直接补码并行乘法

直接补码阵列乘法器的设计原理

* 李澄举

(嘉应学院计算机系，广东梅州514015)

[摘要]直接补码阵列乘法器的工作原理是《计算机组成原理》课程的难点。本文从组成阵列乘法器的四类全加器的工作原理分析开始，结合补码和真值的转换关系，通过和手工计算方法的对比，深入浅出地揭示了直接补码阵列乘法器的工作原理。

[关键词] 直接补码阵列乘法器，负权值，一般化全加器

一、引言

直接补码阵列乘法器可以直接求出两个补码的相乘积，由于符号位也参加运算，运算速度比起原码阵列乘法器快得多。5位乘5位的直接补码并行阵列乘法器的逻辑结构如图1所示。

与原码阵列乘法器不同的是，直接补码阵列乘法器除了采用0类全加器之外，还采用了1类和2类全加器，以对应于输入补码符号位的负的位权值；图1左下角的虚框是行波进位加法器，为了缩短加法时间，可以用先行进位加法器代替。

设被乘数和乘数(均为补码)分别为A＝(a4)a3a2a1a0，B＝(b4)b3b2b1b0，其中a4和b4是符号位，用括号括起来是表示这一位具有负的位权值。根据补码和真值的转换可以知道，补码A的真值a＝a4×(－24)＋a3×23＋a2×22＋a1×21＋a0×20；

补码B的真值b＝b4×(－24)＋b3×23＋b2×22＋b1×21＋b0×20；

即在将补码直接转换成真值时，符号位取负权值，其余位取正权值。

如设A＝01101(＋13)，B＝11011(－5)，计算符号位参加运算A×B的竖式乘法如下：*【作者简介】李澄举（1949—）,男,广东梅县人, 嘉应学院计算机系副教授

在这个竖式中，带括位的位具有负的位权值，即(1)＝－1，(0)＝0。原乘积最高两位0(1)

是带有负位权值的二进制数，相当于0×21＋1×(－20) ＝－1，因(1)1相当于1×(－21)＋1

×20 ＝－1，故0(1)可以写成(1)1，这扩充符号位(1)便是乘积的符号位。由此可见，在竖式乘法中，若乘积中间位有带负位权值的(1)，可照此办法将(1)左移或消去，如果(1)能移到乘积最左边，则说明乘积为负，这(1)便是补码符号位；否则乘积为正，应在乘积最左边的1之左边加一个0作为补码符号位。

二、各类全加器的加法逻辑

要了解直接补码阵列乘法器的工作原理，首先要了解各类全加器的工作原理。

常规的一位全加器可假定它的3个输入和2个输出都是正权。这种加法器通过把正权

或负权加到

输入/输出端,

可以归纳出

四类加法单

元。如图2所

示各类全加

器的逻辑符

号，图中凡带有小圆圈的输入端都是负位权值的输

入端、带有小圆圈的输出端都是负位权值的输出

端。由图可见，0类全加器没有负权输入和负权输

出；1类全加器有1个负权输入和1个负权输出；2

类全加器有2个负权输入和1个负权输出；3类全

加器有3个负权输入和3个负权输出；各类全加器

就是按负权值输入的个数命名的。

1、0类全加器

由于0类全加器3个输入X 、Y 、Z 和2个输出

S （本位）和C （进位）都是正权，它的输出函数

表达式为我们所熟知：

ZX YZ XY C XYZ

Z Y X Z Y X Z Y X S 00++=+++=。

2、1类全加器

1类全加器只有1个负权输入和1个负权的本

位输出。对于负权输入，如竖式乘法可见，加法的

结果是正权的值的和与负权的值相减。但一位的减

法不同于做n 位定点整数的补码减法，1类全加器

须有如表1所示的真值表（表中带负权值的输入、输出变量前加符号“－”以标识），这种真值表表明了带权输入和带权输出之间的逻辑关系和数值关系：输入端X 、Y 带正权值，Z 带负权值，按手工加法，结果为X ＋Y ＋（－Z ）的值。只是当结果为1时，应将1变换为进位C ＝1、本位S ＝(1)，等效于1×21＋1×(－20)＝1，使本位保持负的位权值，即：

X ＋Y ＋(－Z )＝C (－S ) ＝C ×21＋S ×(－20)

X 、Y 、Z 的所有取值组合对应的输出结果如下：

0＋0＋(－0)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0；

0＋0＋(－1)＝0(1)＝0×21＋1×(－20) ＝－1；

0＋1＋(－0)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1；

0＋1＋(－1)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0；

1＋0＋(－0)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1；

1＋0＋(－1)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0；

1＋1＋(－0)＝1(0)＝1×21＋0×(－20) ＝2；

1＋1＋(－1)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1；

故其输出函数表达式为：

X Z Y Z XY C XYZ Z Y X Z Y X Z Y X S 11++=+++=

与0类全加器的输出函数比较，它们的本位函数相同但进位函数不同。若将带负权值的Z 取反后代入输出函数表达式，进位函数和0类全加器的一致，而本位函数1S 就是0类全加器本位输出的反，即01S S =。由此可见，要实现1类全加器的功能，带负权输入的Z 端须经一反相器输入到0类全加器与带正权输入的X 、Y 做一位的加法，然后本位端取反输出。本位1S 是取反后输出，表明本位输出带负的位权值。因此，1类全加器符号中的大圆

圈可以看成是0类全加器。

3、2类全加器

2类全加器有2个负权输入和1个负权的进位

输出，输入和输出之间的逻辑、数值关系为：

(－X )＋ (－Y ) ＋Z ＝(－C )S ＝C ×(－21)＋S ×20。

当数值运算的结果为－1时，应将它变换为

(1)1，等效于1×(－21) ＋1×20 ＝－2＋1＝－1，

使进位C 保持负的位权值。

X 、Y 、Z 的所有取值组合对应的输出结果如下：

(－0)＋(－0)＋0＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0；

(－0)＋(－0)＋1＝(0)1＝0×(－21)＋1×20 ＝1；

(－0)＋(－1)＋0＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1；

(－0)＋(－1)＋1＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0；

(－1)＋(－0)＋0＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1；

(－1)＋(－0)＋1＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0；

(－1)＋(－1)＋0＝(1)0＝1×(－21)＋0×20 ＝－2；

(－1)＋(－1)＋1＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1；