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由韦达定理得x1+x2=
k 1 2
,
k 3
x1x2= 2
∴( k 1)2 4 k 3 1
2
2
解得k1=9,k2= -3
当k=9或-3时，由于△≥0，∴k的值为9或-3。
1、韦达定理及证明
2、韦达定理的简单应用 3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件：
根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1)2 4k 2 0 即-8k+4≥0
由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2
k 1 2
∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
那么X1+x2= -
b a
,
X1x2=
பைடு நூலகம்
c a
能用韦达定理的条件为△≥0
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
1、
2x2 - 3x +
1 2
=0
3
x1+x2= 2
2、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
3、 3x2 = 4
x1+x2=0
1
x1x2= 4
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？ 三：疑问，我学习它有什么用呢？
1、解方程 6x2 13x 5 0 可以检验一元二次方程的解是否正确；
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
X1x2=
2a
●
2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
c a
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。
总结
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2,求x12+x22
3、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
它的两个根分别是 1
3
，1 。写出这个方程。
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，求它的 另一个根及m的值。
-4
2x2+3x-2=0
-2
1
-3
-1
2
2
任务一：用最恰当的方法解方程；
任务二：讨论两根和与两根积与系数之间的关
系是什么？
证明：
b b2 4ac x1
2a
x2 b b2 4ac 2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
2a
=
-b a
b b2 4ac
+
2a
b b2 4ac b b2 4ac
(4)p= 12 q= -3
(2) x1 = 3, x2 = -6
(3) x1 = - 7 , x2 = 7 (4) x1 = -2+ 5 , x2 = -2- 5
解：由韦达定理，得 ∴p= -3(x1+x2) q=3
x1
·xx12+xx1 2·3p=x2-=
,
q 3
(1)p= -9 q= 6
(2)p= 9 q= -54
(3)p= 0 q= -21
2.4 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
解下列方程并完成填空： （1）x2-7x+12=0 (2)x2+4x-4=0 (3) 2x2+3x-2=0
方程
两根
两根和 两根积
x1
x2 X1+x2 x1x2
x2-7x+12=0
3
4
7
12
x2+4x-4=0
2 2 2 2 2 2 -4
由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4 解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。
∴ k=0
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么X1+X2= －P ,
X1X2= q
已知x1,x2是方程3x2+px+q=0的两个根， 分别根据下列条件求出p和q的值:
(1) x1 = 1, x2 =2
可以不解方程，根据一个根直接求另一根
4、已知一个一元二次方程的二次项系数是3，
它的两个根分别是 1
3
，1 。写出这个方程。
构造根满足某种条件的一元二次方程
若两个不相等的实数m, n满足条件： m2 2m 1 0, n2 2n 1 0, 求m2 n2.
1、解方程 6x2 13x 5 0
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求 (x1+1)(x2+1)的值。
3、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
1、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1。
解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1 ∵ (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2