2.2.2双曲线的几何性质(一)教案
选修1-1教案2.2.2双曲线的几何性质
课题: 2.2.2双曲线的简单几何性质（共2课时）一、教学目标1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。
2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。
双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线． (四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 练习P41 练习1例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
学案5:2.2.2 双曲线的简单几何性质
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1．掌握直线与双曲线的位置关系．2．掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．学习重点：直线与双曲线的位置关系．学习难点：直线、双曲线有关的弦长、中点等问题．课内探究案新课导学：探究点一直线与双曲线的位置关系研究直线与双曲线的位置关系,一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组{y=kx+m,①x2a2-y2b2=1②的解的个数进行判断.①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.当b2-a2k2=0,即k=±ba,直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线交于一点.当b2-a2k2≠0,即k≠±ba时,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交;Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切;Δ<0⇔直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离.注意:直线与双曲线相切时,它们只有一个公共点,但当直线与双曲线只有一个公共点时,它们不一定相切,这时它们还可以相交.例1 若直线y=2x+m与双曲线x2-y2=4相切,则实数m的值为.探究点二根据双曲线标准方程研究几何性质由双曲线的方程,求双曲线的相关性质的步骤为:先将双曲线方程化为标准形式x 2a2−y2b2=1(或y2 a2-x2b2=1),再根据它确定a,b的值(注意分母分别为a2,b2,而不是a,b),进而求出c;再对照双曲线的几何性质得到相应的答案.画近似图形,要先画双曲线的两条渐近线(即以2a,2b为两条邻边的矩形的对角线所在直线)和两个顶点,然后根据双曲线的变化趋势,就可画出双曲线的近似图形.例2 求双曲线144x2-25y2=-3 600的实轴长和虚轴长,焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线方程.探究点三根据双曲线的几何性质求标准方程1.根据双曲线几何性质求标准方程时,常用方法是先定型(焦点在哪个轴上),再定量(确定a2,b2的值).要特别注意a2+b2=c2的应用,并注意不要与椭圆中的关系相混淆.2.如果已知双曲线的方程为标准形式,但不知焦点所处的位置,也可把双曲线方程设为mx2-ny2=1(m,n同号),然后由条件求m,n.3.与双曲线x2a2−y2b2=1具有共同渐近线的双曲线的标准方程可设为x2a2−y2b2=λ(λ≠0),然后再结合其他条件求出λ的值即可得到双曲线方程.例3 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x2-2y2=2有共同渐近线,且过点M(2,-2);(2)过点P(3,-√2),离心率为√52.当堂检测1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( )A ．2B ．2 2C ．4D ．422．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( ) A.31414 B.324 C.32 D.434．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．四、课后反思课后训练案1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是()A.x 212－y 24＝1B.x 24－y 212＝1C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝12．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1C.y 224－x 212＝1 D.x224－y 212＝13．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45xC ．y ＝±43x D ．y ＝±34x5．双曲线x 24＋y 2b＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________． 6．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________.7．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．答 案新课导学探究点一 直线与双曲线的位置关系例1 【解析】联立方程组{y =2x +m ,x 2-y 2=4,则3x 2+4mx+m 2+4=0,由题意知Δ=(4m )2-12(m 2+4)=0,解得m=±2√3.【答案】±2√3探究点二 根据双曲线标准方程研究几何性质例2 【答案】 解:把双曲线方程化成标准方程为y 2144−x 225=1,则a 2=144,b 2=25,∴c 2=a 2+b 2=169. ∴a=12,b=5,c=13.由此可知,该双曲线的实轴长2a=24,虚轴长2b=10,焦点坐标为(0,-13),(0,13),顶点坐标为(0,-12),(0,12),离心率e=1312,渐近线方程为y=±125x.探究点三 根据双曲线的几何性质求标准方程例3 【答案】 解:(1)设与双曲线x 22-y 2=1有公共渐近线的双曲线方程为x 22-y 2=k (k ≠0), 将点(2,-2)代入,得k=222-(-2)2=-2,故双曲线的标准方程为y 22−x 24=1.当堂检测1．【解析】双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C. 【答案】C2．【解析】2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2.【答案】B3．【解析】根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32. 【答案】C4．【解析】∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1.【答案】1课后训练案1．【答案】 C【解析】 ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1. 2．【答案】 B【解析】 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线的焦点在y 轴上，∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1. 又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)，∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12.∴双曲线方程为y 212－x 224＝1. 3．【答案】 C【解析】 ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0.∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．【答案】 D【解析】 ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169， ∴b a ＝43，∴a b ＝34. 又∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±a bx ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 5．【答案】 －12<b <0【解析】 ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)， ∴－12<b <0.6．【答案】 62 【解析】 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62. 7．【答案】解：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ， 则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)． 8．【答案】解：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ) 又A 在双曲线上，则14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ)联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4.故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.。
2.2.2 双曲线的简单几何性质(1)
6 ,0
e 3 2 2
3
10 , 0
0 , 2 2
e 2
y x
0 ,
e
74
e 10
74 5
y
2 4
x
y=±3x
y
5 7
x
例题讲解
1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
e 增大时，渐近线与实轴
的夹角增大
e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大
（4）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率 e 2的双曲线是等轴双曲线
(5)
e
c a
c a b
2 2
2
y
在 a 、 b 、 c 、 e 四个参数中，知二可求
2 2
二
2
B2
c b a
c b a
A2
几何意义
( a ,0),(0,b),且 原 点 到 直 线 l的 距 离 为
解 : l : b x a y a b 0 ,
ab a b
2 2
=
3c 4 2 3 3 ,
则 3e -16e +16=0,解 得 e=2,或 e= 0<a<b e= 1+ b a
2 2
4
2
> 2 ,则 e=2.
小
结
椭 圆
双曲线
方程
a b c关系
2 x2 y 1 a＞ b ＞0） 2 （ 2 a b
x2 y2 1 ( a＞ 0 b＞0) 2 b2 a
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
2.2.2双曲线的简单几何性质课件人教新课标1
离心率: e c 5
a4
渐近线方程:
y 4x 3
练习1、求下面双曲线的范围，顶点坐标， 焦点坐标，实轴长，虚轴长，焦距，离心 率，渐近线方程.
9x2-y2=81
顶点坐标是(-3，0) ， (3，0) ， (0，-9) ， (0，9)
焦点坐标是 (3 10,0),(3 10,0)
实轴长2a=6，虚轴长2b=18，焦距2c=6 10
y
解：如图，建立直角坐
C＇ 13 C
标系xoy，使小圆的 直径AA＇在x轴上，
A＇
12 O
A
x
圆心与原点重合，
B＇
25
B
设双曲线的方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
令C的坐标为(13，y)， 则B的坐标为(25，y-55)
将B、C坐标代入方程得
252 ( y 55)2
1
22 1 32
122
b2 y2
b2
1 1
① ②
由方程②，得
y 5b (负值舍去)
12
y
C＇ 13 C
A＇
12 O
A
x
B＇
25
B
代入方程①得，252
12 2
(152b 55)2 b2
1
化简得 19b2 275b 18150 0
用计算器解得b≈25 所以，
所求双曲线的方程为
x2 y2 1 144 625
y
2.2.2
让我们一起研究：
标准方程为:
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
的双曲线的性质.
y
横坐标的范围：
A1 A2
教案4：双曲线的几何性质(2课时)
双曲线的几何性质（一）教学目标：1、掌握双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率；2、掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系。
教学重点：双曲线的几何性质；难点：双曲线的渐近线。
教学过程：(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出12222=-by a x 性质(范围、对称性、顶点) 1.范围：双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内.2.对称性：双曲线关于每个坐标轴和原点都对称，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫双曲线中心.3.顶点： 双曲线和它的对称轴有两个交点A1(－a,0)、A2(a,0)，它们叫做双曲线的顶点.线段A1A2叫双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长；线段B1B2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b,b 叫做双曲线的虚半轴长.4.渐近线①我们把两条直线y=±x ab 叫做双曲线的渐近线； ②从图可以看出，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与直线y=±x ab 逐渐接近. ③“渐近”的证明：先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为y=x a x ab (22->a). 设M(x,y)是它上面的点，N(x,Y)是直线y=x a b 上与M 有相同横坐标的点，则Y=x a b . ∵y=Y x ab x a x a b a x a b =-=- 222)(1 ∴)(22a x x a b y Y MN --=-=222222))((ax x a x x a x x a b -+-+--⋅=22a x x ab -+= 设MQ 是点M 到直线y=x ab 的距离，则MQ <MN ，当x 逐渐增大时，MN 逐渐减小，x 无限增大，MN 接近于O ，MQ 也接近于O.就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON 的下方逐渐接近于射线ON.在其他象限内，也可证明类似的情况.④等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.5.离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=ac ，叫双曲线的离心率. 说明：①由c>a>0可得e>1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.（三）例题探析：例题：求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.（四）小结：本课我们学习了双曲线的几何性质，要求：掌握双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率）；掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系。
双曲线的简单几何性质教案
课题：双曲线的简单几何性质（1）一．教学目标：1.知识与能力了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率.2.过程和方法通过观察、类比、探究来认识双曲线的几何性质.3.情感态度与价值观通过类比旧知识，探索新知识，培养学生学习数学的兴趣，探索新知识的能力, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系．二．教材分析：本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
三．学情分析：学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程，这节课将进一步研究、归纳出类似于椭圆的几何性质的双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）和双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。
通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系；同时对由方程讨论曲线性质的思想方法有更深刻的认识。
四．重点难点：重点：双曲线的简单几何性质难点：由双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程五．教学过程：1.导入新课：大家首先回顾一下双曲线的定义及其标准方程：（PPT ）在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率等）这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 2.学案反馈：通过批改学案来了解学生对本节新课的理解和掌握情况，并对学案反馈出的问题做课堂讨论和解决。
同时通过速记、提问方式加强记忆。
3.探究活动：通过阅读教材5856P P -,完成下表合作探究一：已知双曲线方程求性质.144169122近线方程顶点坐标、离心率、渐、焦点坐标、的实半轴长、虚半轴长：求双曲线例=-y x自主学习——组内展开讨论——展示——小组评价 .43,450,40,4-0,50,5-34191622x y a c e b a y x ±======-渐近线方程：离心率））、（顶点坐标（））、（焦点坐标（，虚半轴长可得实半轴长程解：把方程化为标准方类题通法：1.求双曲线性质时，应把双曲线方程化为标准方程，注意分清楚焦点位置，这样便于直接的写出a ，b 的数值，进而求出c 。
2.2.2 双曲线的简单几何性质
2．双曲线的渐近线 (1)求法：令常数项为零，因式分解即得． (2)用法：①由渐近线方程得到ba或ab的值；②利用渐近线方程设出 双曲线的方程． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b(虚半轴的长)． (4)等轴双曲线的渐近线方程为 y＝±x.
◎已知双曲线方程为 x2－y2＝1，双曲线的左支上一点 P(a，b)到 直线 y＝x 的距离是 2，求 a＋b 的值．
解析： OA＝a，OB＝b，AB＝c， 在△OAB 中，有12ab＝12·43c·c＝ 83c2， 又 a2＋b2＝c2，∴a2(c2－a2)＝136c4，即 e2－1＝136e4， ∴3e4－16e2＋16＝0，解得 e＝2 或 e＝233， ∵0<a<b，∴a2<c2－a2， ∴e> 2，∴e＝233应舍去，∴e＝2.
解析： 由双曲线方程 mx2＋y2＝1，知 m<0， 则双曲线方程可化为 y2－－x2m1 ＝1， 则 a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的 2 倍， ∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－14.
答案： －14
4．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为54，半虚轴长为 2.
• 2．2.2 双曲线的简单几何性质
• 第1课时 双曲线的简单几何性质
• 1.掌握双曲线的简单几何性质． • 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.
• 1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用，难点是渐近 线的理解和应用．
• 2.双曲线的几何性质是考查的重点，其中离心率、渐近线是考 查的热点．
[规范作答] 设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得 ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2，3 分 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， ∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.6 分 ∴c2－2ac－a2＝0，∴ac2－2×ac－1＝0.8 分 即 e2－2e－1＝0，∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去).10 分 所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.12 分
《双曲线的简单几何性质》教学设计
《双曲线的简单几何性质(一)》教学设计环县四中耿海龙一、教材分析1.教材中的地位及作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。
它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。
2.教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。
教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的基本几何性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。
根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。
（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质；②掌握双曲线标准方程中c,的几何意义，理解双曲线的渐近a,b线的概念；③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。
（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法及极限思想方法；②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。
3.重点、难点的确定及依据对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现（教科书在本节末的“探究与发现”栏目中，解释了“为什么by xa=±是双曲线22221x ya b-=的渐近线”供学生阅读参考）的接受、理解和掌握有一定的困难。
因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。
并借助多媒体用几何画板给学生动态演示了双曲线上点的移动过程，让学生直观感受了渐近线，学生也易接受。
人教版选修教案：双曲线的简单的几何性质(含答案)_1
§2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）【学情分析】：1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；【教学目标】：知识与技能1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；过程与方法1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；情感态度与价值观通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：双曲线的简单几何性质的运用【教学难点】：直线与双曲线的位置关系的求解技巧练习与测试：1．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.答案：1922=-y x 2．双曲线221x y -=的左焦点为F ，P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 答案：(,0)(1,)-∞⋃+∞解析：画出图形，利用数形结合法求解。
3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.解析：双曲线中，a =21=b ，∴F （±1，0），e =ac =2.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为22 ∴长半轴长为2，短半轴长为1.∴方程为22x +y 2=1.4. （1）试讨论方程（1－k ）x 2+（3－k 2）y 2=4（k ∈R ）所表示的曲线；（2）试给出方程622-+k k x +1622--k k y =1表示双曲线的充要条件.解：（1）3－k 2>1－k >0⇒k ∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆； 1－k >3－k 2>0⇒k ∈（－3，－1），方程所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆；1－k =3－k 2>0⇒k =－1，表示的是一个圆；（1－k ）（3－k 2）<0⇒k ∈（－∞，－3）∪（1，3），表示的是双曲线；k =1，k =－3，表示的是两条平行直线；k =3，表示的图形不存在.（2）由（k 2+k －6）（6k 2－k －1）<0⇒（k +3）（k －2）（3k +1）（2k －1）<0⇒k ∈（－3，－31）∪（21，2）. 5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A 14322=-y xB 13422=-y x C 12522=-y x D 15222=-y x 答案:D 解析设双曲线方程为2222221,7x y a b a b-=+=1122(,),(,)M x y N x y 分别代入双曲线方程并相减即可求解6.过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 答案：２7.已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（1）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（1） 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，B （x 0，OAO B ⋅＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：（1－k 2）x 2－2kbx －b 2－2＝0……………………1︒依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则222212221224k b 41k b 202kb x x 01k b 2x x 0k 1⎧⎪∆∙≥⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＝－（－）（－－）＋＝－＋＝－ 解得|k|>1又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2设中心为O ，正西的观测点为A ，正东的观测点为B ，正北的观测点为C ，以O 为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M 在AC 的中垂线上，且在以A 、B 为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC 的中垂线：y x =- ① 双曲线：2221680578000x y -= ②解①②得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴巨响位于西北方向，距中心为68m 。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。
二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。
2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。
三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。
2. 双曲线方程的求解。
四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。
2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。
3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。
4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。
5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。
2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。
3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。
2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。
3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。
五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。
2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。
3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。
4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。
5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。
4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
20-21版：2.2.2 双曲线的简单几何性质（创新设计）
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
_____________________________________________________ __________________________________________________
性
质 实轴和虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线 的虚轴
12
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【训练2】 根据条件，求双曲线的标准方程. (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同渐近线，且过点(－3，2 3)； (2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2). 解 (1)设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，
由题意可知（－93）2－（2163）2＝λ，解得 λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x92－y42＝1.
【迁移】 在例 3 中若直线 l 的方程为 y＝kx，并且直线 l 与双曲线x32－y22＝1 的两支
各有一个交点，求实数 k 的取值范围. 解 由x32－y22＝1，得(2－3k2)x2－6＝0，设直线与双曲线的交点坐标分别为(x1，y1)，
y＝kx
2－3k2≠0， (x2，y2)，由题意知Δx1＝x2＝24－（22－－633kk22＜）0＞，0，解得－ 36＜k＜ 36，即实数 k 的取值范围
9
课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为 y＝±12x，
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，则ba＝12.①
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a42－b92＝1.②
【数学】2.2.2《双曲线的几何性质》课件(新人教B版选修1-1)
y
B2
图 过 y 的 如 ,经 A, A 作轴 平 O F A A F x a 过 x 行 x=± ,经 B, B 作 线 B , 条 轴 平 线 =±b 四 直 的 行 y 线 成 个 形 . − ). 围 一 矩 (图 图 . − 矩 的 条 角所 的 形 两 对 线在 x y 几 画 实 可 看 直 的 程 ± = .由 何 板 验 以 线 方 是 a b x y , 曲 到双 线 − = 的 支 处 伸 ,与 两 各 向 延 时 这 a b
. .
曲 的 单 何 质 双 线 简 几 性
比 圆 何 质 研 方 ,我 根 类 椭 几 性 的究 法 们 据 曲 的 准 程 双 线 标 方 x y − = (a> ,b> a b 研 它 几 性. 究 的 何 质
)
()
思 类 椭 几 性 的究 认 考 比 圆 何 质 研,你 ,你 为 研 双 线 应 究 曲 x y − = (a> ,b> ) 的 些 质 哪 性 ? a b 如 研 这 性? 何 究 a 所表示的区域内.
称 对 性
x y 类 研 椭 比 究 圆 + = a b (a>b> ) 对 性 方 , 称 的 法 易 到 曲 关 x 轴 容 得 ,双 线 于 、 y轴 原 都 对 的 和 点 是 称 .这 , 标 是 曲 的 时坐 轴 双 线 对 轴 点 双 线 对 称 ,原 是 曲 的 称
F1
y
B2
b O a
N Q M
A1 B1
A2
F2
x
所以 | MN |= Y − y = b x− x −a a
(
b x− x −a x+ x +a ab . = ⋅ = a x+ x +a x+ x +a b 设 | MQ | 是点M到直线y = x的距离, 则 | MQ |<| MN | . a
人教课标版高中数学选修1-1《双曲线的简单几何性质》教学设计
选修1-12.2.2双曲线的简单几何性质一、教学目标 1.核心素养培养直观想象、逻辑推理、数学建模、数据分析素养 2.学习目标（1）类比椭圆的性质，能根据双曲线的标准方程，了解它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长、虚轴长等）．（2）理解渐近线和离心率的定义、范围，掌握参数,,,a b c e 间的关系 （3）能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题． （4）了解直线与双曲线的位置关系 3.学习重点双曲线的几何性质． 4.学习难点双曲线性质的应用，渐近线的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务 任务1预习教材4953P P - ，类比椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的哪些性质?如何研究这些性质? 任务2 完成53P 的练习 2.预习自测1.已知双曲线2213x y m m-=的一个焦点为()2,0，则此双曲线的实轴长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23 答案：C解析：考查双曲线简单几何性质.2. .已知双曲线()222103x y a a -=>的离心率为2，则a =（ ） A ．2 B ．62C ．52D ．1 答案：D解析：考查双曲线简单几何性质.3.椭圆222134x y n +=和双曲线222116x y n -=有共同的焦点，则双曲线的离心率为（ ） A ．415B ．53C ．43D ．不能确定 答案：B解析：考查双曲线简单几何性质. （二）课堂设计 1.知识回顾1.焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()12,0,,0F c F c -，其中222c a b =+；2.焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>，焦点()()120,,0,F c F c -其中222c a b =+.3.()0l y kx b C F x y 直线:,与圆锥曲线:,=+=相交于1122()()A x y B x y ,,,两点,则：222121212114AB k x x k x x x x =+-=+(+)- 或21212122211114AB y y y y y y k k=+-=+(+)- 2.问题探究问题探究一 双曲线的几何性质根据双曲线的标准方程()222210,0x y a b a b-=>>研究它的性质1．（1）从形的角度看：双曲线位于直线x a =和x a =-的外侧，即在不等式x a ≤-与x a ≥所表示的平面区域内.（2）从数的角度看：利用方程研究，双曲线上点的坐标满足222210x y a b -=≥，故22x a ≥，即x a ≤-或x a ≥；这说明双曲线在不等式x a ≤-或x a ≥与所表示的平面区域内.2. （1）从形的角度看：双曲线与椭圆一样，既是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在双曲线方程中，以－x 、－y 代替x 、y 方程不变，因此双曲线是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图象；也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心叫做双曲线的中心.3．双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的顶点是(,0)a ±，这两个顶点之间的线段叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ,同时在另一条对称轴上作点()()120,,0,B b B b -，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，a 、b 分别是双曲线的实半轴长和虚半轴长． 4. 双曲线()222210,0x y a b a b -=>>各支向外延伸时，与两条直线y ＝±b a x 逐渐接近，但永不相交，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，方程为y ＝±ba x. 5．双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1,)+∞．问题探究二 能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题例1.求双曲线22194x y -=的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．【知识点：双曲线的几何性质】详解：222229,4,13,3,2,13a b c a b a b c ===+====， 顶点()()123,0,3,0A A -，焦点()()1213,0,13,0F F -，实轴长26a =，虚轴长24b = 离心率133c e a ==， 在方程22194x y -=中将1换成0，得22094x y -=，即032x y±=． ∴23y x =±为双曲线的渐近线方程．变式引伸：已知双曲线的渐近线方程为43y x =±，并且焦点都在圆22100x y +=上，求双曲线方程．解法一：（1）当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22221x y a b-=，因为渐近线方程为43y x =±，则43b a =．又由焦点在圆22100x y +=上知10c =，所以222100a b c +==，可求得6a =，8b =．所求双曲线方程为2213664x y -=． （2）当焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22221y x a b-=．由题设得22210043a b c a b ⎧+==⎪⎨=⎪⎩，解得：8,6a b ==．焦点在y 轴上时，双曲线方程为2216436y x -=． 综上所述，所求双曲线方程为2213664x y -=或2216436y x -=． 解法二：因为双曲线的渐近线方程为43y x =±．设双曲线方程为222234x y λ-=(0)λ≠． 又焦点都在圆22100x y +=上，所以2100c =．则22(3)(4)100λλ+=．解得4λ=±．所求双曲线方程为2222434x y -=±．即：2213664x y -=±． 点拔：双曲线与其渐近线的关系是：以0x ya b±=为渐近线的双曲线系方程为2222(0)x y a b λλ-=≠；双曲线2222(0)x y a b λλ-=≠的渐近线方程为0x y a b±=． 例2.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】详解：设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有：22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 点拔：与双曲线22221x y a b-=有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠的形式．当λ的值为正时，焦点在x 轴上，为负时焦点在y 轴上．例3.设双曲线22221x y a b-=(0)a b <<的半焦距为c ，直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解：由直线l 过(,0)(0,)a b 、两点，得l 的方程为0bx ay ab +-=． 由点到l 的距离为34c ，得2234ab c a b=+．将22b c a =-代入，平方后整理得：2222216()1630a a c c -⨯+=．令22a x c=，则：2161630x x -+=，解得34x =或14x =． 由ce a =得，1e x =．故233e =或2e =． 因为0a b <<，故222212c a b b e a a a+===+>．所以应舍去233e =． 故所求离心率为2e =．点拔：此题易得出错误答案2e =或233e =，其原因是未注意到题设条件0a b <<，从而离心率2e >，而2323<，应舍去． 问题探究三 直线与双曲线的位置关系1.设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，联立方程得22221y kx m x y a b =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并化简()22222222220b a k x a mkx a m a b ----=①当2220b a k -=，即bk a =±时，直线与渐近线平行，则直线与双曲线只有一个公共点.②当2220b a k -≠，即bk a ≠±时，0∆>⇔直线与双曲线相交⇔直线与双曲线有两个公共点； 0∆=⇔直线与双曲线相切⇔直线与双曲线有且只有一个公共点 0∆<⇔直线与双曲线相离⇔直线与双曲线无公共点 2.弦长问题设直线方程为y kx m =+，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>于点()()111222,,P x y P x y 两点，则()()22121212PP x x y y =-+-()221212121y y x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=-+ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()22121x x k =-+2121k x x =+-()22121214kx x x x =++-同理可得1212211PP y y k =+-()212122114y y y y k=++-()0k ≠3.双曲线的通径过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线截得的弦称为双曲线的通径，通径长为22b a.例4.过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】详解一：设A 、B 的坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y ．则：221144x y -= ①222244x y -= ②①－②得：12121212()()4()()0x x x x y y y y +--+-=．∵Ｐ是线段AB 的中点， ∴121216,2x x y y +=+= ． ∴1212121224()y y x xx x y y -+==-+．∴直线AB 的斜率为2． ∴直线AB 的方程为12(8)y x -=-． 即2150x y --=．详解二：设A (,)x y ，则B (16,2)x y --． ∵A 、B 为双曲线上的点， ∴2244x y -= ①22(16)4(2)4x y ---= ②①－②得2321616160x y --+=． 整理得2150x y --=．例5.已知曲线C ：221x y -=及直线l ：1y kx =-． （1）若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若l 与C 交于A 、B 两点，O 是原点，且△OAB 的面积为2，求实数k 的值．【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系】 详解：(1)曲线Ｃ与直线l 有两个不同的交点．则方程组2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩有两个不同的解，整理得：22(1)220k x kx -+-=，此方程必有两个不等的实根1x 、2x ．∴22210△48(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩． 解得22k -<<且1k ≠±时，曲线C 与直线l 有两个不同的交点． (2)设交点A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，直线l 与y 轴交于点D （0,－1）．∴1221222121k x x k x x k -⎧+=⎪⎪-⎨-⎪⋅=⎪-⎩． ∵△△△121()2OAB OAD OBD S S S x x =+=+12122x x =-=．∴2212()(22)x x -=， 即22228811k k k-⎛⎫+= ⎪--⎝⎭．解得0k =或62k =±． 又∵22k -<<且1k ≠±，∴0k =或62k =±时，△OAB 的面积为2． 3.课堂总结 【知识梳理】椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系双曲线的几何性质与椭圆的几何性质有不少相同或类似之处，要注意它们的区别与联系，不能混淆，列表如下 椭圆双曲线方程()2222+10,0x y a b a b=>> ()222210,0x y a b a b-=>> 图形范围 b y a ≤≤||,|x | R y a x ∈≥,||对称性对称轴：x 轴、y 轴对称中心：原点对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点 轴长 ,0,0(0,)0,a a b b （）、（）、（）--长轴长2a ，短轴长2b,0,0a a （）、（）-实轴长2a虚轴长2b离心率 ,(01)ce e a=<< ,(1)ce e a=>渐近线无 有两条，其方程为b y x a=±【重难点突破】 1．双曲线的渐近线(1)对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线的特有性质，画双曲线时应先画出它的渐近线．(2)要明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线．(3)“渐近”两字的含义：当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的．(4)根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法：把标准方程中“1”用“0”替换得出的两条直线方程，即双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 即by x a =±；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22220y x a b -=，即a y x b=±. (5)渐近线是刻画双曲线的一个重要概念，根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为ny x m=的双曲线方程可设为：2222(0);x y m n λλ-=≠如果两条渐近线的方程为0Ax By ±=那么双曲线的方程可设为2222(0);A x B y m m -=≠与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线方程可设为.02222）（≠=-λλby a x 2．双曲线上两个重要的三角形(1)实轴端点、虚轴端点及对称中心构成一个直角三角形，边长满足222c a b =+称为双曲线的特征三角形．(2)焦点,F 过F 作渐近线的垂线，垂足为D ，则||,||,||,OF c FD b OD a OFD Δ===|亦是直角三角形，满足,||||||222OD FD OF +=也称为双曲线的特征三角形． 3．学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率1e >；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a b c e 、、、的等量关系与椭圆中a b c e 、、、的不同． 4.随堂检测1.已知双曲线221ax y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =（ ）A ．14-B ．4-C ．4D ．14答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线相互垂直，则双曲线的离心率为（ ）A．3 B．2C．5 2D．2 2答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆2212516x y+=的长轴端点、焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A．430x y±=B．340x y±=C．450x y±=D．540x y±=答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】4. 过双曲线2212yx-=的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若4AB=，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条．答案：C解析：【知识点：双曲线的几何性质，直线与双曲线的标准方程及几何性位置】5. 已知,,,a b c分别为双曲线的半实轴长、半虚轴长、半焦距，且方程20ax bx c++=无实根，则双曲线离心率e的取值范围是()A ． 152e <<-B ．12e <<C ．13e <<D ．152e <<+ 答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】 由已知，04b 2<-=∆ac2222c 40,()4()10,410.c ca ac e e a a ∴--<∴--<--<即2525,1,125e e e ∴-<<+><<+又故.（三）课后作业 基础型 自在突破1.双曲线221916x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A.3 B.3 C.4 D.2 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22144x y -=B ．22144y x -=C ．22148y x -=D ．22184x y -= 答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．双曲线与椭圆2211664x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线为y x =-，则双曲线的方程为（ ） A ．2296x y -= B ．22160y x -= C ．2280x y -=D ．2224y x -= 答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，椭圆的几何性质】4．中心在原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为（ ）A ．54y x =±B ．45y x =±C ．43y x =±D ．34y x =±答案：D解析：【知识点：双曲线的几何性质】5. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A. 22154x y -=B.22145x y -= C.22136x y -=D. 22163x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，圆的几何性质】6．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两焦点分别为12F F 、，以12F F 为边作等边三角形，若双曲线恰平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为( ) A ．1＋ 3B ．4＋2 3C ．23－2D ．23＋2解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】 答案：A 能力型 师生共研7．设12F F 、分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( ) A ．450x y ±= B ．340x y ±= C ．430x y ±= D ．540x y ±= 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】8.双曲线221x y -=与直线y kx =没有公共点，则k 的取值范围是______________． 答案： 11k k ≤-≥或解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】9.设1a >，则双曲线()222211x y a a -=+的离心率的取值范围是_________. 答案：25e <<解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】10.求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(3,23)M -的双曲线的方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为22(0)916x y λλ-=≠，由于双曲线过点(3,23)M -，有： 22(3)(23)19164λ-=-=．故双曲线方程为2219164x y -=，即：221944x y -=． 探究型 多维突破11. 已知F 1和F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 在双曲线右支上，且124PF PF =，求双曲线的离心率的取值范围． 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】点P 在双曲线右支上，故有1212||||2,||4||,PF PF a PF PF 又-==所以21121228||,||.||||||,33a aPF PF PF PF F F ==+≥当且仅当三点共线时取等号．所以28102,333a a a c +=≥即53c a ≤，双曲线的离心率1e >.所以双曲线离心率的取值范围为]351，（.12. 设双曲线C ：2221x y a-=（0a >）与直线l ：1x y +=相交于不同的两点A 、B ．(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围； (2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且512PA PB =．求a 的值． 答案：见解析解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】(1)由C 与直线l 相交于不同的两点A 、B 得方程：22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解．消去y 并整理得2222(1)220a x a x a -+-=． ①所以22221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩解得02a <<且1a ≠． 双曲线的离心率22111a e a a +==+． ∵02a <<且1a ≠，∴62e >且2e ≠． (2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(0,1)P ．∵512PA PB =， ∴11225(,1)(,1)12x y x y -=-由此得12512x x =．由于1x 、2x 是方程①的两根，且210a -≠，所以222172121a x a =--，222252121a x a=--． 消去2x 得222289160a a -=-， 由0a >得1713a =．(四) 自助餐1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是（ ） A ．3y x =±B ．13y x =±C ．3y x =±D ．33y x =± 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】2． 已知点P 在双曲线221916x y -=上，则P 到双曲线焦点距离的最小值是（ ）A ．9B ．3C ．2D ．无最大值和最小值 答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】3．经过点1(,2)2P 且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线有（ ）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案：A解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】4. 若双曲线221x y -=的右支上一点(,)P a b 到直线y x =的距离为2，则a b +的值为（ ）A ．12-B．1 2C．1 2±D．2±答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】5. 双曲线2214x yb+=的离心率e∈(1,2)，则b的取值范围是（）A．012b<<B．102b-<<-C．120b-<<D．80b-<<答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】6．已知双曲线22221x ya b-=(0,0)a b>>的离心率152e+=，A与F分别是左顶点和右焦点，B点的坐标为(0,)b，则∠ABF等于（）A．120B．90C．60D．30答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】7.若过双曲线2213yx-=的右焦点2F，作直线l与双曲线的两支都相交，则直线l的倾斜角α的取值范围是______________.答案：233,,⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭πππ解析：【知识点：直线与双曲线的位置关系】8.双曲线221169x y -=上有点P ，1F 、2F 是双曲线的焦点，且123F PF π∠=，则△12F PF 的面积是__________． 答案：93解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】9．已知PQ 为过双曲线的一个焦点F 且垂直于实轴的弦，F '是另一个焦点，若90PF Q '∠=，则双曲线的离心率为__________．答案：12+解析：【知识点：双曲线的几何性质】10.若双曲线的渐近线方程为230x y ±=，且两顶点间的距离为6，求该双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质】设所求双曲线方程为()22094x y λλ-=≠ 分00λλ><与讨论，焦点在x 轴上双曲线标准方程为22194x y -=，焦点在y 轴上双曲线标准方程为2241981y x -= 11．已知双曲线的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(4,10)-．（1）求此双曲线的方程；（2）若直线系30kx y k m --+=（k 为参数）所过定点Ｍ恰在双曲线上，求证：12F M F M ⊥．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 ①2222222212c a b b e a a a +===+=， ∴1b a=．设双曲线的方程为22x y λ-=． ∵点(4,10)-在双曲线上，∴24106λ=-=．∴双曲线的方程为：226x y -=．②证明：直线系方程为：(3)()0k x m y -+-=过定点(3,)M m ．∵M 在双曲线上，∴2236m -=， ∴3m =±．∴(3,3)M ±． 又∵双曲线的焦点为1(23,0)F -、2(23,0)F ．∴121F M F M k k ⋅=-， ∴12F M F M ⊥．12．已知直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．（1）若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值；（2）是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的标准方程及几何性质，直线与椭圆的位置关系】 （1）由22131y ax x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得： 22(3)220a x ax ---= ①依题意得：230△0a ⎧-≠⎨>⎩，解得：66a -<<且3a ≠± ②设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则：1221222③32④3a x x a x x a ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪•=⎪-⎩∵以AB 为直径的圆过坐标原点．∴OA ⊥OB ． ∴12120x x y y += ⑤2121212()1y y a x x a x x =+++．由③④⑤得：22222(1)1033a a a a a -+⋅+⋅+=--． 解得1a =±满足②∴1a =±(2)假设存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称．则直线1y ax =+与12y x =垂直． ∴112a ⋅=-，即2a =-．直线l 的方程为21y x =-+． 将2a =-代入③得124x x +=．∴A 、B 中点的横坐标为2，纵坐标为2213y =-⨯+=-．但A 、B 中点（2，－3）不在直线12y x =上． 故不存在实数a ，使A 、B 两点关于直线12y x =对称． 三、 数学视野回顾椭圆定义的拓展，我们在教材第46页双曲线标准方程的推导过程中，对()()2222x c y x c y a ++--+=±和()()22222222c a x a y a c a --=-分别进行变形整理，类似可以得到.双曲线的第二定义：点P 满足,1,PF e e F l d=>∉，则P 点的轨迹为椭圆.其中F 为定点，l 为定直线，e 为离心率，d 为点P 到直线l 的距离.双曲线的第三定义：点P 满足21,1PA PB k k e e ⋅=->，则P 点的轨迹为椭圆，其中,k k分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离心率. PA PB。
双曲线的简单几何性质(一) 精品教案
（1）双曲线的定义和标准方程？
（2）椭圆有哪些简单几何性质？（填表）
2、引入
类比椭圆的简单几何性质，猜想双曲线有哪些简单几何性质？
（三）类比探究，研究性质
以方程 为例研究双曲线的简单几何性质
1、范围：
提问：类比椭圆如何研究其范围？
（幻灯片）
2、对称性：
提问：看图可知其有怎样的对称性？
（幻灯片）对称性：双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.
七、教学过程：
(一)欣赏美图，引出课题
提问：在以上图片中，有没有我们所熟悉的数学图形？
要想运用双曲线的知识做出精美的物品或建造如此宏伟的建筑物，光掌握双曲线的定义和标准方程是远远不够的，我们还有了解更多双曲线的知识，这节课我们就一起来学习《双曲线的简单几何性质》。（引导学生类比探究、交流归纳、总结提升，并充分利用多媒体辅助教学。
六、学法指导
在教师的组织引导下，从学生已有的知识和生活经验出发，让学生经历知识的形成过程。使学生真正成为学习的主体。通过阅读教材，以恰当的问题为纽带，给学生创设自主探究、合作交流的空间，让学生在参与中获得知识，发展思维，感悟数学。
（2）椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性？《几何画板》演示
5、渐近线：
从学生曾经学习过的反比例函数入手，它的图像是双曲线，当双曲线伸向远处时，它与x、y轴无限接近，此时x、y轴是 的渐近线。
提问：双曲线 有没有渐近线？渐近线方程是什么？《几何画板》演示
二、学情分析
在本节课之前，学生已经学习了椭圆的简单几何性质、双曲线及其标准方程，有了一定的知识储备，并且具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，可以更好的在教师的引导下通过观察、类比、思考、归纳完成本节课的学习内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）
课型：新授课 时间： 月 日
学习札记
◇预习目标◇
1、掌握双曲线标准方程中a 、b 、c 、e 之间的关系；
2、了解双曲线的渐近线的概念和证明；
3、尝试用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质。
◇问题引导，自我探究◇
以双曲线标准方程122
22=-b
y a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？
2．对称性： 是双曲线的对称轴， 是双曲线122
22=-b
y a x 的
对称中心，双曲线的对称中心叫做 。
3．顶点：双曲线和x 轴有两个交点是 ，他们是双曲线
122
22=-b
y a x 的顶点。
4．渐近线：他们是如何确立的？
◇自学测试◇
1、 叫做等轴双曲线；等轴双曲线的渐近线是 。
2、双曲线的离心率是
3、求双曲线2
2
916144y x -=的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程。
◇自学感悟◇
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（一）
课型：新授课时间：月日学习札记〖学习目标及要求〗：
1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点
等几何性质，并熟记之；；
（2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；
（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决
简单问题。
2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗： 一、预习反馈:
二、探究精讲:
以双曲线标准方程122
22=-b
y a x 为例进行说明双曲线的顶点、渐近
线和离心率。
1、顶点：在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所
以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点
)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线
12
2
22=-b y
a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，
感悟一：
这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线1
22
22=-b y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
在初中学习反比例函数x
k
y =
时提到x 轴y 轴都是它的渐近线。
高中三角函数tan y x =，渐近线是)(2
Z k k x ∈+=π
π。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。
3、离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e =a
c
，叫双曲线的离心率. 说明：①由c >a >0可得e >1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
探究二：
课本51页例3
双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（见课本），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高55m ，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）。
探究三：
例3．求与双曲线2
2
44x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程。
三、感悟方法练习：
感悟二：
感悟三：
1、双曲线的性质：
椭 圆
双 曲 线
不 同 点
标准方程 图 象 范 围 对 称 性 顶 点 渐 近 线
1、 课本58P 练习第1，2题
〖备选习题〗：
A 组
1、求与双曲线2
2
44x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程。
B 组
1. 双曲线122
22=-b
y a x 的离心率为1e ，双曲线12222-=-b y a x 的离
心率为2e ，则21e e +的最小值是（ ）
A ．2
B ．2
C ． 22
D ．4
2. 求证：双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22
221x y a b
-=有
共同的渐近线。
课题：2.2.2双曲线的几何性质（一）
☆要点强化☆班级姓名
1.双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线；
2.双曲线的渐近线的概念。
☆当堂检测☆
1. 07宁夏理
已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心
率为 ． 2. 求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； ⑵焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上； ⑶离心率2e ()5,3M -；
⑷两条渐近线的方程是23y x =±，经过点9,12M ⎛⎫
- ⎪⎝⎭。
(选作题)
已知双曲线的中心在坐标原点，焦点12,F F 在坐标轴上，离心率为
2，且过点
(4,10)，
（1）求双曲线方程；
（2）若点(3,)M m 在双曲线上，求证：12MF MF ⊥；
（3）求12F MF ∆的面积。
☆学习心得☆。