矩母函数

.
14
拉式变换与概率分布函数
定理：一函数L(s) (s≥0)是某一分布函数的 Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷 次可导，且满足 (-1)nL(n)(s) ≥0, (s≥0, n≥0)
.
15
矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明
X |Y y
xfX|Y x | y 离散情况 xfX|Y x | y dx 连续情况
如果r x, y 是x和y的函数，那么
r X,Y |Y y
r x, y fX|Y x | y 离散情况 r x, y fX|Y x | y dx 连续情况
X ：数字
X |Y y ：y的函数。在知道y的值之前，不知道
条件期望、矩母函数
山东财经大学保险学院 谭璐
.
1
主要内容
一、条件期望 二、混合分布 三、矩母函数 四、特征函数
.
2
一、条件期望
fX|Y x | y
给定变量Y时，在 X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率
分布 也能求期望，称为条件期望
.
3
定义 给定Y y时，X的条件期望是
因而
Y |Xx x 1 y f fY Y||X X y y||x xd y 1/1 1- 1 -x x x 1 y d y1 2 x
Y|X 1 X/2
fY|X y|x 1/ 1-x
注意： Y|X 1 X/2是随机变量，当X x 时， 其值为
Y|X x 1 x/2
思考题：当X与Y独立时， X |Y y 的值？
X|Y y
X | Y ：随机变量，当Y=y时， X |Y y 的值
r X,Y |Y ：随机变量
.
4
假定对 X～Uniform0,1 采样，在给定x后，在对
Y|X～ Uniformx,1采样 直观地，期望
Y|X x 1 x/2
事实上，对x y 1 ，有 fY|X y|x 1/1-x 得到期望
X|Y~Binomial Y,p
(X x)
(X x,Y y)
(X x|Y y) (Y y)
y0
y0
ypx 1 py x e y
yx x
y!
e p px x!
.
12
X~Poission p
期望： X p 亦可通过条件期望计算：
X X |Y p Y p
方差： X p 亦可通过条件期望计算：
X X |Y
渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分 布与边缘分布
希望知道 f x ，至少是其期望和均值（条
件期望和方差）
.
11
混合分布举例
例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个 随机变量，用 Y~Poission 表示；另外假设每
个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p, 为 Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则
X |Y Y p1p Y p
p1p Y p 2 Y p1p p 2 p
.
13
三、矩母函数（Moment Generating Functions）
矩母函数的得名起因于下述公式： E(Xk)=M(k)(0)
对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换 s=-t,LX(s)=MX(t)
L X (s ) E [es X ] es X d F (x ) ,s0 通常称上式为X的laplace变换。
Y |X Y Y |X Y |X Y|X Y 0 0
所以
Y Y |X Y |X
.
10
二、混合分布
在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定， 如 f x，| 这些参数 通常又是一个随机变量 （贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量）， 则最终的分布称为混合分布(mixture distribution)
2
I
Y Y|X
2
II
Y|X Y
2
Y Y|X |X Y|X
III 2 Y Y | X Y | X Y
Y
Y|X Y|X Y|X Y |X
.
9
在给定X的情况下，条件分布为 Y | X ，Y为随机变量，因此上式中 Y| X , X 为常数，因此
Y Y | X Y | X Y | XY | X Y Y Y | X | X
16
矩母函数（Moment Generating Functions）
定
X是离散型r. v
义
X是连续型r. v
矩母函数与分布间的一一对应
唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个
区间上成立，则随机变量X与Y同分布。
.
17
.
18
矩母函数与随机变量X的各阶矩
X的矩母函数可 以变形为：
于是：
1+ 1 X = 2 =3 4
2
2
.
7
条件方差
定义：条件方差定义为
2
Y |Xx y x f y|xd y
其中
x Y|X x
定理：对随机变量X和Y，
Y= Y|X Y|X
.
8
证明： Y
根据定义，
Y
Y
Y|X
Y2
Y
2
Y Y|X
Y|X
Y|X Y|X
2
Y|X Y
2
Y 2Y
Y|X
Y|X Y
I II III
.
19
另一方面：
于是：
.
20
性质1： 例：
从而：
.
21
再考虑：
于是：
.
22
而 从而
特别 性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：
.
23
证明：
系：设X 1…Xn是独立随机变量，则：
例：设Z1 …Z2 是相互独立的标准正 态分布随机变量，则：
.
24
证明：设z是标准正分布的随机变量
定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为
Xt
etX
其中t在实数上变化。
etxdF Xx
若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期 望操作，所以有：
0 de tX
d t
t0
d e tX d t t0
X e tX t0
X
取k阶导数，可以得到 k 0
Xk 方便计算分布的矩
.
.
5
定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则
Y |X =Y , X |Y=X
与Y有关的随机变量
更一般地，对任意函数 r x , y
rX ,Y|X=rX ,Y
证明：利用条件期望的定义和f x,y f xf y|x
Y|X= Y|XxfXxd x yf y|xd yfXxd x yf y|xfXxd xd y yf x,yd xd y Y
Байду номын сангаас
.
6
X ～ U n ifo r m 0 ,1 ， Y |X ～ U n ifo r m x ,1
怎样计算 Y ？ 一种方法是计算联合密度 f x , y ，然后计算
Y yf x,ydxdy
另一种更简单的方法是分两步计算
计算 Y| X =1 X
计算 Y =
2 Y|X =
1
X
1+ X
2
2
= 1+