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九年级数学韦达定理应用复习(PPT)5-2
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
年国际上以国际协议原点（）作为地极原点，经度起点实际上不变。 【本岛】名几个岛屿中的主要岛屿，其名称和这几个岛屿总体的名称相同。例如我国的 湾湾包括湾湾本岛和澎湖列岛、绿岛、兰屿等许多岛屿。 【本地】名人、物所在的地区；叙事时特指的某个地区：～人｜～口音｜～特产。 【本分】①名本 身应尽的责任和义务：守～｜～的工作。②形安； 国学加盟 国学加盟 ；于所处的地位和环境：～人｜这个人很～。 【本固枝荣】ī树木主 干强固，枝叶才能茂盛，比喻事物的基础巩固了，其他部分才能发展。 【本行】名①个人一贯从事的或长期已经熟习的行业：他原来是医生，还是让他干 老～吧。②现在从事的工作：三句话不离～｜熟悉～业务。 【本纪】名纪传体史书中帝王的传记，一般按年月编排重要史实，列在全书的前面，对全书起总 纲的作用。 【本家】名同宗族的人：～兄弟｜他们俩住在一个村，是～。 【本家儿】〈方〉名指当事人：～不来，别人不好替他做主。 【本金】ī名①存款 者或放款者拿出的钱（区别于“利息”）。②经营工商业的本钱；营业的资本。 【本科】名大学或学院的基本组成部分（区别于“预科、专科”等）。 【本 来】①形属性词。原有的：～面貌｜～的颜色。②副原先；先前：他～身体很瘦弱，现在很结实了｜我～不知道，到了这里才听说有这么回事。③副表示理 所当然：～就该这样办。 【本利】名本金和利息。 【本领】名技能；能力：有～｜～高强。 【本名】名①本来的名字；原来的名字（区别于“别号、官衔” 等）。②给本人起的名儿：有些外国人的全名分三部分，第一部分是～，第二部分是父名，第三部分是姓。 【本命年】名我国习惯用十二生肖记人的出生年， 每十二年轮转一次。如子年出生的人属鼠，再遇子年，就是这个人的本命年。参看页〖生肖〗。 【本末】名①树的下部和上部，东西的底部和顶部，比喻事 情从头到尾的经过：详述～｜纪事～。②比喻主要的与次要的：不辨～｜～颠倒。 【本末倒置】比喻把主要事物和次要事物或事物的主要方面和次要方面弄 颠倒了。 【本能】①名人类和动物不学就会的本领，如初生的婴儿会哭会吃奶，蜂酿蜜等都是本能的表现。②副机体对外界刺激不知不觉地、无意识地（做 出反应）：他看见红光一闪，～地闭上了眼睛。 【本票】名出票人签发的，并承诺在见票时向收款人或持票人无条件支付确定金额的票据。 【本钱】名①用 来营利、生息、等的钱财：做买卖得有～。②比喻可以凭借的资历、能力、条件等：强壮的身体是做好工作的～。 【本人】代人称代词。①说话人指自己： 这
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
年国际上以国际协议原点（）作为地极原点，经度起点实际上不变。 【本岛】名几个岛屿中的主要岛屿，其名称和这几个岛屿总体的名称相同。例如我国的 湾湾包括湾湾本岛和澎湖列岛、绿岛、兰屿等许多岛屿。 【本地】名人、物所在的地区；叙事时特指的某个地区：～人｜～口音｜～特产。 【本分】①名本 身应尽的责任和义务：守～｜～的工作。②形安； 国学加盟 国学加盟 ；于所处的地位和环境：～人｜这个人很～。 【本固枝荣】ī树木主 干强固，枝叶才能茂盛，比喻事物的基础巩固了，其他部分才能发展。 【本行】名①个人一贯从事的或长期已经熟习的行业：他原来是医生，还是让他干 老～吧。②现在从事的工作：三句话不离～｜熟悉～业务。 【本纪】名纪传体史书中帝王的传记，一般按年月编排重要史实，列在全书的前面，对全书起总 纲的作用。 【本家】名同宗族的人：～兄弟｜他们俩住在一个村，是～。 【本家儿】〈方〉名指当事人：～不来，别人不好替他做主。 【本金】ī名①存款 者或放款者拿出的钱（区别于“利息”）。②经营工商业的本钱；营业的资本。 【本科】名大学或学院的基本组成部分（区别于“预科、专科”等）。 【本 来】①形属性词。原有的：～面貌｜～的颜色。②副原先；先前：他～身体很瘦弱，现在很结实了｜我～不知道，到了这里才听说有这么回事。③副表示理 所当然：～就该这样办。 【本利】名本金和利息。 【本领】名技能；能力：有～｜～高强。 【本名】名①本来的名字；原来的名字（区别于“别号、官衔” 等）。②给本人起的名儿：有些外国人的全名分三部分，第一部分是～，第二部分是父名，第三部分是姓。 【本命年】名我国习惯用十二生肖记人的出生年， 每十二年轮转一次。如子年出生的人属鼠，再遇子年，就是这个人的本命年。参看页〖生肖〗。 【本末】名①树的下部和上部，东西的底部和顶部，比喻事 情从头到尾的经过：详述～｜纪事～。②比喻主要的与次要的：不辨～｜～颠倒。 【本末倒置】比喻把主要事物和次要事物或事物的主要方面和次要方面弄 颠倒了。 【本能】①名人类和动物不学就会的本领，如初生的婴儿会哭会吃奶，蜂酿蜜等都是本能的表现。②副机体对外界刺激不知不觉地、无意识地（做 出反应）：他看见红光一闪，～地闭上了眼睛。 【本票】名出票人签发的，并承诺在见票时向收款人或持票人无条件支付确定金额的票据。 【本钱】名①用 来营利、生息、等的钱财：做买卖得有～。②比喻可以凭借的资历、能力、条件等：强壮的身体是做好工作的～。 【本人】代人称代词。①说话人指自己： 这
韦达定理PPT教学课件
电阻器的种类很多：常用的电阻器按照导电体的结构特征分为实芯电 阻器、薄膜电阻器和线绕电阻器；按电阻器的材料、结构又分为碳膜 电阻器、金属氧化膜电阻器、线绕电阻器、热敏电阻器、压敏电阻器 等。另外，按照各种电阻器的特性，还可分为高精度、高稳定、高阻、 大功率、高频以及超小型等各种专用类型的电阻器 。
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
—
0
×100
±1%
1
1
×101
±2%
2
2
×102
±3%
3
3
×103
±4%
4
4
×104
—
5
5
×105
±0.5%
6
6
×106
±0.2%
7
7
×107
±0.1%
88Βιβλιοθήκη ×108—9
9
×109
—
—
—
×10-1
±5%
—
—
×10-2
±10%
—
—
—
±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
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88Βιβλιοθήκη ×108—9
9
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×10-1
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×10-2
±10%
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—
±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
21.2.4韦达定理
（ 2） 3x 2 + 7x - 9 = 0
（ 3） 5x - 1 = 4x 2
7 x1 + x2 = 3 5 x1 + x2 = 4
1 x1 x2 = 4
巩固练习
练习 不解方程，求下列方程两个根的和与积：
x1 + x2 = 3 x1 x2 = -15
（1） x 2 - 3x = 15 （2） 3x 2 + 2 = 1- 4x
九年级
上册
21.2 解一元二次方程（韦达定理）
归纳定义
若一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的两个实数根为x1，x2 ，
b 则： x1 x2 a c x1 x2 a
，
.
弗朗索瓦· 韦达
典型例题
例 根据一元二次方程的根与系数的关系， 求下列方程两个根 x1，x2 的和与积： （1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6 x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
4 x1 + x2 = 3
x1 +x2 = 1
1 x1 x2 = 3
x1 x2 = -1
（3） 5x 2 - 1 = 4x 2 + x
（4） 2x - x + 2 = 3x + 1
2
x1 + x2 = 2
1 x1 x2 = 2
归纳小结
一元二次方程根与系数的关系是什么？
测试作业
课本第17页：习题 21.2
第 7题 .
课下思考
已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + 4x + 2k = 0 有两个 不相等的实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）当 k 取最大整数值时，用公式法求该方程的解； （3）求方程的两根的和与积（用 k 表示）．
数学家韦达PPT课件
.
8
当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定 了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的 类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要 进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西 方称为“代数学之父”。1593年，韦达又出版了另一 部代数学专著——《分析五篇》。《论方程的识别与 订正》是韦达逝世后由他的朋友A．安德森在巴黎出版 的，但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方 程变换的公式，给出了G．卡尔达诺三次方程和L．费 拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是 记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。 韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1591年已有纲 要，1600年以《幂的数值解法》为题出版。
韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角 学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年） 是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角 形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代 数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了 正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角 学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成 COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。
.
5
平面三角学与球面三角学； 《应用于三角形的数学定律》是韦 达最早的数学专著之一，也是早期 系统论述平面和球面三角学的著作 之一。韦达还专门写了一篇论文 “截角术”，初步讨论了正弦，余 弦，正切弦的一般公式，首次把代 数变换应用到三角学中。他考虑含 有倍角的方程，具体给出了将表示 成的函数，并给出当n等于任意正 整数的倍角表达式了。
姓名：齐慧杰 学号： 班级：
.
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](教学课件201909)
](https://img.taocdn.com/s3/m/7f8bd468bb68a98271fefadf.png)
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
1.设x1、x2是方程2x
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
2=0的两根的平方和是11，则
k=
.
7.若方程x2+2x+m=0的两根之差 为√6,则m= .
8.若2x2-ax+a-1可分解成两个相等
的一次因式,则a的取值
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
1.设x1、x2是方程2x
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
韦达定理应用复习 精品数学教学课件
3.某商场将进货单价为18元的商品, 按每件20元销售时,每日可销售100 件.若每件提价1元,日销售量就要减 少10件,那么把商品的售出价定为多 少时,才能使每天获得的利润最大? 每天的最大利润是多少?
4.某公司试销一种成本单价为500元 /件的新产品,规定试销时的销售单 价不低于成本单价,又不高于800元/ 件.经试销调查,发现销售y(件)与销 售单价x(元/件)可近似看作一次函 数y=kx+b的关系(如图) y ⑴根据图 400 象,求一 300 200 次函数的 100 x o 10 解析式; 607080
复习十二
二次函数应用(二)
复习目标:
通过复习进一步理解并掌握 二次函数有关性质,提高对二 次函数综合题的分析和解答 的能力.
1.某学生推铅球，铅球飞 行时的高度y(m)与水平距 离x(m)之间的函数关系式 3 1 2 1 是y=- 15 x + 30 x+ 2 ，则铅球 落地的水平距离为 m.
2 1.设二次函数y=ax +bx+c的图象
与y轴交于点C(如图),若
AC=20，BC=15， 0 ∠ACB=90 ,求这个 二次函数的解析式.
A
y C
o
Bx
2.抛物线y x px q与x轴
2
交于A, B两点, 交y轴负半 轴交于C点, ACB 90 ,
0
1 1 2 且 , 求P, q及 OA OB OC ABC的外接圆的面积。
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A、B两点（A在原点左侧，B在 原点右侧），与y轴交于C点，若AB=4， OB＞OA，且OA、OB是方程x2+kx+3=0 的两根. 1)求A、B两点的坐标;2)若点O 3 2 到BC的的距离为 , 求此二次函 2 数的解析式. 3)若点P的横坐标为2，且⊿PAB的 外心为M（1，1），试判断点P是否在2) 中所求的二次函数图象上.
韦达定理
也可先把 -2 代入方程求得 k 后，再求另一个根。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
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三、已知两数的和与积，求这两个数。
例4、已知两数的和是 -4，两数积是 3，则这两个数是 -1和-3 。
提示：根据韦达定理，可将两数看成方程 x² +4x+3=0 的两根，再求得 方程的两根 -1、-3，从而求得这两数。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。
例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ Ｄ ） x² +x-2=0； x² +x+2=0； x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
例1、对于方程 x² -2x-3=0，根据韦达定理，下列答案中正确的是（ C ） x1=1, x2=3; x1= -1, x2=3; 例2、以 -1，2为根的一元二次方程是（ x² +x-2=0； x² +x+2=0； x1=1, x2= -3; x1= -1, x2= -3。 ） x² -x+2=0； x² -x-2=0。
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一、检验一元二次方程的根的正确性。
二、已知方程的一个根，求另一个根。 三、已知两数的和与积，求这两个数。 四、已知一元二次方程，不解方程，求与根有关的代数式的值。 五、不解方程，求作一个一元二次方程，使其根与原一元二次方程的根有给定的某些关系。 六、应用二次方程的根所满足的条件，确定方程中字母系数（或范围）。 七、把一元二次方程的根的判别式与韦达定理结合起来，可判别二次方程的根的符号。
韦达定理ppt
包权
人书友圈7.三端同步
∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
特权福利
特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
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当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](PPT)5-2
5-2](https://img.taocdn.com/s3/m/400a61dd3b3567ec102d8ac7.png)
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x方式，把物拟做人或把人拟做物。 【比年】〈书〉①名近年：～以来，缠绵病榻。②副每年；连年：～五谷不登。‖也说 比岁。 【比配】形相称；相配：这两件摆放在一起很不～。 【比拼】ī动拼力比试：双方将在半决赛中～，争夺决赛权。 【比丘】名佛教指和尚。 【比丘尼】 名佛教指尼姑。 【比热】名比； 幼儿教育加盟品牌 幼儿教育加盟品牌 ；热容的简称。 【比热容】名单位质量的物质，温度升高（或 降低）℃所吸收（或放出）热量，叫做该物质的比热容。简称热。 【比如】动举例时的发端语：有些题已经作出决定，～招多少学生，分多少班，等等。 【比萨饼】名一种意大利式饼，饼上放番茄、奶酪、肉类等，用烤箱烘烤而成。［比萨，英a］ 【比赛】①动在体育、生产等活动中，比较本领、技术的高 低：～篮球。②名指这种活动：今晚有一场足球～。 【比试】?动①彼此较量高低：咱们～一下，看谁做得又快又好。②做出某种动作的姿势：他把大一～， 不在乎地说，叫他们来吧。 【比岁】①名比年?。②副比年?。 【比索】名①西班牙的旧本位货币。②菲律宾和一部分拉丁美洲国家的本位货币。［西］ 【比特】量信息量单位，二进制数的一位所包含的信息量就是比特。如二进制数包含的信息量为比特。［英］ 【比武】∥动比赛武艺，也泛指比赛技艺。 【比翼】动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。 【比翼鸟】名传说中的一种鸟，雌雄老在一起飞，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。 【比翼齐飞】比喻夫妻恩爱，
x2；则
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x方式，把物拟做人或把人拟做物。 【比年】〈书〉①名近年：～以来，缠绵病榻。②副每年；连年：～五谷不登。‖也说 比岁。 【比配】形相称；相配：这两件摆放在一起很不～。 【比拼】ī动拼力比试：双方将在半决赛中～，争夺决赛权。 【比丘】名佛教指和尚。 【比丘尼】 名佛教指尼姑。 【比热】名比； 幼儿教育加盟品牌 幼儿教育加盟品牌 ；热容的简称。 【比热容】名单位质量的物质，温度升高（或 降低）℃所吸收（或放出）热量，叫做该物质的比热容。简称热。 【比如】动举例时的发端语：有些题已经作出决定，～招多少学生，分多少班，等等。 【比萨饼】名一种意大利式饼，饼上放番茄、奶酪、肉类等，用烤箱烘烤而成。［比萨，英a］ 【比赛】①动在体育、生产等活动中，比较本领、技术的高 低：～篮球。②名指这种活动：今晚有一场足球～。 【比试】?动①彼此较量高低：咱们～一下，看谁做得又快又好。②做出某种动作的姿势：他把大一～， 不在乎地说，叫他们来吧。 【比岁】①名比年?。②副比年?。 【比索】名①西班牙的旧本位货币。②菲律宾和一部分拉丁美洲国家的本位货币。［西］ 【比特】量信息量单位，二进制数的一位所包含的信息量就是比特。如二进制数包含的信息量为比特。［英］ 【比武】∥动比赛武艺，也泛指比赛技艺。 【比翼】动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。 【比翼鸟】名传说中的一种鸟，雌雄老在一起飞，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。 【比翼齐飞】比喻夫妻恩爱，
x2；则
2.4一元二次方程根与系数的关系 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级上册
4．若关于 x 的一元二次方程的两个根 x1，x2 满足 x1＋x2＝3，x1x2＝2，则这个方程是
_x_2_－__3_x_＋__2_＝__0_(_答__案__不__唯__一__)_．(写出一个符合要求的方值(代数式的恒等变形)
【典例 1】(P47 例 1 强化) 已知 x1，x2 是方程 x2－2x＝1 的两实数根．求：(1)x12 ＋x22 .(2)xx12 ＋xx12 .(3)3x21 －4x1 ＋2x2.
【自主解答】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0 有实数根， ∴Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)＝8m＋8≥0， 解得：m≥－1，∴当方程有实数根时，实数 m 的取值范围为 m≥－1； (2)∵方程两实数根分别为 x1，x2，∴x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1. ∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16－2x1x2，∴[－2(m＋1)]2－4(m2－1)＝16－2(m2－1)， 整理得：m2＋4m－5＝0，解得 m1＝－5，m2＝1. 又∵m≥－1，∴实数 m 的值为 1.
【加固训练】
已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－k＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根是 a，b，求 a － 1 的值．
a＋1 b＋1 【解析】(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4＋4k>0，解得 k>－1.
∴k 的取值范围为 k>－1.
【解析】∵关于 x 的方程 x2－2mx＋m2－m＝0 有两个实数根 α，β，
∴Δ＝(－2m)2－4(m2－m)≥0，
解得 m≥0，α＋β＝2m，αβ＝m2－m，
∵α1
韦达定理优秀课件
那么
x1x2 -b
x1x2 c
4
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求
(1)
11 x1 x2
(2) x12+x22 Nhomakorabea(3)x2 x1 x1 x2
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
5
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
6
3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11 （2）以 x 1 , x 2 为两根的方程是？
7
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程： (xx211)(xx211)2
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1 x2
b a
,
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b24ac0
1
韦达定理的证明：
韦达定理应用ppt课件.pptx
x2 4 +y2=1
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.
过点A的动直线l与E相交于P,Q两点
设直线y=kx-2， 代入x2+4y2=4， 整理得：(1+4k2)x2-16kx+12=0
△ =……>0,x1+x2=……,x1x2=……
题干中的条件2：已知曲线C上A、B两点满足
题干中的条件3：其它
21、已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，动直线
l：
y
kx
m 与椭圆只有一个公共点。
（1）求 b2
m2 a2k2
的值；
（2）矩形 ABCD 各边所在直线均与椭圆只有一个公共点，且 A、B 在直线 l 上，求矩形 ABCD
的面积 S 的最大值。
韦达定理代入：
解得SAOB1 2 NhomakorabeaAB d
题干中的条件2：已知曲线C上A、B两点满足
4.已知动圆 M 过定点 E(2,0),且在 y 轴上截得的弦 PQ 的长为 4.
(1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程;
r2=(x-2)2+y2=4+x2
y2=4x
(2)设 A,B 是轨迹 C 上的两点,且 · =-4,F(1,0),记 S=S△OFA+S△OAB,求 S 的最小值.
O
4、P 是抛物线 y2=2x 上的动点，点 B、C 在 y 轴上，圆（x-1）2+y2=1 内切于△PBC，求面积 △PBC 的最小值。
P y
B x
O
C
A、B是y2=4x上两点：
A
一元二次方程的根与系数的关系PPT精品课件1
第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数 的关系
情境引入
一元二次方程的的根与系数的关
系，常常也称作韦达定理，这是因为 这个定理是 16 世纪法国杰出的数学家 韦达发现的 .聪明的同学们，你能发现 这个定理吗？
自主探究
1.思考： 从因式分解法可知 ,方程 (x-x1)(x-x2)=0 的两 根为 x1 和 x2, 将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你 能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
(4)两根的平方和等于8； m=0 (5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
练 习 10
3)x－m2＝0.
已知关于x的一元二次方程x2-(m-
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2
，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
m 1, x1 1 2, x2 1 2 或m 5, x1 1 26, x2 1 26
元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道原来的方程是什么吗？
x 10 x 9 0
2
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
-2 ． 别为x1和x2，则x1＋x2的值等于________
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过 ...... 但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。
情境引入
一元二次方程的的根与系数的关
系，常常也称作韦达定理，这是因为 这个定理是 16 世纪法国杰出的数学家 韦达发现的 .聪明的同学们，你能发现 这个定理吗？
自主探究
1.思考： 从因式分解法可知 ,方程 (x-x1)(x-x2)=0 的两 根为 x1 和 x2, 将方程化为 x2+px+q=0 的形式，你 能看出x1, x2与p,q之间的关系吗？
(4)两根的平方和等于8； m=0 (5)两根的和的相反数等于两根之积．m=0
巩固练习
练 习 10
3)x－m2＝0.
已知关于x的一元二次方程x2-(m-
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)设这个方程的两个实数根分别为x1，x2
，且|x1|＝|x2|－2，求m的值及方程的根．
m 1, x1 1 2, x2 1 2 或m 5, x1 1 26, x2 1 26
元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道原来的方程是什么吗？
x 10 x 9 0
2
巩固练习
练习3 已知方程2x2＋4x－3＝0的两根分
-2 ． 别为x1和x2，则x1＋x2的值等于________
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1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。 2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。 3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力! 4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃! 5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。 6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。 7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。 8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。 9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。 10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。 11、花开不是为了花落，而是为了开的更加灿烂。 12、随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。 13、不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。 14、当你决定坚持一件事情，全世界都会为你让路。 15、只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。 16、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。 17、不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 18、人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！ 19、如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。 20、不忘初心，方得始终。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过......但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 11、失败不可怕，可怕的是从来没有努力过，还怡然自得地安慰自己，连一点点的懊悔都被麻木所掩盖下去。不能怕，没什么比自己背叛自己更可怕。 12、跌倒了，一定要爬起来。不爬起来，别人会看不起你，你自己也会失去机会。在人前微笑，在人后落泪，可这是每个人都要学会的成长。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 13、要相信，这个世界上永远能够依靠的只有你自己。所以，管别人怎么看，坚持自己的坚持，直到坚持不下去为止。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 14、也许你想要的未来在别人眼里不值一提，也许你已经很努力了可还是有人不满意，也许你的理想离你的距离从来没有拉近过 ...... 但请你继续向前走，因为别人看不到你的努力，你却始终看得见自己。 15、所有的辉煌和伟大，一定伴随着挫折和跌倒；所有的风光背后，一定都是一串串揉和着泪水和汗水的脚印。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 16、成功的反义词不是失败，而是从未行动。有一天你总会明白，遗憾比失败更让你难以面对。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 17、没有一件事情可以一下子把你打垮，也不会有一件事情可以让你一步登天，慢慢走，慢慢看，生命是一个慢慢累积的过程。 18、努力也许不等于成功，可是那段追逐梦想的努力，会让你找到一个更好的自己，一个沉默努力充实安静的自己。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 19、你相信梦想，梦想才会相信你。有一种落差是，你配不上自己的野心，也辜负了所受的苦难。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。 20、生活不会按你想要的方式进行，它会给你一段时间，让你孤独、迷茫又沉默忧郁。但如果靠这段时间跟自己独处，多看一本书，去做可以做的事，放下过去的人，等你度过低潮，那些独处的时光必定能照亮你的路，也是这些不堪陪你成熟。所以，现在没那么糟，看似生活对你的亏欠，其实都是祝愿。
韦达定理及其推广
扩展形式
研究韦达定理的扩展形式，将其应用于更广泛 的数学问题中。
应用实例
收集和整理韦达定理在不同领域的应用实例，展示其实际价值。
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韦达定理及其推广
目录
• 韦达定理的概述 • 韦达定理的证明 • 韦达定理的推广 • 韦达定理的应用实例 • 韦达定理的局限性 • 韦达定理的未来发展
01 韦达定理的概述
韦达定理的定义
韦达定理
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其根的和等于方程的一次项系数 除以二次项系数的负值，根的积等于 常数项除以二次项系数。
推广到复数域
韦达定理在复数域中的推广，主要是将实数 域中的根与系数的关系扩展到复数域。在复 数域中，根和系数的关系可以通过共轭复数 进行表述，并涉及到复数的模和幅角。
具体来说，如果一个n次多项式在复数域中的 根为α1, α2, ..., αn，那么这些根的共轭复数 和为0，即α1 + α2 + ... + αn = 0。此外， 根的乘积等于常数项除以首项系数，即α1 *
04 韦达定理的应用实例
在数学竞赛中的应用
代数方程的求解
函数性质分析
韦达定理在数学竞赛中常用于求解代数方程， 特别是二次方程和其变种。通过利用根与系 数的关系，可以快速找到方程的解。
利用韦达定理，可以分析函数的性质，如对 称性、单调性等。例如，通过分析二次函数 的根，可以判断函数的开口方向和顶点位置。
数学表达式
根的和 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，根 的积 $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$。
韦达定理复习课件
选择题
A. -4 B. -2
C. 0
选择题
D. 2
答案4：D. 2
解答题
总结词
考察韦达定理的综合应用
题目5
已知一元二次方程 x^2 - (k + 1)x + k = 0 的两个根为 x1 和 x2， 且 x1 + x2 = 3，求 k 的值。
答案5
解得 k = 2 或 k = -4。
THANKS
02
韦达定理的内容
韦达定理的公式
韦达定理公式
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其解的公式为 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)。
解释
该公式用于求解一元二次方程的 根，其中 a、b、c 是方程的系数 ，b^2 - 4ac 是判别式。
。
解释
通过一系列代数变换， 将方程的解表示为根号 下的形式，从而得出解
的公式。
韦达定理的特例
01
02
03
04
特例1
当 b = 0，c = 0 时，方程变 为 ax^2 = 0，其解为 x = 0
。
特例2
当 a = 0 时，方程退化为线 性方程，不适用韦达定理。
特例3
当 b = 0，且 a 与 c 不相等 时，方程有两个相等的实根，
分式方程的实例
总结词
分式方程的解与系数的关系
详细描述
对于分式方程 $frac{x^2}{a} + frac{y^2}{b} = 1$，其解为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，则有 $x_1 cdot x_2 = pm frac{a}{sqrt{a^2 - b}}$ 和 $y_1 cdot y_2 = pm frac{b}{sqrt{a^2 - b}}$。
《一元二次方程的根与系数的关系》_上课课件
（1） x 2 - 6x - 15 = 0 x1 + x2 = 6
7 （2）3x 2 + 7x - 9 = 0 x1 + x2 = 3
（3）5x - 1 = 4x 2
5 x1 + x2 = 4
x1 x2 = -15 x1 x2 = -3
1 x1 x2 = 4
【获奖课件ppt】《一元二次方程的根 与系数 的关系 》_上 课课件1 -课件 分析下 载
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巩固练习
练习2 小明和小红一起做作业，在解一道一 元 二 次方程时，由于粗心 ， 在化简时小明写错了 常数项 ， 解得两根为8和2，小红写错了一次项系 数 ， 解 得 两根为-9和-1，若二次项系数是1，你知 道原来的方程是什么吗？
练习4 设a,b是一元二次方程x2＋x－2016 ＝0的两个不相等的实数根,则a2＋2a＋b＝ ___2_0_1_5__．
【获奖课件ppt】《一元二次方程的根 与系数 的关系 》_上 课课件1 -课件 分析下 载
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结论：方程的两个根x1，x2和系数a,b,c有如下 关系：
x1
x2
b a
x1x2
c a
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自主探究
3.典型例题
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(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1x2 c
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11
（2）x1 以x2
,
为两根的方程是？
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程：
(x2 1) x 1
(x 1) x2 1
2
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为
x1
,
x2，那x1么 x2
b, a
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即b2 4ac 0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k，
使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2+3x - 2=0的两根之和
与两根之积 为根的一元二次方程。
x= b b2 4ac 2a
b b2 4ac x1
2a
b b2 4ac x2
2a
x1 x2
b
b2 4ac 2a
+
=
2b =
2a
-b a
b b2 4ac 2a
x1x2 b
b2 4ac b *
2a
b2 4ac 2a
例1：已知x2-2x-1=0的两根是x1 , x2 ，求
(1)
11 x1 x2
(2) x12+x22
(3)
x2 x1 x1 x2
(4)| x1-x2 |
本题不能求根公式直接计算，应该应用两根之 和与两根之积进行变形转换。
2.利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知方程x2-(k+1) x+3k=0的一个根是2 ,