第七章 材料力学刘锋弯曲变形PPT课件

§7-3 积分法计算梁的变形
w Mx
EI
C、D为积分常数， 它由位移边界与连续
wM ExIdxC条件确定。
wM ExId xCxD
边界条件： （1）固定端约束：
A
B C
连续条件 ：
w C 左 w C 右
C 左 C 右
wA0， A0
(2)铰支座：
A
B C
wA0， wB0
例7.1：悬臂梁AB，弯 w FAy
A x
a
Fa EI C a
B
x
2) 分两段进行分析：
AC段： 0xa
MxFx
则近似微分方程为： 积分可得：
Ew 1 IM x Fx
Ew I112Fx2C1 EI1w 1 6F3xC1xD1
BC段： ax2a M xF xFa
则近似微分方程为： Ew I2 F xFa
积分可得： Ew I2 1 2F2xFaC x2 E2 I w 1 6F3x 1 2Fa 2C x2xD 2
B2
D2
F 2l 2 2EI
同理可得此时B截面的挠度和转角为：
w B 2 w D 2D 2B D 8 3 F E 3 lI 4 2 F E 2llI 1 3 E F 4 3 （lI 向下）
B2
D1
2Fl2 EI
（顺时针）
将相应的位移进行叠加，即得：
w Bw B 1w B 24 3 F E3 lI1 3E F 4 3 lI6 E F3（Il向下）
（2）转角 θ：横截面绕中性轴的转过的角度 。
符号规定：逆时针为正，顺时针为负。x
（3）轴向位移Δx ：横截面形心在轴线方向的位移 ，
小变形情况下，略去不计。
三、挠度和转角之间的关系
w
θ(x)
挠曲轴 wwx
θ(x)
w(x)
o
x
x
k tg dw wx 挠曲轴曲线性质：
dx
（1）挠曲轴上任一点的纵坐
触点
簧片 电磁力
当变形足够大时，可以有效接通电路； 当变形不够大时，不能有效接通电路；
工程中，一方面要限制变形，另一 方面要利用变形。
二、梁变形的表示方法
θw
n—n θ
ΔX
挠曲轴 （连续、光滑 平坦的平面
w 曲线）
w
x
x
z
m—
m
（1）挠度 w ：横截面形心在垂直于轴线方向的位移 。
符号规定：向上为正，向下为负。 wwx
第七章 弯曲变形
弯曲内力
弯曲强度
剪力 弯矩
弯曲切应力及强度条件 弯曲正应力及强度条件
弯曲变形
弯曲变形的计算 弯曲刚度分析 静不定梁分析
§7-1 引言
一、弯曲实例
1、齿轮传动
1 2
1
2
弊端：
• 轮齿不均匀磨损，噪声 增大，产生振动； • 加速轴承磨损，降低使 用寿命；若变形过大， 使传动失效。
2、继电器中的簧片
(通常θ<1º=0.0175弧 标等于梁上该截面的挠度值；
度)
（2）挠曲轴上任一点的切线斜
tg w x 率等于梁上该截面的转角值。
§7-2 挠曲轴近似微分方程
一、挠曲轴微分方程
1、中性层曲率表示的弯曲变形公式
1M
EI
1 Mx
(x) EI
ρ(x) ρ
M(x) M
(纯弯曲变形公式， EI为抗弯刚度） w
w FAy
2、确定积分常数
Ax
A端为固定端约束， x=0, w=0
L
x=0,θ=0
C=0 , D=0
F
Bx
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
w (x) Fx2 将 x=L 代入转角方程：
2EI
wB
FL3 6 EI
B
FL 2 2 EI
例7.2：由积分法求图示梁的wA、A。
w
x F
解：1) 坐标系如图；
即：
C1 Fa2；
D1
7 6
Fa3
最后可得：
7Fa3 wAw1x0D16EI （向下）
Aw1'x0 C1FEa2I （逆时针）
小结： (1) 两段：四个常数，每增加一段，就增加 两个积分常数； (2) 由约束和连续条件求积分常数； (3) 坐标原点一律放在左边，分段写出M(x)；
(4) 注意x的范围。
曲刚度 EI 为常数，受力 F 和力偶M = FL 作用， A
x
求w(x)，θ(x)；并计算B
L
截面的挠度和转角值。
F
B x
M
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分
A端约束反力 FAy=F
梁的弯矩方程： M(x)Fx
挠曲轴近似微分方程：
w Fx EI
w(x)Fx2 C w Fx3 CxD
2EI
6EI
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：
w B 1 w C 1C 1B C 3 F E 3 lI 2 F E 2 l2 Il 4 3 F E 3（lI向下）
B1
C1
Fl2
2EI
（顺时针）
对图b，可得D截面的挠度和转角为：
F
·
F2l3
(b)
wD1
直线
D1
wD1 D1 BD
wD2
wB2
3EI
2、数学中的曲率公式
1
w 1w2
32
o
wwx
x
3、挠曲轴微分方程
w 1w'2
32
Mx
EI
4、挠曲轴近似微分方程
（1）在小变形条件下，
w 10.01弧7 度 5w2 1
（2）正负号确定：
w
1w2
Mx
1
w
EI
M>0
M < 0 适用条件：
w0 w0
o M 与w″保持同号
x
（1）线弹性范围 （2）小变形条件 （3）平面弯曲
§7-4 计算梁位移的叠加法
由于：1）小变形，轴向位移可忽略； 2）线弹性范围工作。
因此，梁的挠度和转角与载荷成线性关系，可 用叠加原理求复杂载荷作用下梁的挠度和转角。
简单载荷下梁的挠度和转角见附录E。
例7.3：利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁 自由端B截面的挠度和转角。
F
F
A
C EI
Baidu Nhomakorabea
D
B
l
l
l
解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。
F
(a)
wC1
C1
直线
wC1 C1 2l
wB1 B1
F
·
(b)
wD1
直线
D1
wD1 D1 BD
wB2
B 2
对图a，可得C截面的挠度和转角为：
F
(a)
wC1
C1
直线
wC1 C1 2l
Fl3
wB1
wC1
3EI
B1
C1
Fl2 2EI
利用约束和连续条件确定C1 、D1 、C2、D2四个常数：
约束条件： x2a 时， w2w2 0
由此可得：
C2 0
D2
2 3
Fa3
连续条件： xa 处， w 1w 2； w 1 w 2
由此可得： 1 6F3 a C 1 a D 1 1 6F3 a 1 2F3 a 3 2F3
1 2F2 aC 11 2F2 aF2 a
BB 1B22 F E 2l I2E F2lI5 2 F E2l（I顺时针）
例7.4：由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截
面的挠度和转角以及D截面的挠度。
F=qa
A
EI D
B
C
a
a
a
解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁和悬臂 梁的叠加。