高中数学解题常用方法:待定系数法
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待定系数法
一、填空题
1. 若二次函数的图象经过点,对称轴为,最小值是,则它的解析式是.
2. 已知点在指数函数的图象上,则 = .
3. 已知,则,.
4. 过三点,,的圆的方程是.
5. 已知点和是直线上的两点,则,.
6. 已知函数,其中是的正比例函数,是的反比例函数,且
,,则的解析式为.
7. 如果,则一次函数.
8. 设向量,不平行,向量与平行,则实数.
9. 若函数,且,,,则函数
的解析式为.
10. 已知一个二次函数,若,,,则这个函数的解析式为.
11. 是一次函数,若对所有的都有,且,则
.
12. 已知是二次函数,若,且,则.
13. 已知经过函数图象上一点处的切线与直线平行,则函
数的解析式为.
14. 若,则.
15. 已知点和,则过点且与,的距离相等的直线方程为.
16. 已知且,则的取值范围是.
17. 若是一次函数,且,则.
18. 经过点和,圆心在直线上的圆的方程是.
19. 已知等差数列,的前项和分别为和,若,且是整数,则正
整数的值为.
20. 如图,,点在由射线、线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是;当时,的取值范围
是.
二、解答题
21. 设二次函数图象的对称轴为,且图象在轴上的截距为,在轴上截得的
线段长为的解析式.
22. 已知复数的共轭复数为,且,求.
23. 已知为一次函数,求.
24. 设复数为纯虚数,且,求复数.
25. 求过,,三点的圆的方程.
26. 如果一次函数满足求的解析式.
27. 已知不等式的解集为,不等式的解集为.
(1)求.
(2)若不等式的解集为,求的解集.
28. 复平面内关于原点对称的两点对应的复数为,,且满足
,求,.
29. 已知,则复数所对应的点在复平面的第几象限内?复数的对应点的轨迹是什么曲线?
30. 已知为二次函数,且,,.
(1)求的解析式;
(2)求在上的最大值与最小值.
31. 求斜率为且与坐标轴所围成的三角形的周长为的直线方程.
32. 已知,,求的取值范围.
33. 双曲线中心在坐标原点,焦点,在坐标轴上,离心率,且双曲线过点
.
(1)求双曲线方程;
(2)若点的坐标为,求证:.
34. 过点作两条互相垂直的直线,分别交、的正半轴于、两点,如果四边形
的面积被直线平分,求直线的方程.
35. 求经过两直线和的交点且与直线
垂直的直线的方程.
36. 求证:能被整除,.
37. 河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶时,水面宽为.一小船宽,高,载货后船露出水面上的部分高,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船恰好能通行.
38. 已知正方形的中心是点,一条边所在的直线方程是,求其他三边所在的直线方程.
39. 已知为坐标原点,在轴正半轴上,的面积为,并且.
(1)若,求向量与夹角正切值的取值范围;
(2)若以为中心,为焦点的双曲线经过点,,,当取得最小值时,求此双曲线方程.
40. 设两个函数和,其中是三次函数,且对任意的实数,都有
,,.
(1)求函数的极值;
(2)证明:对于任意的,都有成立.
答案
第一部分
1
2
3 ;
4
5 ;
6
7 或
8
9
10
11
12
13
14
15 或.
16
17 或
18
19
20
第二部分
21 由题意,可设,
因为图象在轴上的截距为,
所以,
即,
所以.
22 设,所以,
所以,
所以
所以或
所以或.
23 因为为的一次函数,所以设,
则,又,比较系数得解得所以.
24 因为为纯虚数,所以可设(且),
则.
又,
所以由,得,
解得,所以.
25 设圆的方程是.
因为,,三点都在圆上,
所以它们的坐标都是方程的解.
把它们的坐标依次代入方程,得到关于,,的一个三元一次方程组,
即
解得,,,
所以所求圆的方程是.
26 设,
则有
由于该函数与是同一个函数
所以,且
所以,
当时,时,
27 (1) 由,得,
所以;
由,得,
所以,
所以.
(2) 由于的解集是,
所以
解得
所以,
即,其解集为.
28 设,,,,
又,
所以,,
所以,.
29 由题意得,
.
由实部大于,虚部小于,可知复数的对应点在复平面的第四象限内.
设,
则,.
消去,得.
所以复数的对应点的轨迹是以为端点,为斜率,且在第四象限的一条射线.30 (1) 设,
则.
由,,得
解得
从而.
又,
解得,从而.
于是.
(2) 因为,
所以当时,;