2)
(3) 设A为2×3矩阵，则可以用
zeros (size (A))建立一个与矩阵A同
样大小零矩阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶 矩阵A zeros (size (A)) %产生一个与矩阵 A同样大小的零矩阵
A (I :i+ m ,k :k +m)： 取A矩阵第i～i+ m行内,并在第
k～k +m列中的所有元素。
③还可利用一般向量和end运算符来 表示矩阵下标，从而获得子矩阵。 end表示某一维的末尾元素下标。
>>x=rand(1,5) x= 0.9501 0.2311 0.6068 0.4860 0.8913 >>x(3) ans = 0.6068 >>x(1:3) ans = 0.9501 0.2311 0.6068 >>x(3:end) ans = 0.6068 0.4860 0.8913
自考04184线性代数(经管类)讲义第二章 矩 阵
第二章矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。
矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。
其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。
第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。
通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。
有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。
n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。
只有一阶方阵才是一个数。
一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。
n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。
在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
用O m×n或者O（大写字）表示。
特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。
它是1×n矩阵。
当n=1时，称为m维列向量。
它是m×1矩阵。
向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。
例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。
几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。
2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵素都相同时，称它为数量矩阵。
有如下形式：或。
（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。
n阶单位矩阵记为E n或I n，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。
第三章矩阵第二讲
1 j n 于是 A1(1 2 n )＝e1 e2 en.
a 1
A1
.
a 1
由(1)知a 0，故 1 2
1
n＝
a
.
1
a
(3) 若m 0, 对m用归纳法.m 1,显然成立.
x11
设m＝k
1时成立，当m
k
1时，Ak 1 A
xn1
x1n a11
A
C1 k 2 k 1 k 1
C1 k 2 k 1
n1 k n
C k1 n2 k n1 C k1
A
k1
(注意:Cnk1 Cnk Cnk1)
k
k
C n1 k
C n2 k
k n1 k n2
k
f( )
更一般的有：f(A)=
11!f() f( )
21!f() 11!f( )
于是 A 2 BB C'C
3. 设A=(B,C)是n m实矩阵，B是n s子块. 证明： AA BB CC
证： (1)当n=m时，由题2知正确.
(2)当m>n时, 由B-C公式知 AA ＝0，而 BB 0 CC 0，故结论证毕.
(3)当m<n时，AX=0有非零解且基础解系至少含n m个向量,取n m个线
b2n
bnn
bij bi1 j bij1 bij
(i n, j 1) (1)
bnj bnj1 bnj
(i n, j 1) (2)
bn1 bn1
(i n, j 1) (3)
bi1 bi11 bi1
(i n, j 1) (4)
由(4)得 bi11＝0，即 b21=b31 bn1 0 (5)
j=1
线性代数考研第二讲
k
k A2
方阵的行列式
A1 O O A2 A1 A1
方阵的逆矩阵
A1 O O A11 A2
1
1 A2
第二讲 矩阵
分块矩阵
A O 例10 设 H C B
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
5. 矩阵的转置 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n 的转置 1. 定义: A = … … … … am1 am2 … amn a11 a21 … am1 a12 a22 … am2 a1n a2n … amn
AT =
…
…
…
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
1 0 1 例1 设 A 0 2 0 1 0 1
T
，求 An 2 An1 (n 2).
1 1 T T 例2 设 (1, 2, 3) , (1, , ) , A ，求A6. 2 3
1 1 1 例3 设 A 1 1 1 ，求A10. 1 1 1
… A1r +B1r … A2r +B2r . … … … Asr +Bsr
第二讲 矩阵
分块矩阵
分块数乘
A11 A21 设矩阵A = … As1
A12 … A1r A22 … A2r … … … , 为常数. As2 … Asr
则A =
A11 A12 … A1r A21 A22 … A2r
第二讲 矩阵
矩阵的基本运算
3. 矩阵的乘积 定义A = (aij)ms与B =(bij)sn的乘积是一个 mn矩阵C = (cij)mn , 其中 cij = ai1b1j + ai2b2j +…+ aisbsj = aikbkj.
线性代数第二章2-1, 2-2
称为mn线性方程组，m=n 时，称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增 广 矩 阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作 ：A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律 （设A、B为mn矩阵，、为常数）
(i). （）A = （A）
(ii). （+）A = A + A (iii). （A + B）=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms ， B = (bij ) sn， 则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn，其中
第1节 矩阵的概念
引：线性方程组的一些性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过 程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方 程组外，还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的，表面上无联系的问题，归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3）单位矩阵 主对角线元素都是 1, 其他元素都是零 的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0
第二讲：矩阵初等变换与线性方程组
3．同解方程组
如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们 是同解的．
4. 方程组的同解变换 例 解线性方程组
2x2 x3 1 x1 x2 x3 0
2x1 x2 x3 2
对此线性方程组,可做如下三种消元变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.
进而 有
m,n Z , m P, n
m 0 m P.
n
n
而任意一个有理数可表成两个整数的商，
Q P.
练习 判断数集 P1, P2 是否为数域？为什么? P1 {2n 1 | n Z },
P2 {n 2 | n Z } Z( 2).
变换ri 2rj不可写成2rj ri； 2ri 3rj无此变换；
1 0 练习：对矩阵 1 1
2 1
1 0 2 r2 +r1
解：
1
1
1
r3 -2r1
2 1 1
2
1
作初等行变换。
1
1 0 2
00
1 1
3-3
r3 -r2
5 +3x4
0
(2)
2x3 4x4 7
x22 x32 13
x1 x2 x3 0
2x - y 3 ex y 3z 5
4
(3)(4)为非线性方程组。
1. 线性方程组与矩阵(P105)
线性方程组的一般形式为
第二讲 线性变换及其矩阵
3
第二讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
1. 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，若 V , 均存在唯一 的 V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换（或算子），记为T ( ) . 称 为 在变换 T 下的象， 为 的原象。 若变换 T 还满足, V , k,l K,有T (k l ) kT () lT ( ).则称 T 为线性变换。
T 1,2,
,n (T (1),T (2),
,T (n)) 1,2,
a11 a12
,n
a21 a22
an1 an2
1,2, ,n 下的矩阵。
1
a1n
a2n
1,
2
,
ann
称 A (aij )nn 为 T 在基 ,n A
R(T ) T ( ) | V n 为 T 的值域； N(T ) | V n,T () 称为T 的核。
易证 R(T ) 和 N (T ) 均为V n 的子空间，分别称为 T 的像空间和核（零）空间，称 dim R(T ) 、 dim N (T ) 为T 的秩和零度。 2、定理 设 T 为V n 上的线性变换， 1,2, ,n 为V n 的一组基，则
（1） R(T ) SpanT (1),T (2), T(n)；（2） dim R(T ) dim N(T ) n ；
特别地，若 A 是线性变换 T 的矩阵，则 dim R(T ) = dim R( A) ，dim N(T ) = dim N ( A) .
第二章 矩阵及其运算总结
§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1） （2） （3）（4） （5）三、逆矩阵1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点） 这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ． 矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故 方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】 将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩 阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变 形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解 由题设条件得3.伴随矩阵 如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵 例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。
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a1n a11 a21 a2n a12 a22 T , 则A = a a amn 1n 2n
am1 am2 . amn
1 例.若 A = 3
2 1Leabharlann 1 3 3 , 则 A T = 2 2 . 2 3 1
6.对称矩阵： 6.对称矩阵：若AT = A, 则称矩阵A为对称矩阵. 对称矩阵 反对称矩阵： 反对称矩阵： 若AT = - A, 则称矩阵A为反对称矩阵.
(2)以数
(1) 交换矩阵的两列；(交换 i, j 两列, 记作 ci c j )
k ≠ 0 乘以矩阵的某一列的所有元素（第 i 列乘 k, 记作kci） ;
(3) 把某一列所有元素乘以k加到另一列对应的元素上去.
（第 i 列的乘以 k 加到第 j 列上记作 : kci + c j）
3.矩阵初等变换的性质： 3.矩阵初等变换的性质： 矩阵初等变换的性质 (1)任何矩阵都可以由矩阵初等变换化为行(列)阶梯形矩阵. (2)任何可逆方阵都可以由矩阵初等变换化为单位矩阵. 4.矩阵初等变换的应用 4.矩阵初等变换的应用 (1)化矩阵为三角矩阵 化矩阵为三角矩阵： (1)化矩阵为三角矩阵： 1 1 2 1 4 - 2 r1 + r2 1 1 2 1 4 - 2r + r 2 1 1 1 2 1 3 0 3 3 -1 - 6 例1 : A = 2 3 1 1 2 - 3r1 + r4 0 5 5 3 - 6 3 6 9 7 9 0 3 3 4 - 3
7.行阶梯矩阵与简化行阶梯矩阵 7.行阶梯矩阵与简化行阶梯矩阵 1 0 1 例： 1 2 3 4 0 1 1 A=0 5 6 7 B = 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0
4 0 3 1 3 0 0 0
2 0 C= 0 0
1 3 0 0
3 0 0 0
0 1 0 0
0 1 2 2 B= 0 0 3 0 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 3 1 0
(3).简化行阶梯矩阵: (3).简化行阶梯矩阵: 简化行阶梯矩阵 定义:设矩阵T为行阶梯矩阵,若T的主元都是1,且每个主 定义: 元所在的列其余元素全为0,则称矩阵T为简化行阶梯矩阵. 例：
练习1 : 将下列矩阵化为行阶梯 矩阵.
1 0 A= 2 1
2 1 0 2
2 3 1 3
4 1 3 2
2 B = 0 1 2 2 2 2 8 0
1 2 0
2 1 3
4 3 1
4 12 0 C = 3 1 6 1 1 6
28 16 4
练习 2 : P94 1, ( 2 ) 2 ( 2 ) 作业 : P94 1, (1) 2 (1)
2 5 10 2 22 26 1 2 1 1 2 13 2 5 10 1 2 1 3 12 21 6 12 6
例4:
2 1 (A,b) = 4 3 1 2r1 + r2 4r1 + r3 0 0 3r1 + r4 0
2 1
8
1 2 5 4 7 14 3 4 11 1 2 5 0 0 5 15 2 6
0 10 4
5 7 r1 r2 3 3 7 9 3r2 +r3 25 2r2 + r4 18
1 2 4 3
7 2 1 8 5 4 7 14 3 3 4 11 3
1 2 5
1 0 0 0
1 2 5 7 0 5 2 9 0 0 0 2 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ≠ 0 0 0 0 ).
0
0
3.上三角矩阵： 3.上三角矩阵： a11 a12 a1m 上三角矩阵
a1n 0 a22 a2m a2n 0 0 a amn mm
a11 0 下三角矩阵： 下三角矩阵： a21 a22 a m1 am1
5 5 4 0
(1).矩阵的主元: (1).矩阵的主元: 矩阵中每个非0行的第一个不为0的元素. 矩阵的主元 例如:矩阵A的主元为:1,5,8; B的主元:1，1，1；C的主 元:2,-3,4. (2).行阶梯矩阵: 定义: (2).行阶梯矩阵: 定义:若矩阵A满足如下条件, 行阶梯矩阵
①A的元素全为0的行在A的下方 ②A的主元的列指标随着行指标的递增而严格增大.
则称矩阵A为行阶梯矩阵.
即:A为行阶梯矩阵 列阶梯矩阵: 列阶梯矩阵:
矩阵A中每下面一行主元左边的0的个数比
上一行主元左边的0的个数至少多一个.
定义:矩阵A中每右边一列从上到下第一个非0元上面的0的 个数,比左边一列从上到下第一个非0元上面的0的个数至 少多一个,则称矩阵A为列阶梯矩阵 例：
1 0 0 0 A=2 4 0 0 3 5 6 0
2 3 1 6 3 4 2 13 3 5 2 13 1 1 1 3 2 3 1 6 1 1 1 3 0 8 1 4 0 7 1 4
(2)化矩阵为行阶梯矩阵： (2)化矩阵为行阶梯矩阵： 化矩阵为行阶梯矩阵 1 1 2 5 10 1 1 2 r1 + r2 6 12 6 - 3r + r 0 5 2 7 例3 : A = 1 3 3 2 5 17 31 5r + r 0 1 1 4 5 2 9 0 7 27 63 1 1 2 5 10 - 5r + r 1 1 2 3 0 1 1 2 1 r2 r3 0 1 0 5 2 22 26 7 r + r 2 4 0 0 0 7 1 2 13 0 0 1 1 2 5 10 2 r3 + r4 0 1 1 2 1 0 0 3 12 21 0 0 0 36 36
第二讲 矩阵
一.矩阵的概念： 矩阵的概念
定义 :由m × n个数aij ∈ K (i = 1,2, , m; j = 1,2, , n)排列成的 m行, n列的数表 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n a am 2 amn m1 称为数域K上的一个m × n矩阵.其中aij 称为这个矩阵的元素.
1 0 3 0 A=0 1 6 0 0 0 0 1
1 0 B= 0 0
2 0 3 0 5 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
三.矩阵的初等变换
1.定义1 1.定义1下面三种变换称为矩阵A的初等行变换 定义 初等行变换: 初等行变换
(1) 交换矩阵的两行 ;
1 0 0 0 1 0 即En = . 0 0 1
5.转置矩阵 5.转置矩阵
定义 : 设矩阵 A = ( aij ) m×n , 定义 A的转置矩阵 AT 为一个 n × m矩阵 , 它的 (i, j )元就是 A的( j , i )元.
a11 a12 a21 a22 即若A = a m1 am1
0 0
amn
0 0 0 0
对角矩阵： 除主对角线元外,其余元素都为0的方阵. 对角矩阵： .
记作 : diag ( a11 , a22 , , ann ) .
a11 0 0 0 a 22 0 0 0 . a nn
4.单位矩阵： 4.单位矩阵：E = diag (1,1, ,1). 单位矩阵 n
(交换 i, j 两行 , 记作 ri r j )
(2)以数 k ≠ 0 乘以矩阵的某一行的所有元素; （第 i 行乘 k , 记作 kri）
(3) 把某一行所有元素乘以k加到另一行对应的元素上去.
（第 i 行的乘以 k 加到第 j 行上记作 : kri + r j）
2.定义2 2.定义2 下面三种变换称为矩阵A的初等列变换 定义 初等列变换: 初等列变换
5 - r2 + r3 3 r2 + r4
4 1 1 2 1 -1 - 6 0 3 3 4 0 0 0 4 3 0 0 0 3 - 9
1 1 2 5 10 2 r1 + r2 2 7 6 12 6 3r1 + r3 例 : A= 2 3 2 5 17 31 5 r1 + r4 5 2 9 27 63 1 1 2 5 10 0 1 1 2 1 5r2 + r3 r2 r3 0 5 2 22 26 7r + r 2 4 0 7 1 2 13 1 1 2 5 10 2r3 + r40 1 1 2 1 0 0 3 12 21 = B1 0 0 0 36 36
1 0 0 0 1 0 0 0
1 2 5 5 1 2 1
7 1 1 2 1 0 1 6 0 3
10 22 26 2 1 2 13 5 10 2 1 12 21 12 6
练习: 练习
1 2 3 1 6 1 r +r 1 2 0 1 1 1 1 7 A= 2 1 1 0 1 2r1 + r3 0 0 1 1 1 3 0 1 2 3 1 6 3r + r 1 r2 r4 0 1 1 1 3 2 3 0 0 3 5 2 13 3r2 + r4 0 0 3 4 2 13 0 1 2 3 1 6 7 r3 + r4 0 1 1 1 3 8 0 0 8 1 4 = B 1 1 0 0 0 8 2
注： (1)m行n列的矩阵一般记为 : Am×n , Bm×n , Cm×n或(aij ) m×n .
(2)aij 表示矩阵中第i行第j列交叉位置的元素.
(3)两个矩阵相等是指他们对应位置的元素完全相等.
几个特殊的矩 二.几个特殊的矩阵： 几个特殊的
1.方阵： 1.方阵： 行数与列数相等的矩阵称为方阵. 方阵 . 2.零矩阵： 2.零矩阵：元素全为0的矩阵.记为:0 零矩阵 . 注意: 注意 不同阶数的零矩阵是不相等的. 例如