第13讲哈密顿算子1
哈密顿算子
2 A
2 x2
2 y 2
2 z 2
Axex Ayey Azez
2 Ax x2
2 Ax y 2
2 Ax z 2
ex
2 Ay x2
2 Ay y 2
2 Ay z 2
ey
2 Az x2
2 Az y 2
2 Az z 2
ez
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
ex
y ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x ex y ey z ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex
ey
ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
(1). R R R R R
R
R
(2).
1 R
1 R
R R3
分析：本题要注意算符 和算符 的区别，其中 是对场 点作用，而 是对源点作用，即
x
ex
y
ey
z
ez
x
ex
y
ey
z
ez
常用矢量关系式，要记住
题3. 设 R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2 为源点 r 到场 点 r 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点，证明下列 结果：
哈密顿算子
哈密顿算子—矢量微分算子
x
哈密顿算子
AdS ( A)dv
27. Stokes 公式
Adl ( A)dS
l S
例1 已知 求
ur ) (
u 3x sin yz , r xi y j zk
解 由公式10知 ur ) u u ( r r 3 r u 3sin yzi 3xz cos yz j 3xy cos yzk 3(sin yzi xz cos yz j xy cos yzk ) ur ) 9x sin yz 3x sin yz 3xyz cos yz 3xyz cos yz (
2 2 2 A rot A (2z 2x y)i (3xz 0) j (4xyz 0)k (2z 2 2x2 y)i 3xz 2 j 4xyzk
A
M
(2 4)i 3 j 8k 6i 3 j 8k
15. u) u u ( u 为调和量 16. (u) 0 17. A) 0 (
下面公式中 r 0 19. r r r 22. f (u) f (u)u
r xi y j zk , r r 20. 3 r 21. r 0
l S
例4 验证 Green 第一公式
S (u v)dS (vu vu)dV 与第二公式 (uv vu )dS (uv vu )dV
S
证明：由 Gauss 公式
AdS (A)dV 取 A u v ，用公式10
证毕.
哈密顿算子
(13) g(A B ) B g( A) A g( B )
(14) (A B ) (B g ) A (A g) B B ( gA)
A ( gB )
(15) g( u)= 2u u （其中Δu为调和量） (16) ( u)= 0
(17) g( A)= 0
如下的一个数性微分算子
A
g
r ( Axi
Ay
r j
r r Azk )g i
x
r j
y
r k
z
Ax
x
Ay
y
Az
z
,
它既可作用在数性函数u（M）上，又可作用在
矢性函数B（M）上。如
A
g
u
Ax
u x
Ay
u y
Az
u z
,
A
g
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ax
B x
Ay
B y
Az
B z
,
应当注意这里 A g 与 gA 是完全不同的。
证
(uv)
r i
x
r j
y
r k
z
uv
r i
(uv)
r j
(uv)
r k
(uv)
x
y
z
(u
v
v
u
r )i
(u
v
v
u )
r j
x x
y y
(u
v
v
u
r )k
z z
u
v x
r i
v y
r j
v z
r k
v
u x
r i
u y
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子运算公式及推导
哈密顿算子（HamiltonianOperator）是物理系统的动能和位能的组合，通常被认为是物理系统本质由来的参数，用来描述物理系统的性质（物理量）。
2. 公式及推导
哈密顿算子可以用如下公式表示：
H=Hp+Hk
其中，Hp 为位能，Hk 为动能。
（1）位能Hp：一般地，位能公式可以写成
Hp=- 2
它表示的是物体的力学位能，具有空间变化的粒子受到的力学位能，表示为几何位能。
（2）动能Hk：动能Hk 可以用牛顿动力学的方法推导出，用来描述物体受到的动能，即速度的平方加上位移的有关量，即：
Hk=1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
其中，m 为物体的质量，x，y，z 分别为物体的X，Y，Z 轴坐标。
所以，将上面两个公式相加，得到的哈密顿算子公式可以表示为： H=- 2+1/2m*(2/x 2+2/y 2+2/z 2)
以上就是哈密顿算子运算公式及推导的介绍，哈密顿算子是物理系统本质由来的参数，可以用来描述物理系统的性质，是物理实验中经常用到的重要参数。
哈米尔顿算子公式
哈米尔顿算子公式哈米尔顿算子公式，这可是个在数学和物理学中相当重要的概念呢！咱先来说说啥是哈米尔顿算子。
它通常用符号“▽”来表示，这就像是数学世界里的一把神奇钥匙，可以打开好多知识的大门。
哈米尔顿算子的定义是这样的：对于直角坐标系 (x, y, z) ，哈米尔顿算子▽ = (∂/∂x)i + (∂/∂y)j + (∂/∂z)k 。
这里的 i、j、k 分别是 x、y、z方向的单位向量，而∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 则表示对相应变量的偏导数。
举个例子吧，有一次我在给学生讲这个的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起一个地球仪，跟他们说：“你们看啊，就好比这个地球仪，我们想知道地球上某个点的温度变化，这个哈米尔顿算子就能帮我们搞清楚温度在不同方向上的变化情况。
” 那孩子眨眨眼睛，好像有点懂了。
再来说说哈米尔顿算子公式在物理学中的应用。
在电场和磁场的研究中，它可是大显身手。
比如在静电学中，电场强度 E 和电势 V 之间就有▽×E = 0 和▽V = -E 这样的关系。
而且啊，在流体力学里，它能帮助我们描述流体的速度场。
想象一下水流在河道里奔腾的样子，哈米尔顿算子就能告诉我们水流在各个方向上的变化速度。
在量子力学中，哈米尔顿算子更是核心角色。
它与能量联系紧密，通过薛定谔方程，我们能更好地理解微观世界中粒子的行为。
我还记得有一次，我带着学生们做实验，通过一些简单的仪器和数据，让他们亲自感受哈米尔顿算子在实际中的应用。
看着他们从最初的懵懂到后来的恍然大悟，那种成就感真的没法形容。
总之，哈米尔顿算子公式虽然看起来有点复杂，但它在数学和物理学中的作用可不容小觑。
只要我们用心去理解，就能发现它的奇妙之处，就像在知识的海洋里找到了珍贵的宝藏。
希望大家通过我的讲解，能对哈米尔顿算子公式有更清晰的认识，也能在探索知识的道路上越走越远！。
哈密顿算子在物理中的应用
哈密顿算子在物理中的应用哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
本文将介绍哈密顿算子的定义和性质，并探讨其在物理中的应用。
一、哈密顿算子的定义和性质哈密顿算子是量子力学中的一个算符，通常用H表示。
它的定义如下：H = T + V其中，T是动能算符，V是势能算符。
动能算符描述了粒子的运动状态，势能算符描述了粒子所处的势能场。
哈密顿算子的本征值和本征函数分别表示了系统的能量和相应的态。
哈密顿算子具有以下性质：1. 哈密顿算子是厄米算子，即H† = H。
这意味着它的本征值是实数，本征函数之间是正交的。
2. 哈密顿算子是线性算子，即对于任意的常数a和b，有aH + bH = (a + b)H。
3. 哈密顿算子是可观测量的算符，即它的本征值可以通过实验进行测量。
二、哈密顿算子在量子力学中的应用1. 薛定谔方程哈密顿算子在薛定谔方程中起着重要的作用。
薛定谔方程描述了量子力学中粒子的运动状态，它的一般形式为：Hψ = Eψ其中，ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的能级和相应的波函数。
2. 能级结构哈密顿算子的本征值表示了系统的能级，而本征函数表示了相应的态。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能级结构。
这在原子物理学和固体物理学中有着重要的应用。
3. 动力学演化哈密顿算子还可以用来描述系统的动力学演化。
根据薛定谔方程，系统的波函数随时间的演化可以通过哈密顿算子进行描述。
这在量子力学中有着重要的应用，例如描述粒子在势能场中的运动。
4. 算符的期望值哈密顿算子还可以用来计算算符的期望值。
对于任意的算符A，其在态ψ下的期望值可以表示为：< A > = < ψ | A | ψ >其中，| ψ > 表示态ψ，< ψ | 表示其共轭转置。
通过计算算符的期望值，可以得到系统的物理量的平均值。
三、结论哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
哈密顿算子与梯度、散度、旋度资料
u x
i
u y
j
u z
k
grad u
(2) A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k, 则
A
P x
Q y
R z
div A
i jk
A
x
y
z
rot A
P QR
➢对矢量场，在笛卡尔坐标系下其旋度定
义为： r i
r
r
jk
r
V
x y z
Vx Vy Vz
Vz
y
Vy
z
r i
Vx z
Vz x
r Vy
j
x
Vx
r k
y
➢对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设u u(x, y, z), 则
u
• 矢量性
• 微分算子
• 只对于算子▽ 右边的量发生 微分作用
例如 麦克斯韦方程组的微分形式为
Dx Dy Dz
x y z Bx By BZ 0 x y z
H z y
H y z
x
Dx t
H x z
H z x
y
Dy t
Ez Ey Bx y z t Ex Ez By z x t Ey Ex Bz x y t
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰
• Operator▽ • Gradient • Divergence • Curl
• 哈密顿算子 • 梯度(grad) • 散度(div) • 旋度(rot)
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
x
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 哈密顿算子是一种重要的微分算子 • 由它作为工具，可导出一系列美妙的结论， 它把数量场的梯度与矢量场的散度和旋度 简洁地呈现出来 • 麦克斯韦的电磁学方程组微分形式就是用 哈密顿算子表示起来极其简洁、明了 • 可以说，算子简化了复杂的理论，且通过 它可把远离的理论巧妙地联系起来
对矢量场，在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： i j k
V x Vx y Vy z Vz
Vz y
V y z
i
Vx z
Vz x
j
Vy x
Vx y
k
对速度矢量场，流体微团运动分析证明 速度旋度等于旋转角速度的两倍。
哈密顿算子小结
(1) 设 u u ( x, y, z ), 则
u
u x u i y u j z
k grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
标量场的梯度(gradient)
考虑压强标量场，空间某点的梯度，记 p 为 ，定义为如下矢量： 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 的最大变化率。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向。 笛卡尔坐标系下梯度表达式：
p p p p i j k x y z
梯度和方向导数的关系：
E z E y Bx y z t By E x E z z x t E y E x Bz x y t
引进哈密顿算符：
i j k x y z
D B 0 D H t B E t
哈密顿算子
哈密顿（W.R.Hamiltonian）引进了一个矢性微分算子，称之为哈密顿算子或者▽ 算子。 记号▽ 读作“那勃乐（Nzbla）”，在运算中既有微分又有矢量的双重运算性质，其优点 在于可以把对矢量函数的微分运算转变为矢量代数的运算，从而可以简化运算过程， 并且推导简明扼要，易于掌握。
=
r i
r j
ur kxFra biblioteky z运算规则 （1）梯度
标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
（2）散度
（2）旋度
拉普拉斯算子
引入新的矢性微分算子：
常用公式
该算子既可以作用在数性函数 u=u(M) 上，又可以作用在矢性函数B(M) 上，即
注意：
（1） 与 是完全不同的；
（2） 与
是无意义的。
公式汇总
矢量分析与场论：P64
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
引进哈密顿算符： 引进哈密顿算符：
∂r ∂ r ∂ r ∇= i + j + k ∂x ∂y ∂z
r ∇⋅ D = ρ r ∇⋅ B = 0 r r r ∂D ∇× H = δ + r ∂t r ∂B ∇× E = − ∂t
标量场的梯度(gradient) 标量场的梯度(gradient)
考虑压强标量场，空间某点的梯度，记 考虑压强标量场，空间某点的梯度， p 定义为如下矢量： 为 ∇ ，定义为如下矢量： 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 的最大变化率。 的最大变化率。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向 方向为给定点压强变化率最大的方向。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向。 笛卡尔坐标系下梯度表达式： 笛卡尔坐标系下梯度表达式：
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
r ∇ × V = ∂ ∂x Vx − ∂ ∂y Vy ∂ ∂z Vz r i +
例如 麦克斯韦方程组的微分形式为
∂Hz ∂Hy ∂Dx − = δx + ∂t ∂y ∂z ∂Dy ∂Hx ∂Hz =δy + − ∂z ∂x ∂t ∂Hy ∂Hx ∂DZ − = δz + ∂x ∂y ∂t
∂Ez ∂Ey ∂Bx − =− ∂t ∂y ∂z ∂By ∂Ex ∂Ez − =− ∂z ∂x ∂t ∂Ey ∂Ex ∂Bz − =− ∂x ∂y ∂t
第13讲哈密顿算子1
2.基本运算公式的算子表示 奥氏公式
v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫ divAdV
S Ω
v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫∇ • AdV
S Ω
（27）
斯托克斯公式
∫
l
v v A • dl = v v A • dl =
v v ∫∫ rot A • d S
S
∫
l
v v ∫∫ (∇ × A ) • d S
梯度运算公式 (1) gradc = 0 C为常数
∇c = 0
(2) gradcu = cgradu C为常数
∇ cu = c ∇ u
（1）
(3) grad (u ± v ) = gradu ± gradv
∇ (u ± v ) = ∇ u ± ∇ v
（4）
(4) grad (uv ) = ugradv + vgradu
v ∂Az ∂Ay v ∂Ax ∂Az v ∂Ay ∂Ax v )i + ( )j +( − ) k = rot A =( − − ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x
旋度是一个矢量。
1.哈密顿算子 4）数性算子 ∇ 2 = ∇ • ∇ = Δ —拉普拉斯算子
∂ v ∂ v ∂ v ∂ v ∂ v ∂ v j+ k)•( i + j+ k) ∇ = ∇ •∇ = ( i + ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂2 ∂2 ∂2 = 2 + 2 + 2 =Δ ∂x ∂y ∂z
∇ (uv ) = u ∇ v + v∇ u
（9）
梯度运算公式
u (5) grad ( ) = v u ∇( ) = v 1 ( vgradu − ugradv ) 2 v 1 ( v∇ u − u ∇ v ) 2 v
哈密顿算子与矢量叉乘
哈密顿算子与矢量叉乘一、哈密顿算子介绍1.1 定义哈密顿算子，又称为拉普拉斯算子或二阶偏微分算子，是数学中常用的一个算子。
在三维空间中，哈密顿算子可以表示为▽² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²。
其中，▽²表示哈密顿算子，∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z分别表示对x、y、z的偏导数。
1.2 物理意义哈密顿算子在物理学中具有重要的意义。
在量子力学中，哈密顿算子可以描述粒子的能量，由此可以求解物理系统的能量本征值和能量本征态。
在经典力学中，哈密顿算子描述了粒子的动能与势能之间的变化关系。
二、矢量叉乘介绍2.1 定义矢量叉乘，也称为向量叉积或外积，是向量运算中的一种。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为 a x b = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ -a₂b₁)k。
其中，i、j、k分别表示x、y、z轴方向上的单位矢量。
2.2 几何意义矢量叉乘在几何学中有重要的几何意义。
两个向量的叉乘结果是一个新的向量，它与原来的两个向量都垂直。
这个新向量的模长等于原来两个向量构成的平行四边形的面积，方向则由右手法则决定。
三、哈密顿算子与矢量叉乘的关系3.1 矢量算子与哈密顿算子在三维空间中，矢量运算与哈密顿算子之间存在一定的关系。
通过一个标量函数和一个矢量函数的叉乘可以得到一个新的矢量函数。
这个新的矢量函数可以表示为∇ x F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y)k。
其中，∇表示哈密顿算子，F为一个矢量函数。
3.2 叉乘与旋度矢量叉乘与旋度之间有密切的联系。
在矢量分析中，旋度可以用哈密顿算子和叉乘来表示，即∇ x F = (∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z)i + (∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x)j + (∂F₂/∂x -∂F₁/∂y)k。
哈密顿算符的运算规则
哈密顿算符的运算规则
H=T+V
其中T是动能算符，描述了粒子的动能；V是势能算符，描述了粒子所受到的势能。
哈密顿算符的形式会根据系统的性质和问题的设定而有所不同。
1.哈密顿算符作用于波函数时，其结果为一个新的波函数：
HΨ(x)=EΨ(x)
其中Ψ(x)是波函数，E是对应的能量本征值。
2.哈密顿算符的本征值给出了系统的能量：
HΨ_n(x)=E_nΨ_n(x)
其中Ψ_n(x)是能量本征值E_n对应的本征函数。
3.哈密顿算符是线性的，即对于任意常数c：
H(cΨ(x))=cHΨ(x)
4.哈密顿算符的反对称性质：
[H,A]=HA-AH
其中A是任意一个与H可对易的算符。
5.哈密顿算符的对易关系：
[H,T]=0
其中T是动能算符。
6.哈密顿算符的对易关系：
[H,V]=0
其中V是势能算符。
7.哈密顿算符的期望值：
<H>=<Ψ，H，Ψ>
其中<Ψ，表示左矢（bra），Ψ> 表示右矢（ket），<Ψ，Ψ> 是波函数Ψ 的模方表示的概率。
8.哈密顿算符的时间演化：
iħ(dΨ/dt) = HΨ
其中ħ是约化普朗克常数。
这些运算规则是哈密顿算符在量子力学中的基本性质，通过它们我们可以推导出粒子运动的方程及其解。
它为我们理解量子力学中的能量和系统演化提供了重要的数学工具。
哈密顿算子课件
(u1u2 ) u1u2 u2u1 若u 0，则u 常数
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
u
x
ex
y
ey
z
ez
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
A
x
ex
y
ey
z
ez
Axex Ayey Azez
Ax Ay Az x y z
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
4.直角坐标系中几个常用公式：
ex ey ez
A
x y z
注意此项的符 号与顺序
Ax Ay Az
Az y
Ay z
ex
Ax z
Az x
x ey
Ay x
Ax y
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
ex
u y
ey
u z
ez
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点； 2. 算子 在不同的坐标系中有不同的表达式；
哈密顿算子—矢量微分算子
x
ex
y
ey
z
ez
[del] [nabla]
1. 算子 既有微分的性质，又有矢量的特点；
结果：
(1). R R
R
R R R
哈密顿算子
应当注意这里 A 与 A 是完全不同的。 现在我们把用 表示的一些常见公式列 在下面，以便于查用，其中u，v是数性函数， A，B为矢性函数。
(1) (cu) c u
（c为常数）， (2) （cA ）= c A （c为常数），
(3) （cA ）= c A （c为常数），
S
9
第一章 矢量分析
例1 证明
(uv) u v v u.
证
(uv) i j k uv y z x (uv) (uv) (uv) i j k x y z v u v u (u v )i (u v ) j x x y y v u (u v )k z z
哈密顿算子
哈密顿引进了一个矢性微分算子：
i j k x y z
称为哈密顿算子或 算子。 算子本身并无意义，而是一种微分运算符 号，同时又被看作是矢量。
2015-7-4
1
第一章 矢量分析
其运算规则如下：
u u u u i j k u i j k y z x y z x grad u,
Ay Az Ax Az Az Ay ( )i ( )j ( )k y z z x x y rot A,
由此可见，数量场u的梯度与矢量场A的散度与旋 度都可用 表示。
2015-7-4 3
第一章 矢量分析
此外，为了在某些公式中使用方便，我们还引进 如下的一个数性微分算子 A ( Ax i Ay j Az k ) i j k y z x
2015-7-4 8
第一章 矢量分析
(25) [ f (r )r ] 0, (26) ( r r ) 0 ( r 0),
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（28）
2.基本运算公式的算子表示 例1：证明 ∇ (uv ) = (∇ u ) v + u (∇ v ) （9） 证:
∂ v ∂ v ∂ v ∇ ( uv ) = ( i + j+ k ) uv ∂z ∂x ∂y ∂ uv v ∂ uv v ∂ uv v = i + j+ k ∂z ∂x ∂y ∂u v ∂v ∂v ∂u v ∂v ∂u v = u （ + v ）i + u （ + v ）j + u （ + v ）k ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂v v ∂v v ∂v v ∂u v ∂u v ∂u v = u( i + k ) + v( i + j+ k) j+ ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y = u ∇ v + v∇ u
v 1 r ∇ =− 3 r r
v v v ∇ (a • r ) = a
（
v a 为常矢）
v v v v r v ∇ • ( r a ) = ∇ r • a = • a （ a 为常矢） r v v v v r v ∇ × ( r a ) = ∇ r ） a = × a （ a 为常矢） （ × r
旋度运算公式
v v 1） rot ( c A ) = crot A （ c v v ∇ × (cA) = c∇ × A
为常数） （3）
v v v v 2） rot ( A ± B ) = rotA ± rotB v v v v ∇ × ( A ± B) = ∇ × A ± ∇ × B
（6）
v v v 3） rotuA = urot A + gradu × A（ u 为数性函数） v v v ∇ × uA = u∇ × A + ∇ u × A （11）
2.基本运算公式的算子表示 奥氏公式
v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫ divAdV
S Ω
v v v ∫∫ A • dS = ∫∫∫∇ • AdV
S Ω
（27）
斯托克斯公式
∫
l
v v A • dl = v v A • dl =
v v ∫∫ rot A • d S
S
∫
l
v v ∫∫ (∇个矢量，但首先是一个算子，因此 与矢量的运算法则略有不同。 矢量的点积可以交换，但 ∇ 算子和场的点积不 能交换。
v v v v A• B = B• A
v v A•∇ ≠ ∇ • A
矢量的叉积可以反交换，但 ∇ 算子和场的叉积 不能交换。
v v v v A× B = −B × A
v v A × ∇ ≠ −∇ × A
梯度运算公式 (1) gradc = 0 C为常数
∇c = 0
(2) gradcu = cgradu C为常数
∇ cu = c ∇ u
（1）
(3) grad (u ± v ) = gradu ± gradv
∇ (u ± v ) = ∇ u ± ∇ v
（4）
(4) grad (uv ) = ugradv + vgradu
2
拉普拉斯算子既可以与数量场作用，也可以与 矢量场作用。 数量场 u
v 矢量场 A
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + 2 + 2 = Δu ∂x ∂y ∂z v v v 2 2 2 v v ∂ A ∂ A ∂ A 2 + 2 + 2 = ΔA ∇ A= 2 ∂z ∂x ∂y
1.哈密顿算子 场（原场）与 ∇ 算子相互作用的结果，产生一 个新的场（算子场）。 原场 数量场 u 算子场
'
散度运算公式 （1）
v v div (cA) = cdiv A v v ∇ • (cA) = c∇ • A
（
c
为常数）
（2）
（2）
v v v v div ( A ± B ) = divA ± divB v v v v ∇ • ( A ± B) = ∇ • A ± ∇ • B
（5）
v v v （3） divuA = udivA + gradu • A（ u 为数性函数） v v v ∇ • uA = u∇ • A + ∇u • A （10）
3.算子运算
∂ v ∂ v ∂ v 算子 ∇ = i + j + k实际上是三个数性微分算 ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ ， ， 子 的线性组合；数性微分算子服从乘积 ∂x ∂y ∂z
的微分法则。 乘积的微分法则：当算子作用于两个函数的乘积 时，每次只对其中的一个因子作用，而把另外一 个因子看作常数。
= gradu
梯度是一个矢量。
1.哈密顿算子
v 2）与矢量场 A ( x , y , z ) 的数性作用—散度算子
r v v v ∂ v ∂ v ∂ v ∇•A=( i + j+ k ) • ( Ax i + A y j + Az k ) ∂z ∂x ∂y
∂Ax ∂A y ∂Az + = + ∂y ∂z ∂x
6）
v div ( rot A ) = 0 v ∇ • (∇ × A ) = 0
（17）
2.基本运算公式的算子表示
∇
算子如果作用两个场，则它对两个场分别起
作用。 ∇ 算子与两个数量场 u, v 的作用。 （9） v ∇ 算子与一个数量场 u 和一个矢量场 A 的作用。
v v v ∇ • uA = u∇ • A + ∇ u • A v v v ∇ × uA = u∇ × A + ∇ u × A v v v c 为常矢。 ∇ • uc = ∇ u • c v v v c 为常矢。 ∇ × uc = ∇ u × c
v = div A
散度是一个标量。
1.哈密顿算子
v 3）与矢量场 A ( x , y , z ) 的矢性作用—旋度算子
r ∂ v ∂ ∇× A = ( i + ∂x ∂y v v i j ∂ ∂ = ∂x ∂y Ax A y v v ∂ v v v j+ k ) × ( Ax i + A y j + Az k ) ∂z v k ∂ ∂z Az
∂f 斯算子 Δ f ，偏微分算子 等。 ∂x
比如微分算子 Df ，不定积分算子 ∫ f ，拉普拉
算子与函数的作用与算子的定义有关。算子的 作用在于简化运算。
1.哈密顿算子 哈密顿（Hamilton）引进一个矢性微分算子，
∂ v ∂ v ∂ v ∇ ≡ i + j+ k ∂x ∂z ∂y
称为哈密顿算子或 ∇ 算子。
旋度运算公式
v v v v v v 4） div ( A × B ) = B • rot A − A • rot B v v v v v v ∇ • ( A × B) = B • ∇ × A − A • ∇ × B
（13）
5） rot ( gradu ) = 0
∇ × (∇ u ) = 0
（16）
（12）
v v v v v v ∇ • ( A × B ) = B • (∇ × A ) − A • (∇ × B )
（13）
r v v v v v v v v v ∇ × ( A × B ) = ( B • ∇ ) A − ( A • ∇ ) B − B (∇ • A ) + A (∇ • B )
既可以与数量场作用，也可以与矢量场作用。 数量场 u
v 矢量场 B
v ∂u ∂u ∂u ( A • ∇ )u = Ax + Ay + Az ∂z ∂x ∂y v v v v v ∂B ∂B ∂B ( A • ∇ ) B = Ax + Az + Ay ∂x ∂y ∂z
1.哈密顿算子
∇ 算子的显著特点在于它的双重性，既是一个
∇ u 对应矢量场
v 矢量场 A
∇ 2 u 对应数量场 v ∇ • A 对应数量场 v ∇ × A 对应矢量场
v ∇ A 对应矢量场
2
1.哈密顿算子 数性微分算子
r v v v ∂ v ∂ v ∂ v A • ∇ = ( Ax i + A y j + Az k ) • ( i + j+ k) ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ = Ax + Ay + Az ∂z ∂x ∂y
2.基本运算公式的算子表示 基本运算公式的算子表示，即是用哈密顿算子 表示梯度、散度和旋度的基本运算公式。 哈密顿算子 ∇ 是描述场与空间相互作用的统一 工具。 哈密顿算子 ∇ 和梯度、散度和旋度共同构成物 理场描述的完备体系。 P85的基本公式中，（1）—（8），及（15）为 基本公式，其余公式为导出公式。
∇ ( uv ) = ( ∇ u ) v + u ( ∇ v )
（10） （11） （7） （8）
2.基本运算公式的算子表示
v v ∇ 算子与矢量场 A 和 B 的作用。 r v v v v v v v v v ∇ ( A • B ) = A × (∇ × B ) + ( A • ∇ ) B + B × (∇ × A ) + ( B • ∇ ) A
《矢量分析与场论》
第13讲 哈密顿算子（1）
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
《矢量分析与场论》
主要内容
1. 哈密顿算子 2. 基本运算公式的算子表示 3. 算子运算 教材：第3章
1.哈密顿算子 算子：一种对函数的运算符号。 一个算子作用于一个函数以后可以按照一定的 规则生成一个新的函数。
v ∇×r = 0
ro f ' (r ) v ' r = f (r )r ∇ f (r ) = r v ∇ × [ f (r )r ] = 0