图形的构造
圆的构造及性质
圆的构造及性质圆是几何中常见且重要的图形之一，具有许多独特的性质和构造方法。
本文将介绍圆的构造及其性质，帮助读者更好地理解和应用圆形几何。
一、圆的构造方法1. 圆的定义：一个平面上的点到另一个固定点的距离保持不变，称这个固定距离为半径，将所有满足这个条件的点构成的图形称为圆。
2. 圆心和半径：在圆的构造中，首先需要确定圆心和半径。
圆心即为上述定义中提到的固定点，而半径则是指圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆的构造方法：- 利用半径和圆心：给定圆心和半径的情况下，可以使用直尺和圆规来画出一个确定的圆。
- 通过直径构造：直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段，利用直径可以轻松构造出一个圆。
- 切割法：利用圆规和直尺以及给定的弦长，可以逐步构造出一个圆。
二、圆的性质1. 圆心角和弧度：- 圆心角是指以圆心为顶点的角，其对应的弧度等于其所对应的弧长除以圆的半径。
- 圆心角的度数等于其对应的弧度乘以180°。
2. 弧和弧长：- 弧是圆上两点之间的曲线部分，可以通过两个端点来唯一确定。
- 弧长是指弧所对应的圆周上的长度，可以通过圆心角和半径来计算。
3. 切线和切点：- 切线是与圆相切且只有一个公共点的直线。
- 切点是切线与圆相交的点，切点与圆心之间的线段垂直于切线。
4. 弦和弦长：- 弦是圆上连接两点的线段。
- 弦长是指弦的长度，可以通过圆心角和半径来计算。
5. 正切线和切线长度：- 正切线是通过圆上一点并且垂直于半径的直线。
- 切线长度是正切线与圆的切点距离。
6. 同位角和异位角：- 同位角是指两个角分别位于两条平行线与一条直线所夹的锐角或钝角中，且两个角的位置相对应。
- 异位角是指两个角分别位于两条平行线与一条直线所夹的外角中，且两个角的位置相对应。
7. 弧的性质：- 同样弧长的圆心角相等。
- 弦长相等的弦对应的圆心角相等。
- 等弧长的弧所对应的圆心角相等。
8. 切线与半径的性质：- 切线与半径垂直于切点。
小学三年级数学---图形的构造
应角。
全等多边形的性质和判定
D
C D´ C´
A
A´
性质：
B
B´
全等多边形的对应边相等、对应角相等。
判定：
边、角分别相等的两个多边形全等。
注意：三角形是特殊的多边形。
把以上复习的内容抄写 一遍，少抄一个罚抄全 部内容10遍。
对折重合
直线方向、 对应线段平行 或在一条直线 按一定的角度、 对应点到对应 中心距离相等
旋转对称图形
定义：
一个图形绕着某一定 点旋转一定的角度 （00<旋转角<3600） 后能与自身重合，这 个图形就叫做旋转对 称图形。
这个点就叫做旋转中 心。
旋转的角度就叫旋转 角。
1
1
·
旋转对称图形是具有 旋转特征的特殊图形。
旋转对称图形不一定都是 轴对称图形，也不是所有 的轴对称图形都是旋转对 称图形。它们都是具有特 殊性质的图形。
一个图形绕着中心
点旋转1800后能与
11
自身重合,我们把这
11
种图形叫做中心对
·
·
称图形.这个点叫
做对称中心.
中心对称图形是旋转对称图形的一种特殊形式.
把一个图形绕着某一 点旋转1800，如果它 能够和另一个图形重 合，我们就说这两个
图形中每一点都绕着旋转
A 中心按同一旋转方向旋转 了同样大的角度，对应点
到旋转中心的距离相等，
B
对应线段相等，对应角相 等，图形的形状与大小都
没有发生变化。
轴对称、平移与旋转三种图形 变换的异同
相同点
不同点
轴对称 平移 旋转
1.对应线段 相等,对应角 相等,图形的 形状与大小 都没有发生 变化.
图案的构成形式
一、格律体构图 格律体构图是指以九宫格、米宇格或两种格子相结合作
骨式基础的构图。既具有结构严谨、和谐稳定的程式化特征 ，又具有骨式变化多样、不拘一格的情趣。
从二方连续的骨式结构我们可以看出，二方连续的基 本构成形式是线。无论是点、圆、长线、短线最终汇集而 成的都是带状的群线。群线的组合可聚集可分散，可交叉 可循环，这样才可以无限反复排列，形成带状图案。线的 魅力在于不论直线曲线都能给人的心理带来强烈的反应。 直线的干脆利落，曲线的波澜起伏都给人们带来视觉上的 享受。
图案的构成形式
单独纹样
对称纹样 均衡纹样
适合纹样
填充纹样 角隅纹样 边饰纹样
连续纹样
二方连续纹样 四方连续纹样
一、单独纹样
单独纹样是指没有外轮廓及骨格限制，可单独处理 、自由运用的一种装饰纹样。这种纹样的组织与周围其 他纹样无直接联系，但要注意外形完整、结构严谨，避 免松散零乱。单独纹样可以单独用作装饰，也可用作适 台纹样和连续纹样的单位纹样。作为图案的最基本形式 ，单独纹样从布局上分为对称式和均衡式两种形式。
二方连续的组织骨式变化极为丰富,一般可分为八种不 同的排列骨式.它的基本排列骨式可分为散点式、直立式、 倾斜式、波浪式、水平式、一整二破式、折线式、旋转式 等八种基本骨式。
设计过程中应注意其排列的韵律变化,疏密、大小、色 调等变化,期达到完整的视觉效果。
1、散点式 单位纹样一般是完整而独立的单独纹样．以散点的形式 分布开来，之间没有明显的连接物或连接线，简洁明快， 但易显呆板生硬。可以用两三个大小、繁简有别的单独纹 样组成单位纹样，产生一定的节奏感和韵律感，装饰效果 会更生动。
［小结］ 1、图案的构成包括纹样组织和装饰构图两个部分。 2、图案的组织形式可分为单独纹样、适合纹样、连续纹样三大类。 3、单独纹样是指没有外轮廓及骨格限制，可单独处理、自由运用的一种 装饰纹样。 4、单独纹样从布局上分为对称式和均衡式两种形式。 5、对称式又称均齐式，可分为绝对对称和相对对称两种组织形式。 6、均衡式又称平衡式，它不受对称轴或对称点的限制，结构较自由。 7、适合纹样是将形态限制在一定形状的空间内，整体形象呈某种特定 轮廓的一种装饰纹样。 8、适合纹样从外形上可归纳为几何形、自然形和人造形三种形式。 9、适合纹样从内部布局上分对称和均衡两种形式， 10、适合纹样从组织类型应用上一般分为填充纹样、角隅纹样、边饰 纹样三种形式。
图形的初步认识知识点及线段习题
⎧⎨⎩⎧⎨⎩图形的初步认识一、本章的知识构造图一、立体图形与平面图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
1、几何图形平面图形：三角形、四边形、圆等。
主〔正〕视图---------从正面看2、几何体的三视图侧〔左、右〕视图-----从左〔右〕边看俯视图---------------从上面看〔1〕会判断简单物体〔直棱柱、圆柱、圆锥、球〕的三视图。
〔2〕能根据三视图描述根本几何体或实物原型。
3、立体图形的平面展开图〔1〕同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。
〔2〕了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。
4、点、线、面、体〔1〕几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最根本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
〔2〕点动成线，线动成面，面动成体。
例1 〔1〕如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的物体。
〔2〕如图2所示，写出图中各立体图形的名称。
图1图2解：〔1〕①与d类似，②与c类似，③与a类似，④与b类似。
〔2〕①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④长方体，⑤五棱锥。
例2 如图3所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。
图3解：〔1〕左视图，〔2〕俯视图，〔3〕正视图练习1．以下图是一个由小立方体搭成的几何体由上而看得到的视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，那么从正面看它的视图为〔〕3．如图，下面三个正方体的六个面按一样规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色，那么涂黄色、白色、红色的对面分别是〔〕A．蓝、绿、黑 B．绿、蓝、黑 C．绿、黑、蓝 D ．蓝、黑、绿4．假设如下平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，求x＋y＋z的值。
5．一个物体从不同方向看的视图如下，画出该物体的立体图形。
例谈几何图形构造法
在几何中，构造法是使用规则或原则来绘制几何图形的方法。
下面是几个常见的构造法例子。
1 垂线构造法：在平面内给定一点和一条直线，从该点作垂线与该
直线的交点，就是所求的点。
2 垂足构造法：在平面内给定一点和一条直线，从该点作垂线与该
直线的交点，这个交点称作该点的垂足。
3 垂直平分线构造法：在平面内给定一点和一条直线，从该点作垂
线，并做该垂线的中垂线，这条中垂线称作该点的垂直平分线。
4 垂直于直线的平分线构造法：在平面内给定一点和一条直线，从
该点作垂线，并做该垂线的中垂线，这条中垂线垂直于给定的直线，称作该点的垂直于直线的平分线。
5 直线平分线构造法：在平面内给定一条直线和一个点，从该点作
该直线的平分线，并做该直线的中垂线，这条中垂线称作该点的直线平分线。
6 对称构造法：在平面内给定两点或两条直线，建立一条对称轴，
使得对称轴上的一侧和对称轴的对侧关于对称轴对称，这样就可以使用对称构造法来构造出许多几何图形。
7 图形复制构造法：在平面内给定一个图形，通过将图形复制并移
动到另一个位置来构造出新的图形。
8 线段构造法：在平面内给定两个点，连接这两个点就是所求的线
段。
9 圆构造法：在平面内给定一个点和一条直线，以该点为圆心，该
直线为圆的直径，连接两端点即为圆。
这些只是几何图形构造法的一小部分例子，在几何学中还有许多其他的构造法。
初中数学几何图形构造方法梳理
初中数学几何图形构造方法梳理几何图形构造方法梳理在初中数学学习中，几何图形构造是一个重要的部分，它涉及到直线、角度、三角形、四边形等各种图形的构造方法。
本文将梳理一些常见的初中数学几何图形构造方法，帮助学生更好地理解和掌握这些内容。
一、直线图形的构造方法1. 画线段：给定两个不同的点A和B，我们可以使用直尺在点A和B之间画一条直线段AB。
2. 画射线：给定一个起点A和一个方向，我们可以使用直尺在起点A开始，按照给定的方向延伸出一条射线。
3. 画平行线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L平行的直线。
4. 画垂直线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。
二、角度的构造方法1. 画角：给定两条射线，将它们的起点重合，通过尺规作图的方法，可以构造出一个特定的角。
2. 以角的顶点为中心，以确定的角度为半径，画弧：给定一个角的顶点O和一个角度a，我们可以使用尺规作图的方法，在以O为中心，以a为半径的圆上选择一点P，然后连接OP，即可得到一个角为a的角。
3. 画平分线：给定一个角，我们可以使用尺规作图的方法，构造出这个角的平分线，即将这个角平分为两个相等的角。
4. 画垂线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。
三、三角形的构造方法1. 画等边三角形：给定一个边长，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个边长相等的等边三角形。
2. 画等腰三角形：给定一个底边和两个底角，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有底边和底角相等的等腰三角形。
3. 画直角三角形：给定一个直角，我们可以使用尺规作图的方法，在直角的一边上任选一点，然后以这个点为顶点，直角的两条边为另外两边，构造一个直角三角形。
4. 画任意三角形：给定三条边长a、b、c，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有边长分别为a、b、c的任意三角形。
四、四边形的构造方法1. 画平行四边形：给定两条平行线L1和L2，以及一个点P，我们可以使用尺规作图的方法，在点P处作出一条与L1平行的线段，然后再以该线段为边作出一条与L2平行的线段，连接两个线段的两个端点，即可得到一个平行四边形。
巧妙构造图形解决数学问题
巧妙构造图形解决数学问题【摘要】在数学问题解决过程中，巧妙构造图形常常起着关键作用。
通过利用几何图形的特性，我们可以更轻松地解决复杂的数学难题。
形状的对称性可以帮助我们简化计算过程，提高解题效率。
通过观察图形的变换以及规律，我们能够更快地找出解题思路。
构造图形并用它们证明数学定理，不仅使证明过程更加清晰，也深化了我们对定理的理解。
通过图形解释抽象的数学概念，我们能够更直观地理解和应用这些概念。
巧妙构造图形可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，是解决数学难题的有力工具。
在解决数学问题时，我们应该尝试从图形构造的角度入手，以提升解题效率和深化对数学问题的理解。
【关键词】巧妙构造图形解决数学问题、几何图形、对称性、图形变换、证明数学定理、抽象数学概念、直观理解、解决数学难题、工具、图形构造、数学问题、图形构造的角度。
1. 引言1.1 巧妙构造图形解决数学问题在数学领域，巧妙构造图形成为了一种常见的解决问题的方法。
通过利用几何图形的特性，我们可以更加直观地理解和解决数学难题。
图形在数学中扮演着重要的角色，它们能够帮助我们简化计算过程，找出规律，构造证明数学定理，解释抽象概念。
利用几何图形的特性解决数学难题是一种常见的方法。
在解决几何问题时，通过构造辅助图形，我们可以得到更多的信息，从而找到解题的突破口。
图形的直观性使得复杂的数学问题变得易于理解和解决。
利用形状的对称性也可以简化计算过程。
对称性是图形的重要特征，通过观察和利用图形的对称性，我们可以推导出一些结论，从而更快地解决数学问题。
利用图形的变换找出规律也是一种常见的方法。
通过对图形进行平移、旋转、反射等操作，我们可以发现一些隐藏的规律，从而推断出数学定理或结论。
巧妙构造图形可以帮助我们更直观地理解数学问题，图形构造是解决数学难题的有力工具。
在解决数学问题时，不妨尝试从图形构造的角度入手，这可能会为我们带来意想不到的启发和发现。
2. 正文2.1 利用几何图形的特性解决数学难题利用几何图形的特性解决数学难题是数学中常用的一种方法。
小学三年级数学---图形的构造
图形的旋转平移旋转-轴对称图形的全等联系I旋转的特征-旋转对称图形—中心对称图形全等多边形性质成中心对称------ 联系联系1把一个图形沿着某一条直线对折，如果它能与另一个图形完全重合，我们就说这两个图形关于这条直线对称。
如果一个图形能够沿着某一条直线对折重合，那么这个图形就叫轴对称图形。
轴对称图形是一个具有轴对称特征的图形。
o 1卜对应线段也可能在-条矽上, （如BB 中的B©与BC ） 对应点的连线埠可能在一条直线上。
（如圜中的BB 写CCJ ＜年卷罰特征：平移后的圏形与原来的圏形的对 相等 ＜对应角相等＜与大"嘟没有发生变化。
注无圏形的形状 c当在一条直线上时，就不存在平行了。
在平面内，将一个图形绕一个定点-旋转一定的角度，这样的图形运动称为这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
AA fB r图形中每一点都绕着旋转 A 中心按同一旋转方向旋转了同样大的角度，对应点 到旋转中心的距离相等. 对应线段相等,对应角相 等”图形的形状与大小都 没有发生变化@ 敎無的特征L T<ABBEE柚对稀、年卷鸟莪務三种樹形麦换的异同1 •对应线段檳等D阿JE箱相错图形的形状与大小都没有发生对折重合直线方向、对应线段平行或在一杂直经相同点■不同点是线-轴对称旋转对称图康F定心一个图形绕着某一定点旋转一定的角度（Q?v 旋转角<360°）%洁能与自身重合，这a个图形就叫做旋转对徹图形@这个点就叫做旋转中旋转对称图形是具有旋转的角度就叫旋转旋转特征的特殊图形。
旋角。
对称图形，也不是所有的轴对称图形都是旋转对称图形。
它们都是具有特殊性质的图形。
能与蠡齊们把迭談闕甌中心对葆图形点叫中心®[|中心对称图形是旋转对称图形的一种特殊形式. \- Hl fflll把一个图形绕着某一点旋转耀0叮如果它眞盘娜另一个图形重合:我们就说这两个IM形成中心对称。
这厂点叫做对称中心。
构造图形解代数题
构造图形解代数题河北省晋州市数学论文研究协会 张东海 冯从娟我们在解某些代数题时，仔细观察题目的特点，深入挖掘其内含条件，纵横联系有关知识，必要时构造出符合条件的图形，借助图形的直观性，往往能得到简捷、巧妙的解答．现通过如下几例加以说明．例1 设c 为Rt △斜边之长，a 、b 分别为两直角边的长，求证a+b ≤2c.分析 欲证a+b ≤2c ，可设法构造出线段2c ，再与线段a+b 比较．借助图形的直观性，则极易获证．证明 如图1，过A 作AD ⊥AB 使AD ＝AB ，连结BD ，则BD=2。
延长AC 交△ABD 的外接圆于E ，连结BE ，则∠E=∠D ＝45°．∵ BC ⊥AC ，∴ CE= BC ＝a ．又 AE= AC ＋CE=a ＋b ，而BD 是⊙O 的直径，∴AE ≤BD ，即a+b ≤2c 。
例2 已知a>0, b>0, c>0，求证()()ab c b c c a c ≤-+-，并确定等号成立的条件．因此，可构造出两个共边的直角三角形．再结合三角形的面积易证得结论．Rt △BDA 和Rt △CDA （如图2）．等号成立．例3 设m ，n ，p 是正数，且m 2－p 2＋n 2=0，求p n m +的最大值。
分析 将已知条件转化为m 2＋n 2＝p 2，则m 、n 、p 可组成一个直角三角形，再将pn m +转化为三角函数式，则易求得本题答案。
解 由于m 2+n 2=p 2，故可构造以m 、n 、p 为三边的直角三角形（如图3）． 设∠A ＝α，则m=psin α， n=pcos α．例4 已知a>b>0，试判定2b a +、222b a +、ab 、ba ab +2的大小关系．分析 由于a 、b 均为正数，故考虑用构造图形法，借助几何知识，求得本题答案．解 由于a ＞b ＞0，可设AB=b ，AC=a ，AE 为以BC=a －b 为直径的半圆O 的切线，E 为切点．过E 作ED ⊥BC 于D ，作半径OF ⊥BC ．。
学习分形形了解分形形的特点和构造方法
学习分形形了解分形形的特点和构造方法学习分形：了解分形的特点和构造方法分形（fractal）一词由波兰数学家曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）于1975年引入，用于描述一类自相似的几何图形或物体。
分形具有许多独特的特点，如无穷细节、复杂性、自相似性等。
本文将介绍分形的特点和构造方法。
一、分形的特点1. 无穷细节：分形具有无穷多的细节和复杂性，无论放大或缩小图像，都能够发现新的细节。
这使得分形在数学、自然科学和艺术等领域具有广泛应用。
2. 自相似性：分形是自相似的，即整体的结构与其局部结构相似。
无论是整体还是局部的形状都能够在较小或较大的尺度上找到相似的结构。
这种自相似性是分形的重要特征。
3. 复杂性：分形的复杂性指的是其结构和形态的复杂程度。
相比于传统的几何图形，分形形状更为复杂，无法用简单的几何形状或方程式描述。
4. 维度非整：分形的维度通常是非整数维的，例如，柯赛雪垫（Koch曲线）的维度介于1和2之间。
这种非整数维度是分形与传统几何学的重要区别之一。
5. 噪声与规则性：分形能够通过噪声与规则性的结合来表现出不规则的形态。
分形结构的噪声性质使得其在模拟自然界中的山脉、云朵等不规则物体时非常逼真。
二、分形的构造方法1. 迭代函数系统（IFS）：迭代函数系统是构造分形图形的一种常用方法。
它通过对函数的重复应用来生成自相似结构。
柯赛雪垫和谢尔宾斯基地毯（Sierpinski carpet）都是通过迭代函数系统构造的。
2. 分形树：分形树是用于模拟植物的分枝结构的一种方法。
通过对树干进行重复分支并在每个分支的末端再次生成分支，可以构造出栩栩如生的分形树形结构。
3. 噪声函数：噪声函数是基于随机数生成的分形图形构造方法之一。
通过使用不同频率和振幅的噪声函数叠加，可以产生具有细节丰富的分形图像。
4. 分形几何的数学公式：柯赛雪垫、曼德尔布罗特集合等分形图形可以使用数学公式进行描述和生成。
初中数学几何压轴题模型与构造方法附解题技巧
初中数学几何压轴题模型与构造方法附解题技巧全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
全等图形的构造和证明
全等图形的构造和证明全等图形的构造和证明是几何学中的重要内容，掌握全等图形的构造和证明方法对于提高学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力具有重要意义。
一、全等图形的概念1.全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2.全等图形的性质：全等的图形具有相同的形状、大小和位置关系。
二、全等图形的构造方法1.折叠法：将一个图形沿着某条直线折叠，使得折叠后的两部分完全重合，即可构造出全等图形。
2.剪贴法：将一个图形沿着某条直线剪开，然后重新组合，使得重新组合后的图形与原图形完全重合，即可构造出全等图形。
3.作图法：利用直尺、圆规等作图工具，按照给定的条件作出全等图形。
三、全等图形的证明方法1.SSS（三边对应相等）：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2.SAS（两边及夹角对应相等）：如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形全等。
3.ASA（两角及夹边对应相等）：如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，则这两个三角形全等。
4.RHS（斜边及两个锐角对应相等）：如果两个三角形的斜边及两个锐角分别相等，则这两个三角形全等。
5.HL（斜边及直角边对应相等）：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
四、全等图形在实际应用中的例子1.在建筑设计和工程图纸中，通过全等图形的构造和证明，可以确保构件的尺寸和位置关系正确。
2.在物理学中，通过全等图形的构造和证明，可以研究物体的运动轨迹和受力情况。
3.在生物学中，通过全等图形的构造和证明，可以比较和研究生物体的结构特征。
五、全等图形的教学策略1.结合实物模型，让学生直观地感受全等图形的概念和性质。
2.利用多媒体动画，展示全等图形的构造和证明过程，提高学生的空间想象能力。
3.布置丰富的练习题，让学生在实践中掌握全等图形的构造和证明方法。
六、全等图形的学习要点1.理解全等图形的概念，掌握全等图形的性质和判定方法。
构造几何图形巧解代数问题
构造几何图形巧解代数问题
今天，越来越多的学生通过构造几何图形来解决代数问题。
几何图形的构造是一种灵活的数学技术，它可以帮助我们解决各种复杂的数学问题，特别是平面几何中的许多代数问题。
本文将讨论使用几何图形构造解决代数问题的优势和局限性，以及构造几何图形以解决代数问题的一般方法。
使用几何图形解决代数问题的优势很明显。
最重要的是，它有助于我们更好地理解和记住代数问题的解决过程。
求解代数问题时，学生可以藉由几何图形的构造来更好地理解每步操作。
另外，利用图形构建办法，学生可以更轻松地发现问题解决的可能性，以求得最终结果。
尽管构造几何图形解决代数问题有很多优势，但也存在一些局限性。
首先，学生必须掌握几何图形的构建方法，以使用几何图形解决数学问题。
其次，学生必须熟悉数学基础知识，有能力熟练使用数学符号和概念，才能够有效地利用几何图形来解决代数问题。
构造几何图形以解决代数问题有一般的方法，包括以下步骤。
首先，学生应了解问题的背景并熟悉和分析问题中所涉及的数学概念。
接下来，学生定义必要的几何图形，根据代数表达式在图形中构成特定的点。
随后，学生应该绘制数学表达式中出现的所有元素，如直线、圆等，以构建几何图形。
最后，学生利用几何图形来解决给定的问题，并可以得出结果。
总的来说，使用几何图形来解决代数问题是一种有效的方法，可
以更好地帮助学生掌握数学概念，促进学生对数学问题的解决理解。
因此，老师可以把构造几何图形来解决代数问题纳入学生的学习计划，以帮助学生更好地掌握数学知识，提升数学技能。
立体几何问题的解答中图形的构造技巧
立体几何问题的解答中图形的构造技巧张一廿【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2016(000)019【总页数】2页(P78-79)【作者】张一廿【作者单位】河南大学附属中学23中【正文语种】中文在立体几何客观题中常涉及一些求距离、角度、面积、体积问题，但与这些问题相关的点、线、面的位置关系并没有明确给出，需要我们结合题目条件准确构造出这些对象所在的位置.那么具体问题中应如何构造，这是问题能否顺利求解的关键.本文以2016年一道高考题为引例，就其中所涉及的构造思想进行分析.引例（2016全国I卷）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（）题目条件中面α的位置没有明确给出，因此涉及的两条线m，n的位置也不确定.那么应如何构造出过顶点A且与面CB1D1平行的平面α，是问题求解的关键.下面从两种视角来构造平面α，来实现问题的简洁求解.解法1：如图1，延长D1A1至点D2，使A1D2=D1A1.延长B1A1至点B2，使A1B2=B1A1，连接B2D1，B2D2，AB2，AD2，B1D2，易知B2D2∥=B1D1，AB2∥=CD1，AD2∥=CB1，所以平面AB2D2∥面B1CD1，所以面AB2D2即为题目中的面α，AB2即为直线m所在的位置，B2D2即为直线n所在的位置.又因为CD1，CB1，B1D1均为正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线，所以CD1=CB1=B1D1，所以B2D2=AB2=AD2，即△AB2D2为等边三角形，则m，n所成角即为AB2与B2D2的夹角，其大小为，故其正弦值为解法2：构造与正方体ABCD-A1B1C1D1相连的正方体，如图2所示，则条件中所求的各对象直观地展现在我们面前，易知面AB2D2即为已知条件中的α，则m，n的位置相应地确定了.故可直接得出正确答案.点评：本题的求解关键是根据题目特征，找到所求的面，进而将所求关系明确化，使问题简洁获解.除此之外，在某些问题中，与题目相关的点、线、体等条件的确定是问题顺利求解的重要保证，下面举例说明.例1如图3所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=O，M是线段D1O上的动点，过点M做平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N 到点A距离的最小值为（）解析：本题求动点N到定点A的距离的最小值，关键是确定点N所在的位置.如图4，连接B1D1，根据题目条件易知平面ACD1⊥平面BDD1B1，而NM⊥平面ACD1，即NM⊥OD1，所以NM的面BDD1B1内，所以点N的轨迹为面BDD1B1与面A1B1C1D1的交线B1D1上.连接AB，易知△AB1D1为等腰三角形，故当N为B1D1的中点时，NA的距离最小，易求得最小值为.故选B.点评：本题求解的关键是确定点N所在的位置，即点N在线段B1D1上运动，进而将问题转化为点到线的最短距离，易知AN⊥B1D1时，距离最小.例2在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，点M在底面ABCD上移动，且满足B1M⊥D1E，则线段B1M长度的最大值为（）解析：因为点M为动点，但B1M⊥D1E，故B1M在与D1E垂直的平面内.如图5，设CC1的中点为N，因为B1N与BC均在面BCC1B1内，所以B1N与BC所在的直线相交，设交点为S，连接AS.又因为点S在ABCD所在的平面内，所以AS与CD相交，设交点为O.连接AB1，由三垂线定理易证D1E⊥AB1.连接C1E，易证B1N⊥C1E，而C1D1⊥B1N，所以B1N⊥平面C1D1E，所以B1N⊥D1E.综上，D1E⊥平面AB1S，即点M在线段AO上.又因为△SCN～△SBB1，△SOC～△SAB，所以，所以O为CD的中点.在△AB1O中，易求得在△B1BO中易求得B1O=3，所以线段B1M的长度的最大值为3，故选D.评析：本题的求解关键是确定动点M所在的定线的位置.对于动态问题的解答要善于把握其中不变的因素，如本题中点M为面ABCD内的动点，但B1M⊥D1E，因此B1M在一个与D1E垂直的定面上，找到这个定面即可顺利找到动点M所在的直线.另外题目中若涉及一条动直线与已知平面平行，则动直线在与已知面平行的定面内.解题中只要抓住这些动态问题中的确定因素，就可顺利找到问题的切入点.例3如图6所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是边BC的中点，动点P 在直线BD1（除B，D1两点）上运动的过程中，平面DEP可能经过的顶点是_______（写出满足条件的所有顶点）.解析：由题意知，平面DEP过点D.若平面DEP过点A1，如图7所示作平面A1DE，与BB1交于点F，DF与BD1在平面BDD1B1内，则DF与BD1的交点即为点P，故平面DEP过点A1.若平面DEP过点B1，如图8所示作平面B1DE，与A1D1交于点F，DB1与BD1在平面BDD1B1内，则DB1与BD1的交点即为点P，故面DEP过点D1. 若面DEP过点C1，如图9所示作面C1DE，由图易知DC1与CD1在面CDD1C1内，设DC1与CD1交于点F，则易知点F为CD1的中点.连接EF，所以EF为三角形BCD1的中位线，所以EF平行于BD1，即面DEC1与BD1没有交点，所以满足条件的点P不存在，所以面DEP不经过点C1.综上所述，正确答案为A1，B1，D.点评：本题若直接作面DEP，看其过哪些顶点，则陷入误区.转换问题求解视角，即选择某个顶点，结合D、E构造平面，只要保证所作平面与BD1相交，则该顶点符合要求.例4某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）解析：根据题目条件可构造符合条件的长方体，通过长方体的体对角线在三个面上的投影来实现对问题的解答，即利用长方体的体对角线和面对角线列出方程组，转化为a和b的关系，再根据a和b关系确定最大值.具体解答过程如下：根据题意，如图10所示，设长方体的长、宽、高分别为m、n、k，则所以（a2-1）+（b2-1）=6，即a2+b2=8.所以（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时取等号.所以当a=b=2时，a+b取最大值4.评析：对于某些空间几何体问题中，如果涉及几何体的三视图，常用的解题策略是根据三视图，构造相应的特殊几何体，如长方体、正方体等，能给问题的解决带来便利.本题解答中通过联想、构造，将问题转化为长方体的一条体对角线在三个面上的投影问题，降低了难度，使问题得到顺利解决.。
几何图形的构造和判定
几何图形的构造和判定一、图形的构造1.点、线、面的基本概念及关系–点：没有长度、宽度和高度的简单几何形状。
–线：由无数个点连成的，有一定方向的无限延伸的图形。
–面：由线段或曲线段围成的封闭平面图形。
2.基本图形的构造–三角形：由三条线段首尾顺次连接而成的图形。
–四边形：由四条线段首尾顺次连接而成的图形。
–圆：平面上到定点距离等于定长的点的集合。
3.图形的大小和形状–长度：图形边缘的长度。
–面积：图形所覆盖的平面区域的大小。
–角度：两条射线的夹角，用来度量图形的大小。
4.坐标系与几何图形的表示–直角坐标系：由两条互相垂直的数轴组成的坐标系统。
–极坐标系：以原点为中心，用角度和距离表示点的位置的坐标系统。
二、图形的判定1.相等判定–两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
–两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
–两边及其夹角分别相等的两个四边形相似。
2.平行判定–同位角相等，两直线平行。
–内错角相等，两直线平行。
–平行线之间的夹角相等。
3.垂直判定–两条直线相交成直角，则这两条直线垂直。
–一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角互相垂直。
4.角度判定–三角形的内角和为180度。
–四边形的内角和为360度。
–圆周角等于圆心角的一半。
5.三角形判定–等边三角形：三边相等的三角形。
–等腰三角形：两边相等的三角形。
–直角三角形：一个角为90度的三角形。
6.四边形判定–矩形：对角线相等且互相平分的四边形。
–平行四边形：对边平行且相等的四边形。
–梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。
三、图形的变换•保持图形大小、形状不变，仅改变图形位置的变换。
•保持图形大小、形状不变，仅改变图形方向的变换。
•图形关于某条直线对称，对称轴上的点不变。
4.中心对称–图形关于某个点对称，对称中心上的点不变。
四、图形的性质与定理1.三角形的性质–三角形的内角和为180度。
–两边之和大于第三边。
–两边之差小于第三边。
构造三角形全等的方法
构造三角形全等的方法一、引言三角形是平面几何中最基本的图形之一，构造全等三角形是几何学中的重要问题。
全等三角形指的是具有相同边长和角度的三角形，它们的形状完全相同。
本文将介绍几种构造全等三角形的方法，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
二、SSS法SSS法是构造全等三角形中最常用的方法之一，它基于三角形边长相等的性质。
具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和一条边长相等的线段DE。
2. 以点D为圆心，DE的长度为半径，画一个圆。
3. 以点A为圆心，以AB的长度为半径，画一个圆。
该圆与第一步中的圆交于点F。
4. 连接BF和AF，得到三角形ABF。
5. 证明AF=DE，BF=DE，AB=DE，即可得到三角形ABF与三角形ABC全等。
三、SAS法SAS法也是构造全等三角形常用的方法之一，它基于三角形两边和夹角相等的性质。
具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和一个角度a。
2. 在角ABC的一侧，以BC为边，以角a的度数为顶角，画一条射线。
3. 在射线上取一点D，使得BD=AB。
4. 连接AD，得到三角形ABD。
5. 证明AD=AC，BD=AB，角BAD=角BAC，即可得到三角形ABD与三角形ABC全等。
四、ASA法ASA法是构造全等三角形的另一种常用方法，它基于三角形两角和夹边相等的性质。
具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和两个角度a和b。
2. 在角ABC的一边，以角a的度数为顶角，画一条射线。
3. 在射线上取一点D，使得角BDA的度数为角BAC的度数。
4. 连接BD，得到三角形ABD。
5. 证明角BAD=角BAC，角BDA=角BCA，AD=AC，即可得到三角形ABD与三角形ABC全等。
五、AAS法AAS法也是构造全等三角形的一种方法，它基于三角形两角和一边相等的性质。
具体步骤如下：1. 给定一个三角形ABC和两个角度a和b。
2. 在角ABC的一边，以角a的度数为顶角，画一条射线。
3. 在射线上取一点D，使得角BDA的度数为角BAC的度数。
几何画板 轨迹法构造
几何画板轨迹法构造几何画板是一种用于构造几何图形的工具。
它可以帮助我们在平面上画出各种形状和线条，使我们更好地理解几何概念和性质。
而轨迹法是一种常用的几何画板构造方法，它可以通过一个或多个已知的点、线、圆或其他几何元素的运动轨迹来构造出所需的几何图形。
下面将介绍一些常用的轨迹法构造方法。
1. 直线的轨迹法构造a. 已知两个不重合的点A和B，可以通过画一个以A为圆心，AB为半径的圆，然后再画一个以B为圆心，AB为半径的圆，两个圆的交点即为所需直线的轨迹点。
b. 已知一点A和一条平行于某直线l的直线m，可以通过画一条以A为原点且方向与m相同的射线，然后观察射线与直线l的交点，这些交点的轨迹就是所需直线的轨迹。
2. 圆的轨迹法构造a. 已知一个不在圆心上的点O和半径r，可以通过画一个以O为圆心，r为半径的圆，圆上的任意一点的轨迹就是所需圆的轨迹。
b. 已知两个不重合的点A和B，可以通过画两个以A和B为圆心，AB为半径的圆。
然后观察这两个圆的交点，这些交点的轨迹就是所需圆的轨迹。
3. 角的轨迹法构造a. 已知两条直线l1和l2以及两个不重合的点A和B，可以通过画一条以A为圆心，B在圆周上的圆弧，再在圆弧的两个端点上分别引出两条直线，与l1和l2分别交于点C和D。
这样，角CAD的顶点C的轨迹就是所需角的轨迹。
b. 已知一条直线l和两个不重合的点A和B，可以通过画一条以A为圆心的射线，并选取任意一点C在射线上，再将AC 和BC分别延长与直线l相交于点D和E。
这样，角DAE的顶点A的轨迹就是所需角的轨迹。
以上只是一些常用的轨迹法构造方法，实际上还有很多其他轨迹法可供选择。
轨迹法构造在解决几何问题时可以起到很大的帮助作用，它可以通过观察几何元素的运动轨迹来揭示几何图形的性质和关系。
通过灵活运用轨迹法构造，我们可以更好地理解几何概念，并且提高解决几何问题的能力。
在实际运用中，我们可以结合具体问题灵活选择合适的轨迹法构造方法，并配合使用其他几何工具来得到想要的结果。
构造图形,以形解数
角的角平 分 线 得１５
°角,再 由 角 平 分 线 性 质 求 边 的 关
系,进而求解;解 法 ３ 是 利 用４５
°与３０
°的 差 是１５
°,使 问
题转化为线段的 比 而 获 解;解 法 ４ 是 利 用７５
°与６０
°的
差是１５
°,通过构造直 角 三 角 形 来 求 解;解 法 ５ 是 利 用
６７
直观、化繁为 简、简 捷 实 用”的 巨 大 优 越 性,值 得 参 考
与学习 [３]．
在教学过程中,学生在运用构造图 形 法 解 决
究,
２０１２(
２):
６７
Ｇ
６８．
[
构 造 几 何 图 形,解 决 代 数 问 题 [
中 学 数 学,
２]李国峰 ．
J]．
２０２０(
８):
４９．
[
构造几何图形 妙解代数问题[
路开阔,摆 脱 了 仅 对 “数”与 “式”进 行 变 形 的 束 缚,在
全面深 入 观 察、合 理 联 想 的 基 础 上,构 造 了 边 长 为
a＋x,
b＋y,
c＋z(都等于 k)的等边三角 形,又 从 结 论
联想到面积公式,得到了一种新颖的证明方法 ．
与证法
１ 相比较,证法 ２ 显然更简捷 ．
a＋x)(
b＋y)(
c＋z)
入手,经过恒 等 变 形 和 适 当 缩 放,即 可 得 到 欲 证 的 不
等式 ．
证法 １ 是站在代数 的 角 度 思 考,采 用 综 合 法 来 证
明．
但是这种方法的缺陷也较明显,主要表现在思路 不
易畅通,较难 看 出 或 建 立 已 知 与 未 知 的 联 系,如 果 缺