数学建模测绘

解析空中三角测量光束法平差中的

基本数学模型

XX

（黑龙江科技大学 矿业工程学院测绘工程，20120207XX,12

号）

摘要：在解析摄影测量中，将外方位元素和模型点坐标的计算放在一个整体内进行，此时称其为光束法。光束法平差是以共线方程式作为数学模型，像点的像平面坐标观测值是未知数的非线性函数，经过线性化后按照最小二乘法原理进行计算。该计算也是在提供一个近似解的基础上，逐次迭代来达到趋近于最佳值的。

关键词：摄影测量；共线方程；内外方位元素；坐标系 引言：区域网空中三角测量是摄影测量过程中的一个重要步骤,是利用计算方法以及少量控制点和加密点的像点坐标,获得区域网内所有像片的外方位元素以及加密点的地面坐标的过程。随着人们对测量精度的要求越来越高,光束法已经是目前进行区域网空中三角测量的首选方法

光束法平差模型建立： ①.共线方程式的表达：

设S 为摄影中心，在世界坐标系下的坐标为（S X ,S Y ,S Z ）;M 为空间一点，在世界坐标系下的坐标为（X,Y,Z ），m 是M 在影像上的构象，其像平面和像空间辅助坐标分别为（x ，y ，-f ），（m

m m Z Y X ,,

），此时可知S 、m 、M 三点共线。可得

λ===---ZS

Z Zm

YS Y Ym XS

X Xm

再根据像平面坐标和像空间辅助坐标的关系有

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-m m m m m m T Z Y X c b a c b a c b a Z Y X f y x R *333222111 由上述两式可解得共线方程式为

)

(3)(3)(3)

(2)(2)(20)

(3)(3)(3)

(1)(1)(10ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X c b a c b a f

y y c b a c b a f x x -+-+--+-+--+-+--+-+--=--=- 其中，0

x 、0y 、f 是影像内方位元素；表示像平面中心坐标和摄像机

主距。

②.共线方程式的线性化： 该方程式一次项展开式为

Z

Y X Zs Ys Xs Z Y X Zs Ys Xs d d d d d d d d d F F d d d d d d d d d F F Z Fy Y Fy X Fy Fy Fy Fy Zs Fy Ys Fy Xs Fy y y Z Fx

Y Fx X Fx Fx Fx Fx Zs Fx Ys Fx Xs Fx X X ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+++++++++=+++++++++=κωϕκωϕκωϕκωϕ00

式中0X F 、0y F 为共线方程函数近似值，Xs

d 、Ys

d 、Zs

d 、ϕ

d 、ω

d 、

κd 为外方位元素改正数，X d 、Y d 、Z d 为待定点的坐标改正数。

在保证共线条件下有：

Zs

Fy Z Fy Ys Fy Y Fy Xs Fy X

Fy Zs

Fx

Z Fx Ys Fx Y Fx Xs Fx X Fx

∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-=-=-=-=-=-=,,,, 此时，根据上式以及旋转矩阵可得到：

)(3

1

11

1

Fx a f a a z Xs Fx +==∂∂

)(31121Fx b f b a z Ys Fx

+==∂∂

)(31131Fx c f c a z Zs Fx

+==

∂∂

)(32211Fy a f a a z Xs

Fy +==∂∂

)(32221Fy b f b a z Ys Fy +==

∂∂

)(32231Fy c f c a z Zs

Fy

+==∂∂

ωκκκωϕcos ]cos )sin cos ([sin 14f y x y a f x Fx

+--==

∂∂

)cos sin (sin 15κκκω

y x f a f x Fx +--==

∂∂ y a Fx

==∂∂κ

16

ωκκκωϕcos ]sin )sin cos ([sin 24f y x x a f y

Fy ----==∂∂

)cos sin (cos 25κκκωy x f a f y

Fy +--==∂∂ x a Fy

-==∂∂κ

26

③误差方程式的建立： 据此可得到误差方程式为：

y

Z Y X Zs Ys Xs x Z Y X Zs Ys Xs l d a d a d a d a d a d a d a d a d a V l d a d a d a d a d a d a d a d a d a V y X ----+++++=----+++++=232221262524232221131211161514131211κωϕκωϕ

其中有：

)

(3)(3)(3)(2)(2)(20)(3)(3)(3)

(1)(1)(10ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X y y ZS Z YS Y Xs X ZS Z YS Y Xs X X X c b a c b a f

y F F l c b a c b a f x F F l y x -+-+--+-+--+-+--+-+-+=-=+=-=

将误差方程式改写成矩阵形式可为：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x Z Y X Zs Ys Xs l l d d d a a a a a a d d d d d d a a a a a a a a a a a a V V y X **232221131211262524232221161514131211κωϕ 也可简写成：

[]L Bt AX L t X B A V -+=-⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=*

在该式中有：