2013年中考数学复习 第六章图形与变换 第34课 图形的相似课件

交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做 相似三角形 ． 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的 相似比 ．
5．相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交， 所截得的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等； (3)两边对应成比例且夹角相等； (4)三边对应成比例； (5)直角三角形中，斜边和一条直角边对应成比例； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角 形相似． 6．相似三角形性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应 中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比， 面积比等于相似比的平方．
探究提高
本题主要考查相似三角形的判定、性质，相似三角形性质
的应用等．
知能迁移2
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，
E是AB的中点，且CE⊥DE. (1)请你判断△ADE与△BEC是否相似，并说明理由；
(2)若AD＝1，BC＝2，求AB的长．
解：(1)相似，理由如下： ∵AD∥BC，∠B＝90°，
求证：△ADE∽△EFC. 证明： ∵DE∥BC，EF∥AB， ∴∠AED＝∠C，∠A＝∠CEF， ∴△ADE∽△EFC.
题型二
相似三角形的性质
【例 2】 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD. (1)请再写出图中另外一对相等的角；
(2)若AC＝6，BC＝9，试求梯形ABCD的
中位线的长度．
∴∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝∠B＝90°.
∴∠ADE＋∠AED＝90°. ∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°，∠AED＋∠BEC＝90°.
∴∠ADE＝∠BEC. 又∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC.
(2)∵△ADE∽△BEC， ∴ AD＝ AE . BC
EB
∵E是AB的中点， 1 ∴AE＝BE＝ AB. 2 2＝AD·BC＝1×2＝2，AE＝ ∴AE 2. ∴AB＝2AE＝2 2. 答：AB的长为2 2 .
基础自测
1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( B ) A．1、2、3、4 C．3、5、9、13 B．1、2、2、4 D．1、2、2、3
解析：线段1、2、2、4中，1∶2＝2∶4.
2．(2011· 陕西)如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、
CD 边上的点，连接BE 、AF相交于G，延长BE交CD的延长 线于点H，则图中的相似三角形有( C ) A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
AD AC2 62 ∴AB＝ AD ＝ ＝3. 2
故当AB的长为3时，这两个直角三角形相似．
规范解答
解：在Rt△ADC中，
∵AC＝ 6 ，AD＝2， ∴CD＝ AC2－AD2＝ 2 .
要使这两个三角形相似，
AC 有AC ＝ AB 或 CD ＝ AB ， AC AC AD AC2 AC2 62 62 ∴AB＝ AD ＝ 2 ＝3，或AB＝ CD ＝ ＝3 2
解析：分析可以看出图中△ABC是钝角三角形，其钝角为135°， 且夹这个角的两边的比为2∶ 2 ＝ 2∶1，只有A选项中的三角 形符合条件．根据相似三角形的判定定理，它们是相似三角形， 故选A. 探究提高 此题考查相似三角形的判定知识及观察能力．
知能迁移1
如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.
知能迁移4
如图，在长为10 cm、宽为6 cm的矩形中，截去一个
矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的 矩形的面积是多少？ 解：由题意，可知矩形ABCD∽矩形CDEF. ∴AB ＝ CD ，即 10 ＝ DE . DE
6 AD 6
∴DE＝3.6， ∴S矩形CDEF＝6×3.6＝21.6 cm2.
题型三
相似三角形综合问题
【例 3】 如图，矩形PQMN内接于△ABC，矩形周长为24，
AD⊥BC交PN于E，且BC＝10，AE＝16，求△ABC的面积．
解：在矩形PQMN中，PN∥＝QM， ∴△APN∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴AE⊥PN. ∴PN ＝AE .
设ED＝x，
BC AD
∵矩形PQMN周长为24，∴PQ＋PN＝12，
AM HG 30－x 2x
题型四
相似多边形与位似图形
【例 4】 如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格
点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出△OAB的一 位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与
△OAB的位似比为2∶1.
解：画图略
探究提高 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线 都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫 做位似中心，这时的相似比称为位似比．位似图形上任意一对 对应点到位似中心的距离之比叫做相似比．
∴AB∥DC，AD∥BC.
∴△ABG∽△FHG，△HED∽△HBC， △ABE∽△DHE，△ABE∽△CHB， ∴相似三角形有四对．
3．(2011· 北京)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD 相交于点O，若AD＝1，BC＝3，则 AO的值为( B ) CO A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 9 4 2 3 解析：∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， AO AD 1 ∴CO ＝ BC ＝ . 3
∴PN＝12－x，AD＝16＋x，
∴ 12－x ＝ 16 ，x2＋4x－32＝0， 解之：得x1＝4，x2＝－8(舍去)，
10 16＋x
∴AD＝AE＋ED＝20， 1 ∴S△ABC＝ 1 BC·AD＝ ×10×20＝100. 2 2 答：Hale Waihona Puke ABC的面积是100.探究提高
本题考查的关键是“相似三角形的对应边上的高线之比 等于它们的相似比”．
4．(2011· 台州)若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周 长之比为( A ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶16
解析：相似三角形的面积之比为相似比的平方，周长比等于相似 比，所以相似比为 1 ＝1 . 4 2
5．(2012· 潍坊)如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得 到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开， 依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么 AB 等于( B ) AD A．0.618 B. 2 2 C. 2 D．2
第34课 图形的相似
要点梳理
1．比和比例的有关概念： (1)第四比例项：若 a ＝ c 或a∶b＝c∶d，那么d叫做a、b、c b d 的 第四比例项 ． a c (2)比例中项：若 ＝ 或a∶b＝b∶c，那么b叫做a、c b d 的 比例中项 ．
(3)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线
2.
故当AB的长为3或3 2时，这两个直角三角形相似．
老师忠告
1．此题中，两个直角三角形Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB
＝∠ADC＝90°，∠B可能与∠ACD相等，或者∠B与∠CAD相等， 三角形△ABC与△ADC相似可能是△ABC∽△ACD或
△ABC∽△CAD.根据对应边成比例，有两种情况需要分类讨论．
2．分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何 的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法．
3．在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在
推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、 迅速地解决问题．忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把
握不准的表现．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1. 在平面几何的学习中，“相似是关键”，为了学好相似形， 要随时与全等形做比较，寻找它们之间的联系与区别．因此， 全等形是相似比为“1”的特殊相似形，相似形则是全等形的推 广． 2. 从一般和特殊的关系角度，在与全等三角形(相似三角形 的特例)的对比中，掌握相似三角形的性质与判定．
3. 判定三角形相似的基本思路：
(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理； (2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或再找
2．运用相似三角形的判定解决其他问题
相似三角形的判定方法可用来判定两个三角形相似，也可以 间接地说明角相等或线段成比例，还可为计算线段及角的大小
创造条件，在解决问题时，应从问题结论所需条件入手，灵活
转化．有时需把解题中涉及的线段转化到适当的三角形中去考 虑，有时要找“中间比”来替换，使问题得以间接解决．
(2)求这个矩形EFGH的周长．
解：(1)证明：∵四边形EFGH为矩形， ∴EF∥GH， ∴∠AHG＝∠ABC. 又∵∠HAG＝∠BAC， ∴△AHG∽△ABC， ∴ AD ＝ BC .
AM HG
(2)解：设HE＝x，
则HG＝2x，AM＝AD－DM＝AD－HE＝30－x， 由(1)可知， ＝BC ，∴ 30 ＝40 ， AD 解得，x＝12, 2x＝24. ∴矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72 cm.
答题规范
13．易出错的三角形相似问题
考题再现 如图，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，
AC＝ 6 ，AD＝2，问：当AB的长为多少时，这两个直角三 角形相似？
学生作答 解：在Rt△ADC中， ∵AC＝ 6 ，AD＝2， ∴CD＝ AC2－AD2＝ 2 . 要使这两个三角形相似， 有AC ＝ AB ， AC
3．平行线分线段成比例定理：
(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成 比例 ； (2)平行于三角形一边截其它两边(或两边的延长线)，所得的对
应线段成 比例 ；
(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对 应线段成 比例 ，那么这条直线平行于三角形的第三边；
(4)平行于三角形的一边，并且和其它两边(或两边的延长线)相