大学物理 —— 第四章2 电通量 电场中的高斯定理

a
b b
b
q0E1 • dl q0E • dl q0E • dl
a
a
a
W1 W2 Wn
i
q0qi ( 1 1 )
4 0 ria rib
二.静电场的环路定理(做功与路径无关的数学表达式)
q0 沿闭合路径 acbda 一周电场力所作的功
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Waa q0E • dl q0E • dl q0E • dl
2+q
q
带等值异号电荷的两平行板的电场线 ++ ++ + + + + +
习题
二.电通量 e (电场强度通量) 通过某一面的电场线数
S
E
S n
E
e ES
e E • S ES cos
S
ds
n
E
e
E
•
ds
Eds cos
s
s
S
ds
n
E
e
E
•
ds
E
cos
ds
s
s
例1．计算均匀电场中一圆柱面的电通量。已知
电通量 电场中的高斯定理
一．电场线（电场的图示法）
方向 ：切线
E 大小：E dN =电场线密度
Ea
Eb
b
dS Ec
c
E
a
dS
E
性质： 静电场中，
不闭合；不相交 起于正电荷、 止于负电荷。
E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
e
E1 • ds E1
ds E14 r 2
rR r
通量
e
E2 • ds E2
P
ds E24 r2
s
s1
电量
qi 0
s
电量
s2
qi q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
E2 4r 2
q
0
E1 0
E2
q
4 0r 2
课 球体
堂
练 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
过每一面的电通量
• q2 • q1
2．如图 讨论 移动两电荷对场强及通量的影响
注意: ★高斯定理适用于任何电场。
★过闭合曲面的通量由曲面内的电荷决定。
★高斯面上的场强 E是由全部电荷（面内外电荷）共同产生。
★对连续带电体，高斯定理为
s
E • ds
1
0
dq
★无限大均匀介质中
四．高斯定理的应用
1
所以， 静电力的功 = 静电势能增量的负值
rR rR
E 2rl
R2 0
r 2l
E2rl l 0
典型结论
均匀带电球面
E
0 q
4 0r 2
rR rR
无限长均匀带电圆柱面 无限大均匀带电平面
E
0
rR rR
2 0r
E
2 0
电场的环路定理 电势能
一．静电力作功的特点 与路径无关 保守力
１．点电荷的电场中
内对试验电 dl 荷q0作的元功
dW q0
S 以外
e
E
•
ds
s 0
s
(E1 E2 En ) • ds
E1 • ds En • ds
q
S q1 q2 qn
0 0
0
+q
S
1
q
0
i
q1
S
q2 qn
q
E • ds
s
0
E
•
ds
0
s
●课堂讨论：
●q ●q
1． 立方体边长 a，求
位于中 心 q
位于一顶点
)
等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
真空中
e
s
E • ds
1
0
qi
1. q位于球面S的球心
e
E • ds
E
cos 00 ds
s
s
q
s 4 0r 2 ds
q
4 0r 2
s
ds
q
0
2. q位于任意曲面 S内
q
s s 0
rq
S S
3. q位于任意闭合曲面 4. 曲面内包围多个点电荷
E
及
R
解：e
E•
ds
E•
ds
E•
ds
E•
ds
s
s1
s2
s3
E cos1800ds E cos 900ds E cos 00ds
s1
s2
s3
ER2 0 R2E
=0
n
n S1
ds
S2
S3 n
R ds E
课 1. 求均匀电场中一半球面的电通量。
堂 练
2.
在均匀电场
E
3i
E • ds
s
0 r
qi
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定
E
的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 qi
３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面
已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析
E
具有球对称
❖ 作高斯面 过P点的球面
R
r
P
通量
rR
E • ds
E • ds
0s 0 E上2底rl E下2底rl 侧面
P P
rR
电量 qi 0
E0
rR
电量 qi 2Rl
E R 令 2R
r 0
E
2 0r
高 斯 面 r
l
E
高 斯 面
r
l
E
课堂练习：求无限长均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，
r 2 0 R2
E
2 0r
rR
rR
c
acb
bda
q0E • dl q0E • dl 0
a
acb
adb
b d
即静电场力移动电荷沿任一闭和路径所作的功为零。
q0 0 静电场中电场强度
E
的环流恒为零
E • dl 0
说明：电场线不闭合。
三．电势能：电荷在静电场中的一定位置所具有的势能
重力（保守力）的功 = 重力势能增量的负值
习
解： 通量
e
E•
ds
E4
r
2
q
s
r<R
r>R
R
电量
qi
q
4 R3
4 r 3
3
3
电量
qi q
高斯定理
E 4r 2
1
0
qr 3 R3
场强
E
qr
4 0 R3
高斯定理 E4r 2 q
场强
E
q
4 0r 2
例2．无限大平面
求无限大均匀带电平面 的场强，已知
解:
E 具有面对称
E
高斯面: 柱面
E
F • dl
cos dl
q0
E
•
dl
b
rb
r dr
其中 cosdl dr
则
dW q0Edr
q•
r
ra a
dr c dl
cE
W
b
q0Edr
a
rb
qo
ra
q
4 0r 2
dr
qq0
4 0
(
1 ra
1 rb
)
２．点电荷系的电场中 (与路径无关)
b
Wab q0 (E1 E2 En ) • dl
σ
e E • ds E • ds E • ds E • ds
s
s1
s2
侧
Es1
Es2
0
1
0
s
2Es 1 s 0
E 2 0
高斯面
S E
例3．圆柱面
求无限长均匀带电圆柱面的场强分布，已知R，
解：场具有轴对称
R
高斯面：圆柱面
通量
e E • ds
E • ds
2
j
中，过YOZ平面内
习
Y
S
面积为S的电通量。 n
n
E
n
E
S1
R
n
O
X
Z
e
E•S
(3i 2 j ) • Si
3S
O n
S2
S1 S2
S2 ER2 S1 ER2
e
E•
ds
0
s
一.电场线 二.电通量
三.高斯定理:
q1 S
q3
q2
真空中通过任意闭合曲面的电通量(
E
通量