初二数学上册第二章实数

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第二章:实数

本章的知识网络结构:

知识梳理

一.数的开方主要知识点:

【1】平方根:如果一个数x 的平方等于a ,那么,这个数x 就叫做a 的平方根;也即,当)0(2≥=a a x 时,我们称x 是a 的平方根,记做:)0(≥±=a a x 。因此:

4.当a=0时,它的平方根只有一个,也就是0本身;

4.当a >0时,也就是a 为正数时,它有两个平方根,且它们是互为相反数,通常记做:a x ±=。

4.当a <0时,也即a 为负数时,它不存在平方根。

例1.

(1) 的平方是64,所以64的平方根是 ;

(2) 的平方根是它本身。

(3)若x 的平方根是±2,则x= ;16的平方根是

(4)当x 时,x 23-有意义。

(5)一个正数的平方根分别是m 和m-4,则m 的值是多少?这个正数是多少?

【算术平方根】:

(1)如果一个正数x 的平方等于a ,即a x =2,那么,这个正数x 就叫做a 的算术平方根,记为:“a ”,读作,“根号a”,其中,a 称为被开方数。特别规定:0的算术平方根仍然为0。

(2)算术平方根的性质:具有双重非负性,即:)0(0≥≥a a 。

(3)算术平方根与平方根的关系:算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。因此,算术平方根只有一个值,并且是非负数,它只表示为:a ;而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±。

例2.(1)下列说法正确的是 ( )

A .1的立方根是1±;

B .24±=;(

C )、81的平方根是3±; (

D )、0没有平方根;

(2)下列各式正确的是( )

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、235=-

(3)2)3(-的算术平方根是 。

(4)若x x -+有意义,则=+1x ___________。

(5)已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ,求c 的取值范围。

(6)已知:A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根,B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A -B 的平方根。

(7)(提高题)如果x 、y 分别是4- 3 的整数部分和小数部分。求x - y 的值.

【立方根】

(1)如果x 的立方等于a ,那么,就称x 是a 的立方根,或者三次方根。记做:3a ,读作,3次

根号a 。注意:这里的3表示的是开根的次数。一般的,平方根可以省写根的次数,但是,当根的次数在两次以上的时候,则不能省略。

(2)平方根与立方根:每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根;但是,并不是每个数都有

平方根,只有非负数才能有平方根。

例3.(1)64的立方根是

(2)若9.28,89.233==ab a ,则b 等于( )

A. 1000000

B. 1000

C. 10

D. 10000

(3)下列说法中:①3±都是27的立方根,②y y =33,③64的立方根是2,④()4832±=±。

其中正确的有 ( )

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

【无理数】

(1)无限不循环小数的小数叫做无理数;它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段,

无理数的表现形式主要包含下列几种:(1)特殊意义的数,如:圆周率π以及含有π的一些数,如:2-π,3π等;(2)开方开不尽的数,如:39,5,2等;(3)特殊结构的数:如:2.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多1个0)等。应当要注意的是:带根号的数不一定是无理数,如:9等;无理数也不一定带根号,如:π

(2) 有理数与无理数的区别:(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不

循环小数;(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数则不能写成分数形式。

例 4.(1)下列各数:①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3

2-、⑦0.3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有_______;是无理数的有_______。(填序号)

(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个

A 2

B 3

C 4

D 5

【实数】

(1)有理数与无理数统称为实数。在实数中,没有最大的实数,也没有最小的实数;绝对值最小的

实数是0,最大的负整数是-1。

(2)实数的性质:实数a 的相反数是-a ;实数a 的倒数是a 1(a≠0);实数a 的绝对值|a|=⎩

⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ,它的几何意义是:在数轴上的点到原点的距离。

(3)实数的大小比较法则:实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同:即正数大于0,0

大于负数;正数大于负数;两个正数,绝对值大的就大,两个负数,绝对值大的反而小。(在数轴上,右边的数总是大于左边的数)。对于一些带根号的无理数,我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

(4)实数的运算:在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运

算顺序与有理数的一致。

例5.

(1)下列说法正确的是( );

A 、任何有理数均可用分数形式表示 ;

B 、数轴上的点与有理数一一对应 ;

C 、1和2之间的无理数只有2 ;

D 、不带根号的数都是有理数。

(2)a ,b 在数轴上的位置如图所示,则下列各式有意义的是( )

A 、b a -

B 、ab

C 、b a +

D 、a b -

(3)比较大小(填“>”或“<”).

-, 76______67, 215- 2

1, (4)数 2,3-- 的大小关系是 ( )

A. 32<-<-

B. 32-<<-

C. 23-<<-

D.

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