高中数学解题常用方法：待定系数法

待定系数法

一、填空题

1. 若二次函数的图象经过点，对称轴为，最小值是，则它的解析式是．

2. 已知点在指数函数的图象上，则 = ．

3. 已知，则，．

4. 过三点，，的圆的方程是．

5. 已知点和是直线上的两点，则，．

6. 已知函数，其中是的正比例函数，是的反比例函数，且

，，则的解析式为．

7. 如果，则一次函数．

8. 设向量，不平行，向量与平行，则实数．

9. 若函数，且，，，则函数

的解析式为．

10. 已知一个二次函数，若，，，则这个函数的解析式为．

11. 是一次函数，若对所有的都有，且，则

．

12. 已知是二次函数，若，且，则．

13. 已知经过函数图象上一点处的切线与直线平行，则函

数的解析式为．

14. 若，则．

15. 已知点和，则过点且与，的距离相等的直线方程为．

16. 已知且，则的取值范围是．

17. 若是一次函数，且，则．

18. 经过点和，圆心在直线上的圆的方程是．

19. 已知等差数列，的前项和分别为和，若，且是整数，则正

整数的值为．

20. 如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是；当时，的取值范围

是．

二、解答题

21. 设二次函数图象的对称轴为，且图象在轴上的截距为，在轴上截得的

线段长为的解析式．

22. 已知复数的共轭复数为，且，求．

23. 已知为一次函数，求．

24. 设复数为纯虚数，且，求复数．

25. 求过，，三点的圆的方程．

26. 如果一次函数满足求的解析式．

27. 已知不等式的解集为，不等式的解集为．

(1)求．

(2)若不等式的解集为，求的解集．

28. 复平面内关于原点对称的两点对应的复数为，，且满足

，求，．

29. 已知，则复数所对应的点在复平面的第几象限内？复数的对应点的轨迹是什么曲线？

30. 已知为二次函数，且，，．

(1)求的解析式；

(2)求在上的最大值与最小值．

31. 求斜率为且与坐标轴所围成的三角形的周长为的直线方程．

32. 已知，，求的取值范围．

33. 双曲线中心在坐标原点，焦点，在坐标轴上，离心率，且双曲线过点

．

(1)求双曲线方程；

(2)若点的坐标为，求证：．

34. 过点作两条互相垂直的直线，分别交、的正半轴于、两点，如果四边形

的面积被直线平分，求直线的方程．

35. 求经过两直线和的交点且与直线

垂直的直线的方程．

36. 求证：能被整除，．

37. 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶时，水面宽为．一小船宽，高，载货后船露出水面上的部分高，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船恰好能通行．

38. 已知正方形的中心是点，一条边所在的直线方程是，求其他三边所在的直线方程．

39. 已知为坐标原点，在轴正半轴上，的面积为，并且．

(1)若，求向量与夹角正切值的取值范围；

(2)若以为中心，为焦点的双曲线经过点，，，当取得最小值时，求此双曲线方程．

40. 设两个函数和，其中是三次函数，且对任意的实数，都有

，，．

(1)求函数的极值；

(2)证明：对于任意的，都有成立．

答案

第一部分

1

2

3 ；

4

5 ；

6

7 或

8

9

10

11

12

13

14

15 或．

16

17 或

18

19

20

第二部分

21 由题意，可设，

因为图象在轴上的截距为，

所以，

即，

所以．

22 设，所以，

所以，

所以

所以或

所以或．

23 因为为的一次函数，所以设，

则，又，比较系数得解得所以．

24 因为为纯虚数，所以可设（且），

则．

又，

所以由，得，

解得，所以．

25 设圆的方程是．

因为，，三点都在圆上，

所以它们的坐标都是方程的解．

把它们的坐标依次代入方程，得到关于，，的一个三元一次方程组，

即

解得，，，

所以所求圆的方程是．

26 设，

则有

由于该函数与是同一个函数

所以，且

所以，

当时，时，

27 (1) 由，得，

所以；

由，得，

所以，

所以．

(2) 由于的解集是，

所以

解得

所以，

即，其解集为．

28 设，，，，

又，

所以，，

所以，．

29 由题意得，

．

由实部大于，虚部小于，可知复数的对应点在复平面的第四象限内．

设，

则，．

消去，得．

所以复数的对应点的轨迹是以为端点，为斜率，且在第四象限的一条射线．30 (1) 设，

则．

由，，得

解得

从而．

又，

解得，从而．

于是．

(2) 因为，

所以当时，；