北邮运筹学ch2-4灵敏度分析
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2-4灵敏度分析
①保持 B-1b≥0 ，当前的基仍为最优基，最优解的结构 不变（取值改变）； ② (B-1b)i<0 ，当前基为非可行基，但是仍保持为对偶 可行基，可用对偶单纯形法求出新的最优解； ③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数，令B-1b≥0求解该不等式组即可；
20
仍然来看上例的最优表格：
Cj
b xj
2 x1 1 1 2 1 0 0
3 x2 1 4 3 0 1 0
3 x3 1 7 3 -1 2 -1
0 0 j x4 x5 1 0 3/1 0 1 9/1 0 0 4/3 -1/3 B-1 -1/3 1/3 -5/3 -1/3
N =（-1，-5/3，-1/3）
N 0为原始单纯形表寻优的最优性条件（正则性
10
例：c3发生变化时，
3 =c3-z3=c3-[2×(-1)+3×2]=c3-4≤0，
令
得c3≤4。即当c3≤4时，最优解不变； 否则 3 >0,可使用原始单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
例2 已知某LP问题的最优单纯表如下： 若C`1=5，则C`1>C1+C1=17/4， 最优解发生变化，重新用单纯形 法求解。 要保持原最优解， C3的变化范围为 C311/4
用表格单纯形法求解如下：
6
CB XB 0 0 2 0 2 3 X4 X5 -Z X1 X5 -Z X1 X2 -Z
Cj
b xj
3 9 0 3 6 -6 1 2 -8
2 x1 1 1 2 1 0 0 1 0 0
3 3 0 0 x2 x3 x4 x5 1 1 1 0 4 7 0 1 3 1 3 1 0 1 3 1 6 1 0 1 -1 -2 0 0 1 0
20
仍然来看上例的最优表格：
Cj
b xj
2 x1 1 1 2 1 0 0
3 x2 1 4 3 0 1 0
3 x3 1 7 3 -1 2 -1
0 0 j x4 x5 1 0 3/1 0 1 9/1 0 0 4/3 -1/3 B-1 -1/3 1/3 -5/3 -1/3
N =（-1，-5/3，-1/3）
N 0为原始单纯形表寻优的最优性条件（正则性
10
例：c3发生变化时，
3 =c3-z3=c3-[2×(-1)+3×2]=c3-4≤0，
令
得c3≤4。即当c3≤4时，最优解不变； 否则 3 >0,可使用原始单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
例2 已知某LP问题的最优单纯表如下： 若C`1=5，则C`1>C1+C1=17/4， 最优解发生变化，重新用单纯形 法求解。 要保持原最优解， C3的变化范围为 C311/4
用表格单纯形法求解如下：
6
CB XB 0 0 2 0 2 3 X4 X5 -Z X1 X5 -Z X1 X2 -Z
Cj
b xj
3 9 0 3 6 -6 1 2 -8
2 x1 1 1 2 1 0 0 1 0 0
3 3 0 0 x2 x3 x4 x5 1 1 1 0 4 7 0 1 3 1 3 1 0 1 3 1 6 1 0 1 -1 -2 0 0 1 0
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档
c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
灵敏度分析(运筹学).ppt
0
0
1
0
0
0
x3
1 0
0 1 1
0 2 -1
-1
0
x4
0 1
0
0
-3/2 -1 1
-1
2.5.1 单纯形法的矩阵描述
1. 约束方程系数矩阵的变化
约束方程系数矩阵
，进行初等行
变换，相当于左乘一个相应的初等阵。
即
，在A中所包含的矩阵B，左
乘 后，则得到
。
2. 约束方程右端项的变化
3. 目标函数系数的变化
1. 灵敏度分析的概念：
当某一个参数发生变化后，引起最优解如何改变的 分析。 可以改变的参数有： bi——约束右端项的变化，通常称资源的改变； cj ——目标函数系数的变化，通常称市场条件的变 化； pj ——约束条件系数的变化，通常称工艺系数的变 化； 其他的变化有：增加一种新产品、增加一道新的工 序等。
2．分析原理及步骤：
（1）借助最终单纯形表将变化后的结果按下述基
本原则反映到最终表里去。
B①-1bi△变b化：=
（b+△b）´=B-1 b´+B-1 △b
（b+△b）=
B-1
b+
②pj变化：（pj+△ pj ）´= B-1 （pj+△ pj ）= B-1 pj+ B-1 △ pj = pj ´+ B-1 △ pj
围来确定最优解是否改变。 由于系数的改变，最优值z可能发生 变化而不再是原值了。
2、约束条件右端值的变化
约束条件右端值每增加一个单位 引起的最优值的改进量称为对偶 价格。
对偶价格只适用于在右端值仅发 生了很小变动的情况
2.5.3 单纯形法灵敏度分析
运筹学第11讲灵敏度分析
第二章 线性规划的对偶理论
Duality Theory 对偶问题的经济解释——影子价格 线性规划的对偶问题 对偶单纯形法 灵敏度分析 对偶问题的基本性质
1、什么是灵敏度分析？ 是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij）或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
设备A(h)
设备B(h)
调试工序(h)
利润(百元)
Ⅰ
Ⅱ
每天可用能力
资源
产品
0
5
6
2
1
1
2
1
15
24
5
例2-1
如何安排生产计划才能使总利润最多？
解：
(1) 设x1, x2分别表示Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产数量，得LP模型
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
用单纯形法求解得最终单纯形表
得最优解为：
X*=(7/2, 3/2, 15/2, 0, 0)T
zmax=8.5(百元)。
即每天生产3.5单位产品Ⅰ，1.5单位产品Ⅱ时总利润最多，且
max z = 2x1+x2 s.t. 5x2 ≤15 6x1+2x2 ≤24 x1+ x2 ≤5 x1, x2 ≥0
5. 分析系数 aij 的变化
系数矩阵A
s.t.
对偶问题决策变量的最优解<影子价格>：
初始单纯形表
最优单纯形表
X*=B-1b
CN－CBB-1N ≤0
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学课程04-灵敏度分析资料
XS为松弛变量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m), I为m×m 矩阵
A ( B, N )
XB X X N
C (CB , CN )
XB ( B, N ) X b BX B NX N b N
2019/4/12 4
NEUQ
B-1b
0
≤0
但B 1b 0不变
Z： CBB-1b
若C N C B B 1 N 0 此表仍为最优，
此时最优解不变但最优值改变
若C N C B B N 0 此表不是最优单纯形表
用单纯形法继续迭代
2019/4/12 9
1
NEUQ
1、非基变量对应的价值系数的灵敏度分析
设 ck 变化为
X B 检验数
CB CB I 0 CB CB B B 0
因此
1 C C B A0 B 1 C B 0 B
1
2019/4/12
7
NEUQ
一、目标函数系数C（价值系统）变化
cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动
cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，
NEUQ
灵敏度分析又称“后验分析”，它是对已经得到的最优
方案改变某些条件来检验最优解的“稳定性”以及目标 函数最优值随各种条件变化的“敏感性”；换言之，假 定对于已知线性规划问题已求得的最优解是获得的最大 利润的生产计划安排，现在如果在生产过程中成本系数 向量C，约束常数向量b,约束系数A以及其他条件发生变 化或波动，这些变化限制在什么范围内，在原来得到的 最优安排仍为最优，而不需要改变工作计划？
' k
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学第二章灵敏度分析
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
0<=c1<=750
x2
8
7 6
5
4
3
2
可行域
1
c1=0(z=0x1+500x2) c1=300(z=300x1+500x2)
约束条件系数 a i j 变化的灵敏度分析
变量 x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
只有一个系数cc j j 发生变化，即其他条件均不变，把
300 改成 500
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
运筹学讲义-灵敏度分析
k=1 −1 m
qi = ∂f ( x) ∂bi− = (CBB−1)i , 左导数 机会成本 zn+i = CBB−1P +i = (CBB−1)i n zn+i 因此 qi = − zn+i
−1 m
, 松弛变量 人工变量 剩余变量
m
机会成本的另外表达形 式 z j = CBB Pj = ∑(CBB )i aij = ∑qiaij
16
2.4.7 灵敏度分析举例 例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。 ，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。 产品至少110 个，求收 下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 产品至少 益最大的生产方案。 益最大的生产方案。
17
例2.4.3
为已选定各种组合方案的组数(j=1,2,…,5)， x6为A产品 解：设xj为已选定各种组合方案的组数 ， 产品 的剩余变量， 分别为工人工时和机器工时的松弛变量。 的剩余变量， x7，x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
©管理与人文学院
1999，4 ，
忻展红
2.4 灵敏度分析
灵敏度分析又称为后优化分析
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化 – C, b, A • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
18
例2.4.3 • • • • • • • • • 最优解的B 最优解的 –1是什么 产品A的影子价为多少 产品 的影子价为多少 组方案的生产费用提高2元 第II组方案的生产费用提高 元，是否要调整生产组别 组方案的生产费用提高 若工人加班费为1元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，是否要采取加班措施 若通过租借机器增加工时， 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少 A产品的订购合同是否有利 产品的订购合同是否有利 若要选用第IV组方案，该组的生产费用应降低多少 若要选用第 组方案， 组方案 若工人加班费为0.3元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，最多允许加班时间多少 若机器租费低于44元 小时 问租几部机器才合适(每天 小时， 若机器租费低于 元/小时，问租几部机器才合适 每天 8小时计 小时计) 小时计 • 若第 组方案使机器工时减少 小时，能否被选入 若第III组方案使机器工时减少 小时， 组方案使机器工时减少0.5小时
qi = ∂f ( x) ∂bi− = (CBB−1)i , 左导数 机会成本 zn+i = CBB−1P +i = (CBB−1)i n zn+i 因此 qi = − zn+i
−1 m
, 松弛变量 人工变量 剩余变量
m
机会成本的另外表达形 式 z j = CBB Pj = ∑(CBB )i aij = ∑qiaij
16
2.4.7 灵敏度分析举例 例2.4.3 某工厂生产三种产品 A, B, C，有五种生产组合方案。 ，有五种生产组合方案。
下两表给出有关数据。 产品至少110 个，求收 下两表给出有关数据。规定每天供应 A产品至少 产品至少 益最大的生产方案。 益最大的生产方案。
17
例2.4.3
为已选定各种组合方案的组数(j=1,2,…,5)， x6为A产品 解：设xj为已选定各种组合方案的组数 ， 产品 的剩余变量， 分别为工人工时和机器工时的松弛变量。 的剩余变量， x7，x8分别为工人工时和机器工时的松弛变量。
©管理与人文学院
1999，4 ，
忻展红
2.4 灵敏度分析
灵敏度分析又称为后优化分析
2.4 线性规划的灵敏度分析
• 线性规划是静态模型 • 参数发生变化，原问题的最优解还是不是最优 参数发生变化， • 哪些参数容易发生变化 – C, b, A • 每个参数发生多大的变化不会破坏最优解 • 灵敏度越小，解的稳定性越好 灵敏度越小，
18
例2.4.3 • • • • • • • • • 最优解的B 最优解的 –1是什么 产品A的影子价为多少 产品 的影子价为多少 组方案的生产费用提高2元 第II组方案的生产费用提高 元，是否要调整生产组别 组方案的生产费用提高 若工人加班费为1元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，是否要采取加班措施 若通过租借机器增加工时， 若通过租借机器增加工时，租费的上限应为多少 A产品的订购合同是否有利 产品的订购合同是否有利 若要选用第IV组方案，该组的生产费用应降低多少 若要选用第 组方案， 组方案 若工人加班费为0.3元 小时 小时， 若工人加班费为 元/小时，最多允许加班时间多少 若机器租费低于44元 小时 问租几部机器才合适(每天 小时， 若机器租费低于 元/小时，问租几部机器才合适 每天 8小时计 小时计) 小时计 • 若第 组方案使机器工时减少 小时，能否被选入 若第III组方案使机器工时减少 小时， 组方案使机器工时减少0.5小时
运筹学 灵敏度分析
′ （2）由于 1 是基变量，所以 ξ B = 0, ）由于x 是基变量，
T ′ ξ N = ξ N + (c1′ − c1 )( B −1 N )(1) ( B −1 N 中第1行元素）
1 5 7 1 1 1 ‘ = （ ， ， ）+ ( 1 − 5)(− , , − ) c 6 6 6 6 6 6 ‘ ‘ ‘ c1 c1 c1 ‘ = (1 − , , 2 − ) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ c1 ≤ 6 6 6 6
原最优单纯形表
基 XB XB I XN 解
ξ
ξB = 0
B N
T T T ξ N = CB B−1 N − CN ≤ 0
−1
B b T −1 CB B b
−ck )加到检验
数行， 得到新问题的单纯形表. 数行，再令 ξ k′ = 0 ，得到新问题的单纯形表
§6 灵敏度分析
概况
• 信息的不确定性
信息的变化： 信息的变化： 价值向量C—市场变化 价值向量 市场变化 右端向量b—资源变化 右端向量 资源变化 系数矩阵A—技术进步 系数矩阵 技术进步
• 产生的问题
当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？
x4
-1/4 ½ -1/4 -1/4 ½ -1/4 -5/4 1 0 7/4 5/2 7/4 7/4 5/2 7/4 -13/4 5 3
-5/4 ½ -1/4 1 ½ -1/4 0 1 0
x2 x3
Z
x2 x3
Z
x1 x3
最优解 x*=（5, 0, 3） 最优值 z*=-13/4
T ′ ξ N = ξ N + (c1′ − c1 )( B −1 N )(1) ( B −1 N 中第1行元素）
1 5 7 1 1 1 ‘ = （ ， ， ）+ ( 1 − 5)(− , , − ) c 6 6 6 6 6 6 ‘ ‘ ‘ c1 c1 c1 ‘ = (1 − , , 2 − ) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ c1 ≤ 6 6 6 6
原最优单纯形表
基 XB XB I XN 解
ξ
ξB = 0
B N
T T T ξ N = CB B−1 N − CN ≤ 0
−1
B b T −1 CB B b
−ck )加到检验
数行， 得到新问题的单纯形表. 数行，再令 ξ k′ = 0 ，得到新问题的单纯形表
§6 灵敏度分析
概况
• 信息的不确定性
信息的变化： 信息的变化： 价值向量C—市场变化 价值向量 市场变化 右端向量b—资源变化 右端向量 资源变化 系数矩阵A—技术进步 系数矩阵 技术进步
• 产生的问题
当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 当这些参数变化时，问题的最优解会有什么变化？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？ 这些参数在多大范围内变化时，最优解不变？
x4
-1/4 ½ -1/4 -1/4 ½ -1/4 -5/4 1 0 7/4 5/2 7/4 7/4 5/2 7/4 -13/4 5 3
-5/4 ½ -1/4 1 ½ -1/4 0 1 0
x2 x3
Z
x2 x3
Z
x1 x3
最优解 x*=（5, 0, 3） 最优值 z*=-13/4
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
运筹学课件 第五节 灵敏度分析
参数 aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
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（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
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解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
运筹学教程
CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
b ' B 1b Pj B 1 Pj
' m
(c j z j ) c j aij yi
' i 1
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（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
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解（2）设产品2的利润1+
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
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CB 0 2 3
2 x1 基 b x5 3/8 0 x1 11/4 1 x2’ 15/8 0 Cj-Zj 0
Cj
3 x2’ 0 0 1 0
0 0 0 x3 x4 x5 -1/24 -1/6 1 -1/12 1/6 0 1/8 0 0 -5/24 -1/3 0
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0
3 0 X2’ x3 11/2 1 ½ 0 ½ 0 3/2 0 3 x2’ 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
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所以
c j j
即cj的增量 c j 不超过cj的检验数的相反数时，最优解不 变，否则最优解就要改变。
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 4 of 34
二、ci是基变量xi的系数 因ci∈CB ，所以每个检验数λj中含有c i,当c i变化为c i＋ ' 变化，这时令 j ' c j C B B 1 Pj
bi
当 令
ir 0时有br
ir
bi 1 max ir 0 i ir bi 2 min 北京邮电大学 运筹学 ir 0 i ir
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Δc3无上界，即有Δc3≥－2，c3的变化范围是。
c3 ' 1或c3 1,
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 9 of 34
对c3的变化范围，也可直接从表2－6推出，将c3=3写成
Ch2 Dual Problem
x1
x3
1
0 0
1
1 －3
0
1 0
0
0 0
1
0 －1
－1
1 －2
5
15
最优解X=（5，0，15） ; 最优值Z=50。
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 7 of 34
（2）x2为非基变量，x 1、x 3为基变量，则
当某个 ir
0时，b 可能上界或无下界。
r
【例2.14】求例2.13的b1,b2,b3 分别在什么范围内变化时， 原最优基不变。
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 14 of 34
得Δc3≥－2，同理，用此方法可求出c2和c1的变化区间。
2.4.2 资源限量bi变化分析 为了使最优基B不变，求bi的变化范围。 设br的增量为Δbr，b的增量为 b (0,0,, b ,0,,0) ' 原线性规 r 划的最优解为X，基变量为XB=B－1b，要使最优基B不变，即要求，
0 'b1 B ' B X
c2 2 3
c2变化范围是： c2 c2 (2 ) 1 3 4或c2 ,4 对于c1：表2－6是x 1对应行的系数只有一个负数 a26 1 ,有两个正 数 a22 1及a25 1, 则有
1 max
a 22 a 25 3 1 max , 1 1 1 ,
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 1 of 34
线性规划的灵敏度分析也称为敏感性分析，它是研究和 分析参数（cj，bi，aij）的波动对最优解的影响程度，主要 研究下面两个方面： （1）参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变；
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 13 of 34
因而要使得所有
xi ' 0, br
ci
必须满足
1 br 2
的 上、下限的公式类似，比值的分
这个公式与求
子都小于等于零，分母是B－1中第r列的元素， br 大于等
于比值小于零的最大值，小于等于比值大于零的最小值。
（2）当参数已经变化时，最优解或最优基有何变化。
当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新 求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取得的最优 结果的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可事 先知道参数的变化范围，及时对原决策作出调整和修正。 2.4.1价值系数cj的变化分析 为使最优解不变，求cj北京邮电大学 运筹学 的变化范围。
b2 5 1 max 5 22 1 b1 5 2 min 5 12 1 5 b2 5
即b2在[15，25]上变化时最优基不变。
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
12 22 32
13 1 1 1 23 0 1 1 33 0 0 1
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而 β21=β31=0，则
b1 5 1 max 5 1 11 运筹学 北京邮电大学
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5 ' 1 0
，要使
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 10 of 34
2 '
、 6 ' 同时小于等于零，解不等式组
3 c3 0 2 c3 0
2 5
2 min
6 2 2 a 26 －1
c1的变化范围是：
' 1
1 c1 2
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c1 1 c c1 2 ,0 c1 ' 3或c1 [0,3]
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
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2013-9-13 Page 15 of 34
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在 不变。
[35,内变化时最优基 )
对于b2：比值的分母取B－1的第二列， 12 0, 22 0 ，则
x1 x 2 2 x3 40 x 2 x x 20 1 2 3 x 2 x3 15 x1 , x 2 , x3 0
（1）求最优解；
北京邮电大学 运筹学 （2）分别求c1,c2,c3的变化范围，使得最优解不变。
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
c3 ' c3 c3
分别计算非基变量的检验数并令其小于等于零。
2 ' c 2 C ’B 1 P2 B
2 1 ＝ (0,1,3 c3〕 1 1 ＝ 3 c3 0
‘ 5 ' c5 C B B 1 P5
1 (0,1,3 c3 ) 1 0 1 1 6 ' (0,1,3 c3 ) 1 1 2 c 3 0
c j (C B C B ) B 1 Pj c j C B B 1 Pj C B B 1 Pj j C B B 1 Pj j (0, ,0, ci ,0, ,0)( a1 j , a 2 j , , a mj )' j ci aij 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 3 of 34
一、cj是非基变量xj的系数
j ' c j 'CB B 1Pj c j c j CB B 1Pj
c j CB B 1Pj c j cB B 1 Pj , j 1,2,, n 要使最优解不变，即当cj变化为 c j ' c j c j 后，检验数 仍然是小于等于零，即
检验数为
j ' c j 'C B B Pi 0
1
这时分cj是非基变量和基变量的系数两种情况讨论。
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 5 of 34
要使得所有
j ' 0 ，则有
1 ci 2
只要求出 2 及下限 1就可以求出ci的变化区间。
【例2.13】线性规划 max Z x1 x 2 3x3
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2013-9-13 Page 11 of 34
X B ' B 1b' B 1 (b b) B 1b B 1b X B B 1b
因为
0 1r 0 B 1 b ( 1 , 2 , , m ) br br 2 r 0 mr 0
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
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所以
b1 1r b1 br 1 2r ' b2 b b2 br 2 r 0 XB r bm mr bm br mr bi br ir 0, i 1,, m
【解】解：由表2－6知，最优基B、B－1及分别为
1 1 2 11 B ( P4 , P1 , P3 ) 0 1 1 , B 1 21 0 0 1 31 b1 5 5 X B b2 5 , X B 5 b3 15 15