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22.3.2韦达定理ppt
由韦达定理，得 解： x1+x2= - 2 , x1 ·x2= 3 ∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1
2 =-2+( 3 2
)+1=
5 2
1、当k为何值时，方程 2x2-(k+1)x+k+3=0 的两根差为1
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2=
ax2+bx+c=0(a≠0)
△ ≥0
b X 1 + x2 = c a
X 1 x2 =
a
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个 根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1,
19 则x1+1= 3 , m 又x1●1= 3 ,
∴
16 x1= 3
,
∴ m= 3x1 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的 两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
x1x2=0
4 x x = 2 x +x =0 1 2 1 2 4、 3x = 4 3 /view/57b36786cc22bcd126ff
0c66.html
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1、x2 求： 1 1 2 2 (1) (2) x1 +x2 x1 x2
2 例2、已知方程x -(k+1)x+3k=0
的一个根是2 , 求它的另一个根 及k的值。
解法一： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
2 =-2+( 3 2
)+1=
5 2
1、当k为何值时，方程 2x2-(k+1)x+k+3=0 的两根差为1
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 由韦达定理得x1+x2=
ax2+bx+c=0(a≠0)
△ ≥0
b X 1 + x2 = c a
X 1 x2 =
a
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个 根是1，求它的另一个根及m的值。
解：设方程的另一个根为x1,
19 则x1+1= 3 , m 又x1●1= 3 ,
∴
16 x1= 3
,
∴ m= 3x1 = 16
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的 两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。
x1x2=0
4 x x = 2 x +x =0 1 2 1 2 4、 3x = 4 3 /view/57b36786cc22bcd126ff
0c66.html
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1、x2 求： 1 1 2 2 (1) (2) x1 +x2 x1 x2
2 例2、已知方程x -(k+1)x+3k=0
的一个根是2 , 求它的另一个根 及k的值。
解法一： 设方程的另一个根为x1. 把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
九年级数学韦达定理应用复习(PPT)5-2
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
年国际上以国际协议原点（）作为地极原点，经度起点实际上不变。 【本岛】名几个岛屿中的主要岛屿，其名称和这几个岛屿总体的名称相同。例如我国的 湾湾包括湾湾本岛和澎湖列岛、绿岛、兰屿等许多岛屿。 【本地】名人、物所在的地区；叙事时特指的某个地区：～人｜～口音｜～特产。 【本分】①名本 身应尽的责任和义务：守～｜～的工作。②形安； 国学加盟 国学加盟 ；于所处的地位和环境：～人｜这个人很～。 【本固枝荣】ī树木主 干强固，枝叶才能茂盛，比喻事物的基础巩固了，其他部分才能发展。 【本行】名①个人一贯从事的或长期已经熟习的行业：他原来是医生，还是让他干 老～吧。②现在从事的工作：三句话不离～｜熟悉～业务。 【本纪】名纪传体史书中帝王的传记，一般按年月编排重要史实，列在全书的前面，对全书起总 纲的作用。 【本家】名同宗族的人：～兄弟｜他们俩住在一个村，是～。 【本家儿】〈方〉名指当事人：～不来，别人不好替他做主。 【本金】ī名①存款 者或放款者拿出的钱（区别于“利息”）。②经营工商业的本钱；营业的资本。 【本科】名大学或学院的基本组成部分（区别于“预科、专科”等）。 【本 来】①形属性词。原有的：～面貌｜～的颜色。②副原先；先前：他～身体很瘦弱，现在很结实了｜我～不知道，到了这里才听说有这么回事。③副表示理 所当然：～就该这样办。 【本利】名本金和利息。 【本领】名技能；能力：有～｜～高强。 【本名】名①本来的名字；原来的名字（区别于“别号、官衔” 等）。②给本人起的名儿：有些外国人的全名分三部分，第一部分是～，第二部分是父名，第三部分是姓。 【本命年】名我国习惯用十二生肖记人的出生年， 每十二年轮转一次。如子年出生的人属鼠，再遇子年，就是这个人的本命年。参看页〖生肖〗。 【本末】名①树的下部和上部，东西的底部和顶部，比喻事 情从头到尾的经过：详述～｜纪事～。②比喻主要的与次要的：不辨～｜～颠倒。 【本末倒置】比喻把主要事物和次要事物或事物的主要方面和次要方面弄 颠倒了。 【本能】①名人类和动物不学就会的本领，如初生的婴儿会哭会吃奶，蜂酿蜜等都是本能的表现。②副机体对外界刺激不知不觉地、无意识地（做 出反应）：他看见红光一闪，～地闭上了眼睛。 【本票】名出票人签发的，并承诺在见票时向收款人或持票人无条件支付确定金额的票据。 【本钱】名①用 来营利、生息、等的钱财：做买卖得有～。②比喻可以凭借的资历、能力、条件等：强壮的身体是做好工作的～。 【本人】代人称代词。①说话人指自己： 这
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
年国际上以国际协议原点（）作为地极原点，经度起点实际上不变。 【本岛】名几个岛屿中的主要岛屿，其名称和这几个岛屿总体的名称相同。例如我国的 湾湾包括湾湾本岛和澎湖列岛、绿岛、兰屿等许多岛屿。 【本地】名人、物所在的地区；叙事时特指的某个地区：～人｜～口音｜～特产。 【本分】①名本 身应尽的责任和义务：守～｜～的工作。②形安； 国学加盟 国学加盟 ；于所处的地位和环境：～人｜这个人很～。 【本固枝荣】ī树木主 干强固，枝叶才能茂盛，比喻事物的基础巩固了，其他部分才能发展。 【本行】名①个人一贯从事的或长期已经熟习的行业：他原来是医生，还是让他干 老～吧。②现在从事的工作：三句话不离～｜熟悉～业务。 【本纪】名纪传体史书中帝王的传记，一般按年月编排重要史实，列在全书的前面，对全书起总 纲的作用。 【本家】名同宗族的人：～兄弟｜他们俩住在一个村，是～。 【本家儿】〈方〉名指当事人：～不来，别人不好替他做主。 【本金】ī名①存款 者或放款者拿出的钱（区别于“利息”）。②经营工商业的本钱；营业的资本。 【本科】名大学或学院的基本组成部分（区别于“预科、专科”等）。 【本 来】①形属性词。原有的：～面貌｜～的颜色。②副原先；先前：他～身体很瘦弱，现在很结实了｜我～不知道，到了这里才听说有这么回事。③副表示理 所当然：～就该这样办。 【本利】名本金和利息。 【本领】名技能；能力：有～｜～高强。 【本名】名①本来的名字；原来的名字（区别于“别号、官衔” 等）。②给本人起的名儿：有些外国人的全名分三部分，第一部分是～，第二部分是父名，第三部分是姓。 【本命年】名我国习惯用十二生肖记人的出生年， 每十二年轮转一次。如子年出生的人属鼠，再遇子年，就是这个人的本命年。参看页〖生肖〗。 【本末】名①树的下部和上部，东西的底部和顶部，比喻事 情从头到尾的经过：详述～｜纪事～。②比喻主要的与次要的：不辨～｜～颠倒。 【本末倒置】比喻把主要事物和次要事物或事物的主要方面和次要方面弄 颠倒了。 【本能】①名人类和动物不学就会的本领，如初生的婴儿会哭会吃奶，蜂酿蜜等都是本能的表现。②副机体对外界刺激不知不觉地、无意识地（做 出反应）：他看见红光一闪，～地闭上了眼睛。 【本票】名出票人签发的，并承诺在见票时向收款人或持票人无条件支付确定金额的票据。 【本钱】名①用 来营利、生息、等的钱财：做买卖得有～。②比喻可以凭借的资历、能力、条件等：强壮的身体是做好工作的～。 【本人】代人称代词。①说话人指自己： 这
韦达定理PPT教学课件
电阻器的种类很多：常用的电阻器按照导电体的结构特征分为实芯电 阻器、薄膜电阻器和线绕电阻器；按电阻器的材料、结构又分为碳膜 电阻器、金属氧化膜电阻器、线绕电阻器、热敏电阻器、压敏电阻器 等。另外，按照各种电阻器的特性，还可分为高精度、高稳定、高阻、 大功率、高频以及超小型等各种专用类型的电阻器 。
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
—
0
×100
±1%
1
1
×101
±2%
2
2
×102
±3%
3
3
×103
±4%
4
4
×104
—
5
5
×105
±0.5%
6
6
×106
±0.2%
7
7
×107
±0.1%
88Βιβλιοθήκη ×108—9
9
×109
—
—
—
×10-1
±5%
—
—
×10-2
±10%
—
—
—
±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
2021/1/12
答：方程的另一个根是－３，k 的值是－２．
动动脑, 还有其 他解法
吗
练一练: 已知 x1,x2 是方程3x2+px+q=0的两个根，分别根据下列条件求出 p和q的值.
(1) x1=1, x2=2
(2) x1=3, x2=－6 (3) x1= －√7, x2=√ 7 (4) x1=－2+√5 ,x2=－2-√ 5
—
0
×100
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×101
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×105
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6
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×106
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×107
±0.1%
88Βιβλιοθήκη ×108—9
9
×109
—
—
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×10-1
±5%
—
—
×10-2
±10%
—
—
—
±20%
电阻的测量
• 测量实际电阻值 a.将万用表的功能选择开关旋转到适当量程的电阻挡，先调
这题怎 么做呢??
m的值是１６．
试一试： 设 X1,X2是方程2X2+4X-3=0 的两个根, 求 (1) 1/X1+1/X2 ； 原式=（X1+X2）/X1X2=－２／（－３／２）＝４／３ （2） X12+X22 ； 原式＝（X1+X2）2－２X1X2＝（－２）2－２（－３／２）
初中数学人教九年级上册第二十一章 一元二次方程 韦达定理PPT
解:（1）∵由题意有x1+x2=6，x1.x2=k. ∴x1²x2²-x1-x2=(x1x2)²-(x1+x2)=k²-6=115， ∴k=11或k=-11. 又方程x²-6x+k=0有实数解， ∴Δ=(-6)²-4k≥0,∴k≤9. ∴k=11不合题意舍去，故k的值为-11;
（2）由（1）知，x1+x2=6，x1.x2=-11， ∴x1²+x2²-8=(x1+x2)-2x1x2-8 =36+22-8=50.
8页
拓展延伸
• (x22－0124(·m泸＋州1)中x＋考m)已2＋知5x＝1、0的x2两是实关数于根x的．一元二次方程 • (1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； • (△2)A已B知C另等外腰两△边A的BC边的长一，边求长这为个7，三若角x形1、的x2周恰长好．是
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k
解这方程组，得
x2 =－3 k =－2
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？ 哪些地方需特别注意的？谈谈你的看法.
5、已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根，且 x1².x2²-x1-x2=115.（1）求k的取值；（2）求 x1²+x2²-8的值.
.x1 x2
x2 x1
4、已知关于x的方程3x2－19x＋m＝0的一 个根是1，求它的另一个根及m的值．
解：设另一个根是x2，则：
1
x2
19 3
,
m
1 x2 = 3 .
解得：x2
16 3
, m=16.
变式训练
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的 另一个根及k的值.
（2）由（1）知，x1+x2=6，x1.x2=-11， ∴x1²+x2²-8=(x1+x2)-2x1x2-8 =36+22-8=50.
8页
拓展延伸
• (x22－0124(·m泸＋州1)中x＋考m)已2＋知5x＝1、0的x2两是实关数于根x的．一元二次方程 • (1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； • (△2)A已B知C另等外腰两△边A的BC边的长一，边求长这为个7，三若角x形1、的x2周恰长好．是
2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k
解这方程组，得
x2 =－3 k =－2
课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？ 哪些地方需特别注意的？谈谈你的看法.
5、已知x1，x2是方程x²-6x+k=0两个实数根，且 x1².x2²-x1-x2=115.（1）求k的取值；（2）求 x1²+x2²-8的值.
.x1 x2
x2 x1
4、已知关于x的方程3x2－19x＋m＝0的一 个根是1，求它的另一个根及m的值．
解：设另一个根是x2，则：
1
x2
19 3
,
m
1 x2 = 3 .
解得：x2
16 3
, m=16.
变式训练
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的 另一个根及k的值.
韦达定理及其应用课件-2022年初高衔接数学
方法总结
当 = −1时，
方程为 2 − 16 + 5 = 0，∆> 0满足题意；
当 = 17时，
方程为 2 + 30 + 293 = 0，
∆= 302 −4 × 1 × 293 < 0 ，不满足题意，
所以舍去；
综上所述： 的值为−1.
点拨精讲
变式探究2：
已知1 和2 一元二次方程4 2 − 4 + + 1 = 0的
则有
−± 2 −4
，
2
−+ 2 −4
−− 2 −4
−2
1 + 2 =
+
=
=− ；
2
2
2
−+ 2 −4 −− 2 −4
2 −( 2 −4)
1 ∙ 2 =
∙
=
2
2
42
4
= 2= ；
4
知识梳理
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
因此这两个数是−2和6.
总结提炼
本节课重点研究了一元二次方程韦达定理的
综合应用，能够利用韦达定理求一些与实数根有
关代数式的值，并能够利用根的情况逆向构造所
需要的一元二次方程，这种思想的渗透与领悟希
望大家细细品味，学会用数学的眼光思考世界！
项系数为1）是 2 −(1 + 2 ) + 1 ∙ 2 = 0.
点拨精讲
探究一：已知方程求代数式的值
例1、 若1 和2 分别是一元二次方程2 2
＋5－3＝0的两根，试求下列各式的值：
（1）(1 − 5)(2 − 5)
（2）|1 − 2 |
韦达定理ppt课件
3
x1x2 b
b2 4ac b *
2a
b2 4ac 2a
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
=
c a
4
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1x2 c
5
韦达定理常见题型总结：
已知关于x方程x0是否存在k使方程中的两个实数根的倒数等于12若存在求出满足条件的k若不存在请说明理由
韦达定理
1
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为x1 ,
x2，那么
x1 x2
b, a
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即 b2 4ac 0
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k， 使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
7
3.已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例4：求一元二次方程x2ห้องสมุดไป่ตู้3x - 2=0的两根之和 与两根之积 为根的一元二次方程。
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
2
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x= b b2 4ac
韦达定理ppt
包权
人书友圈7.三端同步
∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
特权福利
特权说明
VIP用户有效期内可使用VIP专享文档下载特权下载或阅读完成VIP专享文档（部分VIP专享文档由于上传者设置不可下载只能 阅读全文），每下载/读完一篇VIP专享文档消耗一个VIP专享文档下载特权。
1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
年VIP
月VIP
连续包月VIP
VIP专享文档下载特权
享受60次VIP专享文档下载特权，一 次发放，全年内有效。
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次， 每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买 的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权， 自VIP生效起每月发放一次，持续有 效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
中考数学复习韦达定理应用复习[人教版](PPT)5-2
5-2](https://img.taocdn.com/s3/m/400a61dd3b3567ec102d8ac7.png)
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x方式，把物拟做人或把人拟做物。 【比年】〈书〉①名近年：～以来，缠绵病榻。②副每年；连年：～五谷不登。‖也说 比岁。 【比配】形相称；相配：这两件摆放在一起很不～。 【比拼】ī动拼力比试：双方将在半决赛中～，争夺决赛权。 【比丘】名佛教指和尚。 【比丘尼】 名佛教指尼姑。 【比热】名比； 幼儿教育加盟品牌 幼儿教育加盟品牌 ；热容的简称。 【比热容】名单位质量的物质，温度升高（或 降低）℃所吸收（或放出）热量，叫做该物质的比热容。简称热。 【比如】动举例时的发端语：有些题已经作出决定，～招多少学生，分多少班，等等。 【比萨饼】名一种意大利式饼，饼上放番茄、奶酪、肉类等，用烤箱烘烤而成。［比萨，英a］ 【比赛】①动在体育、生产等活动中，比较本领、技术的高 低：～篮球。②名指这种活动：今晚有一场足球～。 【比试】?动①彼此较量高低：咱们～一下，看谁做得又快又好。②做出某种动作的姿势：他把大一～， 不在乎地说，叫他们来吧。 【比岁】①名比年?。②副比年?。 【比索】名①西班牙的旧本位货币。②菲律宾和一部分拉丁美洲国家的本位货币。［西］ 【比特】量信息量单位，二进制数的一位所包含的信息量就是比特。如二进制数包含的信息量为比特。［英］ 【比武】∥动比赛武艺，也泛指比赛技艺。 【比翼】动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。 【比翼鸟】名传说中的一种鸟，雌雄老在一起飞，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。 【比翼齐飞】比喻夫妻恩爱，
x2；则
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x方式，把物拟做人或把人拟做物。 【比年】〈书〉①名近年：～以来，缠绵病榻。②副每年；连年：～五谷不登。‖也说 比岁。 【比配】形相称；相配：这两件摆放在一起很不～。 【比拼】ī动拼力比试：双方将在半决赛中～，争夺决赛权。 【比丘】名佛教指和尚。 【比丘尼】 名佛教指尼姑。 【比热】名比； 幼儿教育加盟品牌 幼儿教育加盟品牌 ；热容的简称。 【比热容】名单位质量的物质，温度升高（或 降低）℃所吸收（或放出）热量，叫做该物质的比热容。简称热。 【比如】动举例时的发端语：有些题已经作出决定，～招多少学生，分多少班，等等。 【比萨饼】名一种意大利式饼，饼上放番茄、奶酪、肉类等，用烤箱烘烤而成。［比萨，英a］ 【比赛】①动在体育、生产等活动中，比较本领、技术的高 低：～篮球。②名指这种活动：今晚有一场足球～。 【比试】?动①彼此较量高低：咱们～一下，看谁做得又快又好。②做出某种动作的姿势：他把大一～， 不在乎地说，叫他们来吧。 【比岁】①名比年?。②副比年?。 【比索】名①西班牙的旧本位货币。②菲律宾和一部分拉丁美洲国家的本位货币。［西］ 【比特】量信息量单位，二进制数的一位所包含的信息量就是比特。如二进制数包含的信息量为比特。［英］ 【比武】∥动比赛武艺，也泛指比赛技艺。 【比翼】动翅膀挨着翅膀（飞）：～齐飞。 【比翼鸟】名传说中的一种鸟，雌雄老在一起飞，古典诗词里用作恩爱夫妻的比喻。 【比翼齐飞】比喻夫妻恩爱，
x2；则
韦达定理PPT课件
(b)2
(b2 4a2
4ac)
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
=
c a
推论
如果一元二次方程x2+bx+c=0两个根为x1 , x2，
那么
x1 x2 -b
x1x2 c
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理常见题型总结：
1.不解方程，进行变形求值
例5：若一原方程x2 - 3x - 2=0的两根为x1 , x2 ； 则：（1）以-x1 , - x2 为两根的方程是？
11
（2）x1 以x2
,
为两根的方程是？
4.已知两数的和与积，求这两个数
例6：解方程：
(x2 1) x 1
(x 1) x2 1
2
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/19
韦达定理
一元二次方程的根与系数的关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（韦达定理）
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两个根为
x1
,
x2，那x1么 x2
b, a
c
x1x2
. a
注：能用韦达定理的条件为△≥0即b2 4ac 0
韦达定理的证明：
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
求它的另一个根及k的值。
例3：已知关于x方程x2-(k+1) x+ k2_1 =0,是否存在k，
使方程中的两个实数根的倒数等于1/2,若存在，求出 满足条件的k，若不存在，请说明理由。
初高中衔接-第4讲、韦达定理
第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-=。
注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b c x x x x a a+=-=负号不要忘。
2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。
3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。
（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。
4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。
（2）常见变形：2212x x +=1211x x +=2112x x x x +=12x x -==++)1)(1(21x x 注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。
韦达定理应用ppt课件.pptx
x2 4 +y2=1
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.
过点A的动直线l与E相交于P,Q两点
设直线y=kx-2， 代入x2+4y2=4， 整理得：(1+4k2)x2-16kx+12=0
△ =……>0,x1+x2=……,x1x2=……
题干中的条件2：已知曲线C上A、B两点满足
题干中的条件3：其它
21、已知椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 ，动直线
l：
y
kx
m 与椭圆只有一个公共点。
（1）求 b2
m2 a2k2
的值；
（2）矩形 ABCD 各边所在直线均与椭圆只有一个公共点，且 A、B 在直线 l 上，求矩形 ABCD
的面积 S 的最大值。
韦达定理代入：
解得SAOB1 2 NhomakorabeaAB d
题干中的条件2：已知曲线C上A、B两点满足
4.已知动圆 M 过定点 E(2,0),且在 y 轴上截得的弦 PQ 的长为 4.
(1)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程;
r2=(x-2)2+y2=4+x2
y2=4x
(2)设 A,B 是轨迹 C 上的两点,且 · =-4,F(1,0),记 S=S△OFA+S△OAB,求 S 的最小值.
O
4、P 是抛物线 y2=2x 上的动点，点 B、C 在 y 轴上，圆（x-1）2+y2=1 内切于△PBC，求面积 △PBC 的最小值。
P y
B x
O
C
A、B是y2=4x上两点：
A
九年级数学韦达定理应用复习(PPT)5-4
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
bБайду номын сангаасa
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
阁会议，参与决策，并担任政府首脑交办的特殊重要事务。 【不管三七二十一】īī不顾一切；不问是非情由。 【不光】〈口〉①副表示超出某个数量或范围； 不止：报名参加的～是他一个人。②连不但：～数量多，质量也不错｜这里～出煤，而且出铁。 【不轨】形指违反法纪或搞叛乱活动：～之徒｜行为～｜图 谋～。 【不过】①副用在形；江苏成考网:/ ；容词性的词组或双音节形容词后面，表示程度最高：再好～｜最快～｜乖巧～的孩子。 ②副指明范围，含有往小里或轻里说的意味；仅仅：当年她参军的时候～十七岁｜他～念错一个字罢了。③连用在后半句的开头儿，表示转折，对上半句话 加以限制或修正，跟“只是”相同：病人精神还不错，～胃口不大好。 【不过意】过意不去：总来打扰您，心里实在～。 【不寒而栗】不寒冷而发抖，形容 非常恐惧。 【不好意思】?①害羞；难为情：他被大伙儿说得～了｜无功受禄，实在～。②碍于情面而不便或不肯：虽然不大情愿，又～回绝。 【不合】① 动不符合：～手续｜～时宜。②〈书〉动不应该：早知如此，当初～叫他去。③形合不来；不和：性格～。 【不和】形不和睦：姑嫂～｜感情～。 【不哼不 哈】不言语（多指该说而不说）：有事情问到他，他总～的，真急人。 【不遑】〈书〉动来不及；没有时间（做某件事）：～顾及。 【不讳】〈书〉动①不 忌讳；无所避讳：直言～。②婉辞，指死亡。 【不惑】〈书〉名《论语?为政》：“四十而不惑。”指年至四十，能明辨是非而不受迷惑。后来用“不惑” 指人四十岁：年届～｜～之年。 【不羁】ī〈书〉动不受束缚：放荡～｜～之才。 【不及】动①不如；比不上：这个远～那个好｜在刻苦学习方面我～他。 ②来不及：后悔～｜躲闪～｜～细问。 【不即不离】既不亲近也不疏远。 【不计】动不计较；不考虑：～成本｜～个人得失。 【不计其数】无法计算数目， 形容极多。 【不济】〈口〉形不好；不顶用：精力～｜眼神儿～。 【不假思索】ī用不着想，形容说话做事迅速。 【不见】动①不见面：～不散｜这孩子一 年～，竟长得这么高了。②（东西）不在了；找不着（后头必须带“了”）：我的笔刚才还在，怎么转眼就～了？ 【不见得】?副不一定：这雨～下得起 来｜看样子，他～能来。 【不见棺材不落泪】?ɑ比喻不到彻底失败的时候不知痛悔。也说不见棺材不掉泪。 【不见经传】ī经传中没有记载，指人或事物没 有什么名气，也指某种理论缺乏文献上的依据。 【不解之缘】ī不能分开的缘分，指亲密的关系或深厚的感情。 【不禁】ī副抑制不住；禁不
韦达定理复习课件
选择题
A. -4 B. -2
C. 0
选择题
D. 2
答案4：D. 2
解答题
总结词
考察韦达定理的综合应用
题目5
已知一元二次方程 x^2 - (k + 1)x + k = 0 的两个根为 x1 和 x2， 且 x1 + x2 = 3，求 k 的值。
答案5
解得 k = 2 或 k = -4。
THANKS
02
韦达定理的内容
韦达定理的公式
韦达定理公式
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其解的公式为 x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / (2a)。
解释
该公式用于求解一元二次方程的 根，其中 a、b、c 是方程的系数 ，b^2 - 4ac 是判别式。
。
解释
通过一系列代数变换， 将方程的解表示为根号 下的形式，从而得出解
的公式。
韦达定理的特例
01
02
03
04
特例1
当 b = 0，c = 0 时，方程变 为 ax^2 = 0，其解为 x = 0
。
特例2
当 a = 0 时，方程退化为线 性方程，不适用韦达定理。
特例3
当 b = 0，且 a 与 c 不相等 时，方程有两个相等的实根，
分式方程的实例
总结词
分式方程的解与系数的关系
详细描述
对于分式方程 $frac{x^2}{a} + frac{y^2}{b} = 1$，其解为 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，则有 $x_1 cdot x_2 = pm frac{a}{sqrt{a^2 - b}}$ 和 $y_1 cdot y_2 = pm frac{b}{sqrt{a^2 - b}}$。
韦达定理公式的详细推导过程PPT模板
韦达定理公式的相关拓
04. 展和延伸
韦达定理与其他数学定理的关系
韦达定理公式的推导过程
代数运算 二次方程 韦达定理 表达式
韦达定理
二次方程根与系数关系
理论证明 勾股定理
韦达定理在实际应用中的作 用
韦达定理 解决实际问题
二次方程 优化问题
韦达定理公式在不同领域的 应用
韦达定理公式的推导过程 通过代数运算，将二次方程的系数和常数项分离出来，然后利用求 根公式求解。 韦达定理公式在不同领域的应用 在物理、化学、数学等领域都有广泛应用，如解二次方程、求解线 性微分方程等。 韦达定理公式的重要性 在解决实际问题中，韦达定理公式提供了一种简洁有效的方法，有 助于提高计算效率和准确性。 韦达定理公式的应用范围 除了二次方程外，还可以应用于更高次的多项式方程和线性微分方 程等复杂数学问题。
韦达定理公式的理解和
03. 应用
如何理解和应用韦达定理公式
01
理解韦达定理公式
通过学习韦达定理公式的推导 过程，可以更好地理解和应用 它。
02
掌握韦达定理公式的应用
了解韦达定理公式的推导过程 后，可以更灵活地运用它来解 决实际问题。
03
提高数学思维能力
通过对韦达定理公式的深入理 解和应用，可以提高学生的数 学思维能力和解决问题的能力。
Learn more
从解析几何角度推导韦达定理
韦达定理公式 通过解析几何方法推导出韦达定理公式 韦达定理的实际应用 在解决实际问题中，如求解二次方程、向量运算等，都离不开韦达定理的 应用 韦达定理的重要性 在数学学习中，掌握韦达定理对于理解二次方程的性质和求解方法具有重 要意义 韦达定理的推广 韦达定理不仅适用于二次方程，还可以推广到更高次方程和线性方程组的 求解
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-4
2x2+3x-2=0
-2
1
-3
-1
2
2
任务一：用最恰当的方法解方程；
任务二：讨论两根和与两根积与系数之间的关
系是什么？
证明：
b b2 4ac x1
2a
x2 b b2 4ac 2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
2a
=
-b a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求 (x1+1)(x2+1)的值。
3、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。
∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值:
(1) x1 = 1, x2 =2
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？ 三：疑问，我学习它有什么用呢？
1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
2.4 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+4x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0
方程
两根
两根和 两根积
x1
x2 X1+x2 x1x2
x2-7x+3;4x-4=0
2 2 2 2 2 2 -4
X1x2=
2a
●
2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
c a
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。
总结
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
(2) x1 = 3, x2 = -6
(3) x1 = - 7 , x2 = 7 (4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2- 5
解：由韦达定理，得 ∴p= -3(x1+x2) q=3
x1
·xx12+xx1 2·3p=x2-=
,
q 3
(1)p= -9 q= 6
(2)p= 9 q= -54
(3)p= 0 q= -21
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1)2 4k 2 0 即-8k+4≥0
由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2
k 1 2
∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
那么X1+x2= -
b a
,
X1x2=
c a
能用韦达定理的条件为△≥0
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
1、
2x2 - 3x +
1 2
=0
3
x1+x2= 2
2、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
3、 3x2 = 4
x1+x2=0
1
x1x2= 4
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2,求x12+x22
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
它的两个根分别是 1
3
，1 。写出这个方程。
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的 另一个根及m的值。
由韦达定理得x1+x2=
k 1 2
,
k 3
x1x2= 2
∴( k 1)2 4 k 3 1
2
2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
它的两个根分别是 1
3
，1 。写出这个方程。
构造根满足某种条件的一元二次方程
若两个不相等的实数m, n满足条件： m2 2m 1 0, n2 2n 1 0, 求m2 n2.
1、解方程 6x2 13x 5 0
(4)p= 12 q= -3