多元函数微分学的几何应用

多元函数微分学的几何应用
内容要点：
一，求空间曲线的切线与法平面
设空间曲线为 则过曲线上点 的切线方程为
法平面方程为
1求曲线 在点 处的切线方程与法平面方程.
2求曲线 在 处的切线方程与法平面方程.
3求曲线 在 处的切线方程与法平面方程.
二，求曲面的切平面与法线方程
设曲面方程为 ，则过曲面上点 的切平面方程为
2,求曲线 在 处的切线与法平面方程.
3,求曲面 在点(2,1,0)处的切平面方程和法线方程.
4,求曲面 在点 处的切平面方程和法线方程.
5,求曲面 在点 处的切平面方程和法线方程.
[答案：1,
2,
3,
4,
5,
二元函数极值
内容要点：
一，求函数 极值的一般方法：Байду номын сангаас
1先求驻点
解下列方程组可得驻点
2判断驻点 是否为极值点，是极大点还是极小点
8,斜边长为 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形的直角边的边长.
9,把正数 分成三个正数之和，使它们乘积最大.
10,在平面 上求一点，使它与点 和点 的距离平方和为最小.
11,求点 到曲面 的最短距离.
[答案：1,极大.
2, 时，极大， 时，极小，
3,极小， 4,极小， 5,极大，
6,极小，
先求出
再判断(1)若 ,则在 处有极值.且
极大； 极小.
(2)若 ,则在 处无极值.
(3)若 ,则不定.
对于应用问题，若有唯一驻点，则在该驻点处的函数值就是函数的最大（小）值.
二，用拉格朗日乘数求极值
若要求函数 在满足约束条件 下的极值点，可用拉格朗日乘数法：
令
解方程组
解得的解便是极值点.
三，求应用问题中的最大值与最小值
法线方程为
= =
例题
例1求曲线 在点 处的切线方程与法平面方程.
解：因为 ，而点 对应的参数值 ，所以过该点切线的方向矢量为
切线方程为
法平面方程为
即
例2求旋转抛物面 在点 处的切平面方程与法线方程.
解：令 ,
于是，在点 处的切平面法矢量为
切平面方程为
即
法线方程为
练习题
1,求曲线 在点 处的切线与法平面方程.
在 点处， ,故函数在点 处有极大值
例2某厂要用铁板做成一个体积为2 的有盖长方形水箱，问当长、宽、高取怎样尺寸时，可使用料最省.
解：设水箱的长、宽、高分别为 ,由题意可知 ,即
所用材料，即水箱的表面积
解方程组
[此时，高 ]
可见，有唯一驻点( ).故当水箱长、宽、高均为 时，用料最省.
例3用拉格朗日乘数法解例2中的问题.
主要步骤：
1根据问题的目的写出目标函数
2根据问题的条件写出约束条件 ;
3利用拉格朗日乘数法，求得唯一极值就是最值.
例题
例1求函数 的极值.
解：解方程组
解得驻点为
再求二阶导数
于是，在(1,0)点处， ,故函数在点处有极小值
在(1,2)点处， ,故函数在点(1,0)处没有极值.
在 点处， ,故函数在点 处没有极值.
解：设水箱的长、宽、高分别为 .
目标函数为水箱表面积，即
,
约束条件为
于是，令 =
解方程组
可见与例2结果相同.
练习题
1,求函数 的极值
2,求函数 的极值
3,求函数 的极值
4,求函数 的极值
5,求函数 在条件 下的极值.
6,求函数 在条件 下的极值
7,要造一个容积等于定数 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小.
7, 8, 9, 10, 11, 1 ]