正余弦定理的应用举例(很好)ppt课件
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16
例3、 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
的距离，在河的这边测定CD 3 千米，A 2
ADB CDB 30，ACD 60，
ACB 45，求AB两点的距离.
分析：
D
30° 30°
1. 在△ABD中求AB
2. 在△ABC中求AB
AB 6 4
B 45° 60° C
9
形成规律
测量两个不可到达点之间的距离方案： 选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、 ∠BDC、∠ADB的大小； →利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB.
3
题型分类 深度剖析 题型一 测量距离问题
4
问题1. A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量 这两点之间的距离。 测量者在A的同侧，在所在 的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， ∠BAC＝60o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的 距离（精确到0.1m).
分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的 一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的 对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.
10
Hale Waihona Puke Baidu
形成结论
在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
11
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型
17
例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
AC asin sin( )
asin( )
asin( )
AC
B
sin 180o ( ) sin( ) A
BC
a sin
asin
sin 180o ( ) sin( )
AB AC2 BC2 2ACBC cos
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
8
练习 如图 ，为了 测量 河对 岸A、B两点 间
13
解 在△ABD 中，设 BD＝x m， 则 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA， 即 1402＝x2＋1002－2×100×x×cos 60°， 整理得 x2－100x－9 600＝0， 解得 x1＝160，x2＝－60(舍去)，故 BD＝160 m. 在△BCD 中，由正弦定理得： sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD， 又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)． 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
正余弦定理
应用举例
1
复习巩固
1.正弦定理和余弦定理的基本公式 是什么？
a = b = c = 2R sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
2
复习巩固
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪 些类型的三角形？ 正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与一角或三边.
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解
12
变式训练 1 如图，为了计算渭河岸边两景点 B 与 C 的距离，由于地形的限制， 需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点． 现测得 AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m， ∠BDA＝60°，∠BCD＝135°， 求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A，B， C，D 在同一平面内，测量结果保留整数； 参考数据： 2＝1.414， 3＝1.732， 5＝ 2.236)．
14
题型二 测量高度问题
•实际问题中的常用角 • (1)仰角和俯角 • 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角，目标视线在水平视线上 方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯 角(如图①)．
15
• 2)方向角：相对于某正方向的水平角，如 南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； • (3)方位角 • 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图②)．
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
B A
C 分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
7
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=a,并且在C、D两点分别测得 ∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ. 在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
AB AE h AC sin h asin sin h sin( )
18
例4、在山顶铁塔上B处测得 地面上一点A的俯角α＝75°， 在塔底C处测得A处的俯角β ＝45°。已知铁塔BC部分的 高为30m，求出山高CD.
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
5
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
55sin 75o
75.1
55
sin
75o
75.1(m)
sin(180o 60o 75o) sin 45o
答：A、B两点间的距离为75.1米。
6
例3、 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
的距离，在河的这边测定CD 3 千米，A 2
ADB CDB 30，ACD 60，
ACB 45，求AB两点的距离.
分析：
D
30° 30°
1. 在△ABD中求AB
2. 在△ABC中求AB
AB 6 4
B 45° 60° C
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形成规律
测量两个不可到达点之间的距离方案： 选定两个可到达点C、D； →测量C、D间的距离及∠ACB、∠ACD、 ∠BDC、∠ADB的大小； →利用正弦定理求AC和BC； →利用余弦定理求AB.
3
题型分类 深度剖析 题型一 测量距离问题
4
问题1. A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量 这两点之间的距离。 测量者在A的同侧，在所在 的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m， ∠BAC＝60o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的 距离（精确到0.1m).
分析：所求的边AB的对角是已知的,又知三角形的 一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的 对角,根据正弦定理,可以计算出边AB.
10
Hale Waihona Puke Baidu
形成结论
在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
11
解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知， 画出示意图
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把 已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解斜三角形的数学模型
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例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑 物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
AC asin sin( )
asin( )
asin( )
AC
B
sin 180o ( ) sin( ) A
BC
a sin
asin
sin 180o ( ) sin( )
AB AC2 BC2 2ACBC cos
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
8
练习 如图 ，为了 测量 河对 岸A、B两点 间
13
解 在△ABD 中，设 BD＝x m， 则 BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA， 即 1402＝x2＋1002－2×100×x×cos 60°， 整理得 x2－100x－9 600＝0， 解得 x1＝160，x2＝－60(舍去)，故 BD＝160 m. 在△BCD 中，由正弦定理得： sin∠BCCDB＝sin∠BDBCD， 又 AD⊥CD，∴∠CDB＝30°， ∴BC＝sin161035°·sin 30°＝80 2≈113 (m)． 即两景点 B 与 C 之间的距离约为 113 m.
正余弦定理
应用举例
1
复习巩固
1.正弦定理和余弦定理的基本公式 是什么？
a = b = c = 2R sin A sin B sinC
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
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复习巩固
2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪 些类型的三角形？ 正弦定理：一边两角或两边与对角； 余弦定理：两边与一角或三边.
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解
12
变式训练 1 如图，为了计算渭河岸边两景点 B 与 C 的距离，由于地形的限制， 需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点． 现测得 AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m， ∠BDA＝60°，∠BCD＝135°， 求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A，B， C，D 在同一平面内，测量结果保留整数； 参考数据： 2＝1.414， 3＝1.732， 5＝ 2.236)．
14
题型二 测量高度问题
•实际问题中的常用角 • (1)仰角和俯角 • 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角，目标视线在水平视线上 方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯 角(如图①)．
15
• 2)方向角：相对于某正方向的水平角，如 南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； • (3)方位角 • 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角，如B点的方位角为α(如图②)．
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
B A
C 分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
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解：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=a,并且在C、D两点分别测得 ∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ. 在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
AB AE h AC sin h asin sin h sin( )
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例4、在山顶铁塔上B处测得 地面上一点A的俯角α＝75°， 在塔底C处测得A处的俯角β ＝45°。已知铁塔BC部分的 高为30m，求出山高CD.
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
5
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC
AB AC sin ACB 55sin ACB sin ABC sin ABC
55sin 75o
75.1
55
sin
75o
75.1(m)
sin(180o 60o 75o) sin 45o
答：A、B两点间的距离为75.1米。
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