北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的背景_曲边梯形的面积_课件

O













1 n
2 n
k n
n n
1 1 1 2 1 n 1 1 0 n n n n n n n 1 3 (12 22 (n 1)2 ) n 1 (n 1)n(2n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a b x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1.
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a
A2
b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
北师大版高中数学选修2-2
第四章《定积分》
问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但 有一边是曲线 y f ( x) 的一段，我们把由直 线 x a , x b (a b) , y 0 和曲线 y f ( x) 所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边 梯形的面积？
y = f(x)
y
的近似值。 有理由相信，分 点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
o
x
练习一： 求直线 x=0,x=2,y=0与曲线 y=x2 所围成的曲边梯 y 形的面积。
8 3
y x2
O
2 i - 1 n
回顾总结 1．求曲边梯形的思想和步骤： 分割→近似代替→求和→取极限 (“以直代曲”的思想） 。
O
y
A1 a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x)
形如 的何 面求 积曲 边 梯
O
y
A1 a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
2iຫໍສະໝຸດ Baidun
2
x
—— 以直代曲,无限逼近
曲边梯形的面积
y
o
x
曲边梯形的面积
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代替后求和。 分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
“以直代曲”的具体操作过程
y
y x2
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和
x轴所围成的曲边梯形的面积。
第i个小区间 O ⑴分割 ⑵近似代替
i -1 i n n
1
x
⑶求和
⑷取极限
1 区间长度：△x= n i 1 区间高：h= f n
小矩形面积：△S=
i 1 1 f n n
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这 样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这 些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
y
因此, 我们有理由相信, 这个曲边三角形的面 积为:
n
n i 1 i 1 2 1 Sn S f ( )x ( ) n n n i 1 i 1 i 1 n n ' i
S lim Sn
1 1 1 lim 1 2 n 6 n n 1 . 3 y x2
2 2 2
x
y
y
y x2

O
1 n
2 n
k n
n n
x
y x2

O
1 n
2 n
k n
n n
x
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割 （2）近似代替 把这些矩形面积相加 （3）求面积的和 作为整个曲边形面积S （4）取极限 n