向量法求距离

d|A|B |coA s ,B n|
A
| AB| | ABn| | AB|| n|
| AB n | . |n|
B
O
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离。
2. 直线到与它平行平面的距离
A
Bl
P
A1
B1
一条直线上的任一点到与它平行的平面 的距离叫做这条直线到平面的距离.
立体几何中的向量方法 （求距离）
一 回顾复习 —— 平面几何中的距离
1. 点到点的距离
B
A
2 .点到直线的距离
P
垂线段PB的长叫做
点P到直线l 的距离。
AB
l
A
l1
3. 平行线间的距离
公垂线段AA1的长度为l1 ，l2 间的距离 A1
l2
利用平面的法向量求点到面的距离
d | AB n | . |n|
Hale Waihona Puke Baidu
3. 两个平行平面的距离
A
PP
B
P
和两个平行平面同时垂直的直 线叫做这两个平面的公垂线.
A`
B`
P1 P1 P1
公垂线夹在平行平面间的部分 叫做这两个平面的公垂线段.
两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行 平面的距离.
练习: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分
别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
求点 B 到平面 EFG 的距离.（两法）
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
EF(2,2,0),EG(2,4,2), x D
C
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量 F
为 n (x, y, z) 则
A
n n

EF EG
22xx24yy02z 0
E
B
y
d | n BE| 2 2 1 1
.
n(1,1,3)
n
11