高中数学解题常用方法：待定系数法

待定系数法
一、填空题
1. 若二次函数的图象经过点，对称轴为，最小值是，则它的解析式是．
2. 已知点在指数函数的图象上，则 = ．
3. 已知，则，．
4. 过三点，，的圆的方程是．
5. 已知点和是直线上的两点，则，．
6. 已知函数，其中是的正比例函数，是的反比例函数，且
，，则的解析式为．
7. 如果，则一次函数．
8. 设向量，不平行，向量与平行，则实数．
9. 若函数，且，，，则函数
的解析式为．
10. 已知一个二次函数，若，，，则这个函数的解析式为．
11. 是一次函数，若对所有的都有，且，则
．
12. 已知是二次函数，若，且，则．
13. 已知经过函数图象上一点处的切线与直线平行，则函
数的解析式为．
14. 若，则．
15. 已知点和，则过点且与，的距离相等的直线方程为．
16. 已知且，则的取值范围是．
17. 若是一次函数，且，则．
18. 经过点和，圆心在直线上的圆的方程是．
19. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则正
整数的值为．
20. 如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是；当时，的取值范围
是．
二、解答题
21. 设二次函数图象的对称轴为，且图象在轴上的截距为，在轴上截得的
线段长为的解析式．
22. 已知复数的共轭复数为，且，求．
23. 已知为一次函数，求．
24. 设复数为纯虚数，且，求复数．
25. 求过，，三点的圆的方程．
26. 如果一次函数满足求的解析式．
27. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．
(1)求．
(2)若不等式的解集为，求的解集．
28. 复平面内关于原点对称的两点对应的复数为，，且满足
，求，．
29. 已知，则复数所对应的点在复平面的第几象限内？复数的对应点的轨迹是什么曲线？
30. 已知为二次函数，且，，．
(1)求的解析式；
(2)求在上的最大值与最小值．
31. 求斜率为且与坐标轴所围成的三角形的周长为的直线方程．
32. 已知，，求的取值范围．
33. 双曲线中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率，且双曲线过点
．
(1)求双曲线方程；
(2)若点的坐标为，求证：．
34. 过点作两条互相垂直的直线，分别交、的正半轴于、两点，如果四边形
的面积被直线平分，求直线的方程．
35. 求经过两直线和的交点且与直线
垂直的直线的方程．
36. 求证：能被整除，．
37. 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶时，水面宽为．一小船宽，高，载货后船露出水面上的部分高，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行．
38. 已知正方形的中心是点，一条边所在的直线方程是，求其他三边所在的直线方程．
39. 已知为坐标原点，在轴正半轴上，的面积为，并且．
(1)若，求向量与夹角正切值的取值范围；
(2)若以为中心，为焦点的双曲线经过点，，，当取得最小值时，求此双曲线方程．
40. 设两个函数和，其中是三次函数，且对任意的实数，都有
，，．
(1)求函数的极值；
(2)证明：对于任意的，都有成立．
答案
第一部分
1
2
3 ；
4
5 ；
6
7 或
8
9
10
11
12
13
14
15 或．
16
17 或
18
19
20
第二部分
21 由题意，可设，
因为图象在轴上的截距为，
所以，
即，
所以．
22 设，所以，
所以，
所以
所以或
所以或．
23 因为为的一次函数，所以设，
则，又，比较系数得解得所以．
24 因为为纯虚数，所以可设（且），
则．
又，
所以由，得，
解得，所以．
25 设圆的方程是．
因为，，三点都在圆上，
所以它们的坐标都是方程的解．
把它们的坐标依次代入方程，得到关于，，的一个三元一次方程组，
即
解得，，，
所以所求圆的方程是．
26 设，
则有
由于该函数与是同一个函数
所以，且
所以，
当时，时，
27 (1) 由，得，
所以；
由，得，
所以，
所以．
(2) 由于的解集是，
所以
解得
所以，
即，其解集为．
28 设，，，，
又，
所以，，
所以，．
29 由题意得，
．
由实部大于，虚部小于，可知复数的对应点在复平面的第四象限内．
设，
则，．
消去，得．
所以复数的对应点的轨迹是以为端点，为斜率，且在第四象限的一条射线．30 (1) 设，
则．
由，，得
解得
从而．
又，
解得，从而．
于是．
(2) 因为，
所以当时，；
即在上的最大值为，最小值为．
31 设直线方程为，
令，得；令，得，
由题意得：．
解得或．
所以所求直线方程为，即．
32 解法一：
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（如图所示）．
考虑，把它变形为，得到斜率为，且随变化的一组平行直线．是直线在轴上的截距，当直线在轴上的截距最大时，的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数取得最小值；当直线在轴上的截距最小时，的值最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数取得最大值．
由图可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最小．
解方程组得的坐标为，
所以．
当直线经过可行域上的点时，截距最小，即最大．
解方程组得的坐标为，
所以．
故的取值范围是．
解法二：
设，
则，
所以所以
即．
又因为，，
．
所以，即的取值范围是．
33 (1) 由及得．
设双曲线的方程为，
代人，解得，
所以双曲线的方程为．
(2) 由（）知，，又，
则，，
所以，
即．
34 设直线的方程为，
则，，．
由，得，
即．
由于到直线的距离，
所以的面积是
而的面积．
由直线平分四边形的面积，得，
即，
解得或
故所求直线的方程为或．
35 显然，直线不与直线垂直，故不满足条件．
设直线的方程为，则．
因为，所以．
故直线，即．
36 （1）当时，，命题显然成立．
（2）假设当时，能被整除，则当时，由归纳假设，上式中的两项均能被整除，
故当时命题成立．
由（1）（2）知，对，命题成立．
37 如图，建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为．
由题意，得抛物线过点，代入，解得，
所以抛物线方程为．
由小船宽，得点在抛物线上．
将点代入，解得．
所以，当船顶距抛物线拱顶为时，小船恰好能通过．
又载货后，船露出水面上的部分高，
所以当水面与抛物线拱顶的距离为时，小船恰好能通行．
答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距时，小船恰好能通行．
38 正方形的中心到已知边的距离为．
设与平行的一边所在的直线方程是．
因为正方形中心到这条直线的距离为，
所以，
解得（舍去）或．
所以与平行的边所在的直线方程是．
设与垂直的边所在的直线方程是．
因为正方形中心到这条直线的距离为，
所以，
解得或．
所以与垂直的两边所在的直线方程是和．39 (1) 设，的夹角为，则
所以．
又因为，
因此．
(2) 设双曲线的方程为，，
则，
由，得．
由，得，
解得，
则，
当且仅当时，最小，这时点坐标为．
由得
因此，双曲线方程为．
40 (1) 由题意可设，
由，得．
又，，
所以，
比较系数，解得，，，
所以，．
令，得；，得或，
即在上递减，在上递增，在上递减，
，
则当时，
极小值
．
当时，
极大值
(2) 要证明对于任意的，都有成立，只需证当时，．
当时，，
则．
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以．
由知对任意，．
又，则，
所以当时，成立，
因此，对于任意的都有成立．。