第12章 回归分析[研究材料]

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第二节 最小平方法
最小平方法（Least squares method）， 也称最小二乘法，是将回归模型的方差之 和最小化，以得到一系列方程，从这些方 程中解出模型中需要的参数的一种方法。
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（一）画散点图，以初步观察成本与乘客 数量之间是否呈回归直线。
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指标是测定系数，（又称可决系数、判定
系数）。
该指标是建立在对总离差平方和进
行分解的基础之上的。
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离差分解图
y
(xi , yi )
{ } y yˆ
yy
}yˆ y
yˆ ˆ0 ˆ1x
y
离差分解图
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x
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离差平方和的分解
y y ( yˆ y) ( y yˆ ) （12.9）
第十二章 回归分析
学习目标 掌握简单线性回归模型基本原理。 掌握最小平方法。 掌握测定系数。 了解模型假定。 掌握显著性检验 学会用回归方程进行估计和预测。 了解残差分析。
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习题
1. P370-1 2. P372-7 3. P380-18
4. P380-20 5. P388-28 6. P393-35
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一、从一个实际问题入手
用回归分析可以预测运行一条商业航空 线的成本吗？
如果可以，那么哪些变量与这一成本有 关呢？
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飞机型号
飞行距离 乘客数量
行李或货物重量
飞机运行成本
天气状况
……
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为了减少自变量个数，我们做如下假定：
飞机类别——波音737飞机 飞行距离——500公里 航线——可比，而且在每年的相同季节 在这种条件下，可以用乘客数来预测飞行
时，因变量 y 平均变化的量。
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三、估计回归方程
估计回归方程（Estimated regression equation） 就是用样本统计量作为参数的估 计值所建立的回归方程。
yˆ b0 b1x
yˆ ：y 的估计值
（12.4）
b0 ：0 的估计值
b1 ： 1 的估计值
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第一节 简单线性回归模型
只涉及两个变量（一个自变量和一 个因变量）之间关系的回归分析称为简
单回归分析（Simple regression analysis）。
两个变量之间的关系大约呈一条直
线的简单回归分析称为简单线性回归分
析（Simple linear regression analysis）。
两端平方后求和有
yi y2 yˆi y2 yi yˆ 2 （12.10）
{ { {
总离差平方和 （SST）
回归平方和 （SSR）
残差平方和 （SSE）
R2 SSR ( yˆi y)2 1 ( yi yi )2
SST (yi y)2
( yi y)2
（12.11）
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b1
xi yi x y
x2
2
nx
b1
n
xi yi n x2
xi yi x2
12.7a 12.7b
b0 y b1 x （12.8）
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b1
n
xi yi n x2
xi yi x2
12 4462.220 930 56.690
12 73764 9302
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yˆi 1.570 0.0407 70
4.419千元
**Y = 4.48千元二者差0.061千元或61元。
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第三节 一元线性回归方程的评价
测定系数 估计标准误差
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一、测定系数
回归直线与各观测数据的接近程度 称为回归直线的拟合优度。
度量回归直线的拟合优度最常用的
0.0407
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b0 y b1 x
n
y
b1
n
x
56.690 0.0407 930
12
12
1.570
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（四）将b0和 b1 的计算结果代入式
（12.5）有：
yˆi 1.570 0.0407 xi
结论：
计算结果表明，在其他条件相同情况下， 12条航线上波音737飞机各条航线每次飞行时 每增加1名乘客，将会使飞行成本平均增加 40.70元。
0、1 ：参数
：误差项（随机变量），含义为说明在 y
中不能被x 和y 之间线性关系解释的变异
性。
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在有关 假设中，有一个假设就是的
期望值或均值等于0，即
E 0
（12.2）
如果简单线性回归模型满足了这个条
件，那么就意味着 y 的均值或期望值就是
一个线性函数。
描述 y 的均值与 x 的关系如何的方
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（二）建立估计回归方程
yˆi b0 b1xi i 1，2，，12 （12.5）
最小平方法运用样本数据求出 b和0
使得因变量的实际观察值 与其yi 估计值
的b1 值，
之
yˆi 差的平方和最小，即
yi yˆi 2 min
（12.6）
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(三)估计回归方程斜率和截距的计算公式
的成本吗？
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表12-1是每年相同季节波音737飞机在 12条500公里的不同航线不同乘客数时的飞 行成本。我们用这些数据以乘客数作为自 变量构造模型来预测成本。
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二、回归模型和回归方程
y 0 1x
y ：因变量（随机变量）
x ：自变量（给定变量）
（12.1）
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案例讨论： 1.这个案例都告诉了我们哪些信息？
2.通过阅读这个案例你受到哪些启发？
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根据一个变量（或更多变量）来估计 某一变量的方法，统计上称为回归分析 （Regression analysis）。
回归分析中，待估计的变量称为因变 量（Dependent variables），用y表示；用来 估计因变量的变量称为自变量 （Independent variables），用x表示。
程称为回归方程（Regression equation）。
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E y 0 1x （12.3）
在简单线性回归中 1.回归方程的图形是一条直线（如图12.1
所示）；
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2. 0 ：y 的截距；
3. 1：斜率（回归系数）； 1 的含义：当自变量 x 给定一个具体变动值
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决定系数的取值
R2的取值范围是[0，1]。 R2越接近于1，表明回归平方和占总离差
平方和的比例越大，回归直线与各观测点 越接近，回归直线的拟合程度就越好。