高考数学-奇偶性与单调性(一)
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难点7奇偶性与单调性(一)
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
●难点磁场
(★★★★)设a >0,f (x )=x
x e a
a e +
是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明：f (x )在(0，+∞)上是增函数.
●案例探究
［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2
1
)=－1,当且仅当0 xy y x ++1),试证明：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减. 命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目. 知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定2 1121x x x x --的范围是焦点. 证明：(1)由f (x )+f (y )=f ( xy y x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2 1x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数. (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减. 令0 2 11 21x x x x --) ∵0 21 21x x x x -->0, 又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0∴x 2－x 1<1－x 2x 1,∴0< 12121x x x x --<1,由题意知f (2 11 21x x x x --)<0， 即f (x 2) ∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0.∴f (x )在(－1，1)上为减函数. ［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增， f (2a 2+a +1) 1)132+-a a 的单调递减区间. 命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本题属于★★★★★级题目. 知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱. 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法. 解：设0 . 03 2 31(3123,08741(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f (2a 2+a +1) 又a 2－3a +1=(a －23)2－45 . ∴函数y =(21)132+-a a 的单调减区间是［2 3 ，+∞］