离散型随机变量的方法
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xi pi
· · · xn · · · pn
Βιβλιοθήκη Baiduxn pn
p1
p2
E( X ) x1 p1 x2 p2
二、数学期望的性质
E (aX b) aE ( X ) b
要点
离散型随机变量均值的性质应用
求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布 列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均 值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的分 布列，再用定义求解．
X P 18 24 36
3 6
2 6
1 6
1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X P
x1
x2
p1
p2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
出选择或选错不得分，满分 100 分，学生甲选
对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每 题都从 4 个选项中随机地选择一个。求学生甲
和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
问题思考1：随机变量的均值与样本的平均值有何区别？
提示：随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是 一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随 着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均 值．
4 10
3 10
2 10
1 10
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
加 权 平 均
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元 /kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混 合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
问题思考2：若c为常数，则E(c)为何值？
提示：由离散型随机变量的均值的性质E(aX＋b)＝aE(X) ＋b可知，若a＝0，则E(b)＝b，即若c为常数，则E(c)＝c.
人教A版选修2-3 第二章
2.3.1 离散型随机变量的均值
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，
有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水 平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成 绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的 方差。
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量． （1） Y的分布列是什么？
（2） E(Y)=？
X
x1
p1
x2
p2
P
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
X Y P
x1
ax1 b
p1
· · · xi · · · xn ax2 b · · · axi b · · · axn b p2 · · · pi · · · pn
1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则E(ξ)=
2.4
. 5.8 .
(2)若η=2ξ+1，则E(η)=
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
E(ξ)=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
与两点分布、二项分布有关的均值
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1分，罚不 中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，则 他罚球1次的得分X的均值是多少？
X P 0 1
3
2
3
0.3
1 2 C3 0.7 0.32 C3 0.72 0.3
0.7 3
3 1 2 2 2 3 E ( X ) 0 0.3 1 C 0.7 0.3 2 C 0.7 0.3 3 0.7 (2) 3 3
E ( X ) 2.1 3 0.7
则称 E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型 随机变量取值的平均水平。
X P
x1
x2
p1
p2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的
某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，
2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列： 权数
X P 1 2 3 4
小结：
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
P
1
p
0
1－p
则 EX 1 p 0 (1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1分，罚不中
得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，他连续 罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
x2
E(Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE( X ) b
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
X P
x1
x2
· · · xi · · · pi
62 ＝－15.
方法二：由于Y＝2X－3， 所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 1 20
1 1 1 1 所以E(Y)＝(－7)× 4 ＋(－5)× 3 ＋(－3)× 5 ＋(－1)× 6 ＋ 1 62 1×20＝－15.
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常 数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b 求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取 值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．
【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 4＋3＋5＋m＋20＝1， 1 解得m＝6.
1 1 1 1 1 (2)E(X)＝(－2)× 4 ＋(－1)× 3 ＋0× 5 ＋1× 6 ＋2× 20 ＝－ 17 30. (3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
17 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－30－3
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B
（n,p），则 E ( X ) np
基础训练：
一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望 是
3 .
一次英语单元测验由 20 个选择题构成，每 个选择题有 4 个选项，其中有且只有一个选项 是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作
已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 P (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 1 4 1 3 2
1 1 m 5 20
【思路启迪】 解答本题可先由分布列的性质求出m的 值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值，而 对于(3)可以直接利用公式E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可 以先写出Y的分布列，再求E(Y)．
· · · xn · · · pn
Βιβλιοθήκη Baiduxn pn
p1
p2
E( X ) x1 p1 x2 p2
二、数学期望的性质
E (aX b) aE ( X ) b
要点
离散型随机变量均值的性质应用
求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布 列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均 值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的分 布列，再用定义求解．
X P 18 24 36
3 6
2 6
1 6
1 1 1 X 18 24 36 23(元 / kg) 2 3 6
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X P
x1
x2
p1
p2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
出选择或选错不得分，满分 100 分，学生甲选
对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每 题都从 4 个选项中随机地选择一个。求学生甲
和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
问题思考1：随机变量的均值与样本的平均值有何区别？
提示：随机变量的均值是一个常数，而样本的平均值是 一个随机变量，它是变化的，它依赖于所抽取的样本，但随 着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体平均 值．
4 10
3 10
2 10
1 10
4 3 2 1 X 1 2 3 4 2 10 10 10 10
加 权 平 均
2、某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元 /kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混 合糖果定价才合理？
把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
问题思考2：若c为常数，则E(c)为何值？
提示：由离散型随机变量的均值的性质E(aX＋b)＝aE(X) ＋b可知，若a＝0，则E(b)＝b，即若c为常数，则E(c)＝c.
人教A版选修2-3 第二章
2.3.1 离散型随机变量的均值
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，
有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水 平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成 绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的 方差。
思考：
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量． （1） Y的分布列是什么？
（2） E(Y)=？
X
x1
p1
x2
p2
P
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
X Y P
x1
ax1 b
p1
· · · xi · · · xn ax2 b · · · axi b · · · axn b p2 · · · pi · · · pn
1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则E(ξ)=
2.4
. 5.8 .
(2)若η=2ξ+1，则E(η)=
2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2
E(ξ)=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
与两点分布、二项分布有关的均值
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1分，罚不 中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，则 他罚球1次的得分X的均值是多少？
X P 0 1
3
2
3
0.3
1 2 C3 0.7 0.32 C3 0.72 0.3
0.7 3
3 1 2 2 2 3 E ( X ) 0 0.3 1 C 0.7 0.3 2 C 0.7 0.3 3 0.7 (2) 3 3
E ( X ) 2.1 3 0.7
则称 E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型 随机变量取值的平均水平。
X P
x1
x2
p1
p2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
E( X ) x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的
某个方面的特征，最常用的有期望与方差.
1、某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，
2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10
把环数看成随机变量的概率分布列： 权数
X P 1 2 3 4
小结：
一般地，如果随机变量X服从两点分布，
X
P
1
p
0
1－p
则 EX 1 p 0 (1 p) p
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1分，罚不中
得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，他连续 罚球3次； （1）求他得到的分数X的分布列； （2）求X的期望。
解：(1) X～B（3，0.7）
x2
E(Y ) (ax1 b) p1 (ax2 b) p2 (axn b) pn
a( x1 p1 x2 p2 xn pn ) b( p1 p2 pn )
aE( X ) b
一、离散型随机变量取值的平均值
数学期望
X P
x1
x2
· · · xi · · · pi
62 ＝－15.
方法二：由于Y＝2X－3， 所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 P 1 4 1 3 1 5 1 6 1 1 20
1 1 1 1 所以E(Y)＝(－7)× 4 ＋(－5)× 3 ＋(－3)× 5 ＋(－1)× 6 ＋ 1 62 1×20＝－15.
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常 数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b 求E(ξ)．也可以利用ξ的分布列得到η的分布列，关键由ξ的取 值计算η的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(η)．
【解】 (1)由随机变量分布列的性质，得 1 1 1 1 4＋3＋5＋m＋20＝1， 1 解得m＝6.
1 1 1 1 1 (2)E(X)＝(－2)× 4 ＋(－1)× 3 ＋0× 5 ＋1× 6 ＋2× 20 ＝－ 17 30. (3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，
17 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－30－3
小结： 一般地，如果随机变量X服从二项分布，即X～B
（n,p），则 E ( X ) np
基础训练：
一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，
从中有放回地取5次，则取到红球次数的数学期望 是
3 .
一次英语单元测验由 20 个选择题构成，每 个选择题有 4 个选项，其中有且只有一个选项 是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作
已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 P (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 1 4 1 3 2
1 1 m 5 20
【思路启迪】 解答本题可先由分布列的性质求出m的 值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值，而 对于(3)可以直接利用公式E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可 以先写出Y的分布列，再求E(Y)．