24.2.1点和圆的位置关系(优秀课件
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人教版九年级数学上24.2.1 点和圆的位置关系 教学课件
的圆的圆心．(不写作法，保留作图痕迹)
解：方法: 1.在圆弧上任取三点A、B、C;
A B
2.作线段AB、BC的垂直平分线,
其交点O即为圆心; 3.以点O为圆心，OC长为半径作
C O
圆.
⊙O即为所求.
总结：在弧上任意找两条弦，分别作它们的垂直平分线， 两条垂直平分线的交点即是圆心．
例3 用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内 角，则其中至少有一个角不大于60°. 证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.
F
A
B ●
o
C G
垂直平分线的交点O的位置.
不在同一直线上的三
个点确定一个圆
探究新知
3.分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它 们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
●┐
B
C
A ●O
B
C
锐角三角形的外 接圆圆心位于三 角形内
直角三角形的外 心位于直角三角 形斜边的中点
解：作线段AB的垂直平分线， 以其上任意一点为圆心，以这 点到点A或点B的距离为半径画 圆即. 可作无数个圆.
· A ·· B
·
探究新知
（3）过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的 垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的 垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条
A C
O B
比较点到圆心距离与半径的数量关系
探究新知
2.（1）我们知道圆心和半径可以确定一个圆，如果只知道
圆上的点，能不能确定圆呢？
如何过一个点A作一个圆？过点A 可以作多少个圆？
24.2.1点和圆的位置关系 教学课件(共31张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册
BC //DF ， DE AB ，DEB 90 ，ABC 90 ，
AC 是 O 的直径，ADC 90 ，
BG AD ，AGB 90 ，
ADC AGB ， BG//CD .
7.用反证法证明下列问题：
如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在 AC 、 AB 上， BD 、CE 相交于点 O.求证： BD 和 CE 不可
24.2.1点和圆的位置关系
人教版（2012）九年级上册
壹
Part One
学习目录
学习目录
1
理解并掌握点和圆的三种位置关系
2
理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用
3
了解三角形的外接圆和三角形外心的概念
4
了解反证法的证明思想
贰
Part Two
探索新知
新课导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，
A 半径 r 的取值范围是： 4 r 4 5 .
故答案为： 4 r 4 5 .
3. 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，
若△AOB的外接圆与 y 轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
AOC 2ABC 90 ，
OA2 OC 2 AC 2 ，即 2OA2 2 ，
解得： OA 1 ，
6.如图，D 是 ABC 外接圆上的动点，且 B，D 位于 AC 的两侧， DE AB ，垂足为 E，DE 的
延长线交此圆于点 F. BG AD ，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H，DC，FB 的延长线交于点 P，
AC 是 O 的直径，ADC 90 ，
BG AD ，AGB 90 ，
ADC AGB ， BG//CD .
7.用反证法证明下列问题：
如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在 AC 、 AB 上， BD 、CE 相交于点 O.求证： BD 和 CE 不可
24.2.1点和圆的位置关系
人教版（2012）九年级上册
壹
Part One
学习目录
学习目录
1
理解并掌握点和圆的三种位置关系
2
理解不在同一直线上的三点确定一个圆及其运用
3
了解三角形的外接圆和三角形外心的概念
4
了解反证法的证明思想
贰
Part Two
探索新知
新课导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，图是射击靶的示意图，
A 半径 r 的取值范围是： 4 r 4 5 .
故答案为： 4 r 4 5 .
3. 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO＝60°，
若△AOB的外接圆与 y 轴交于点D(0，3)．
(1)求∠DAO的度数；
(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
AOC 2ABC 90 ，
OA2 OC 2 AC 2 ，即 2OA2 2 ，
解得： OA 1 ，
6.如图，D 是 ABC 外接圆上的动点，且 B，D 位于 AC 的两侧， DE AB ，垂足为 E，DE 的
延长线交此圆于点 F. BG AD ，垂足为 G，BG 交 DE 于点 H，DC，FB 的延长线交于点 P，
24.2.1点和圆的位置关系(优秀课件)
个圆？
作线段AB的垂直平分线，以其 上任意一点为圆心，以这点和 点A或B的距离为半径画圆即可; 可作无数个圆.
·
A
· · ·
B
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？ 经过A,B两点的圆的圆心在线段
AB的垂直平分线上. 经过B,C两点的圆的圆心在线段 BC的垂直平分线上.
F A B ●
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在
四 反证法
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A、 B、C可以作一个圆，设这个圆的圆 心为P，那么点P既在线段AB的垂直 平分线l1上，又在线段BC的垂直平 分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而 l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过 一点有且只有一条直线与已知直线 垂直”相矛盾，所以过同一条直线 上的三点不能作圆．
A
1. 外接圆 外接圆 ， ⊙O叫做△ABC的________ △ABC叫做⊙O的____________. 内接三角形
●
O
C
B
2.三角形的外心： 定义： 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心. 作图： 三角形三边中垂线的交点. 性质： 到三角形三个顶点的距离相等.
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝 角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三 角形与它的外心的位置关系.
·r
P
O
d<r d=r
⑵点在圆上 P ⑶点在圆外
P
·
O
r r
·
O
d>r
2、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.
例1：如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4. （1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与 ⊙A的位置关系如何？
点和圆的位置关系ppt课件
2cm O·
判一判： 下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( √ ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( √ )
课随堂堂演小练结
注意：同一直线上的三个点不能作圆
第二十四章 圆
24.2.1 点和圆的位置关系(1)
新课导入
问题 我国射击运动员在伦敦奥运会上获金牌，为我国赢得 荣誉.如图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同， 半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何 计算的吗？
探究新课
问题1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 点与圆的位置关系有三种： 点在圆内，如点B. 点在圆上，如点C. 点在圆外，如点A.
问题2 ：设点到圆心的距离为d,圆的半径为r，量一量 在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？
反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系 呢？
点P在⊙O内 点P在⊙O上 点P在⊙O外
要点归纳 点和圆的位置关系
点P在⊙O内 点P在⊙O上
点P在⊙O外
点P在圆环内 数形结合：
位置关系
问题2 ：过两个点能不能确定一个圆? 能画出无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上.
问题3：过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的 垂直平分线上.
经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的 垂直平分线上.
经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条 垂直平分线的交点O的位置.
典例解析 例：如图所示，已知在△ABC中，AB＝13，
试判断A、D、B三点与⊙C的位置关系． 解：在Rt△ABC中，AC＝12，AB＝13， 由勾股定理，得
24.2.1 点和圆的位置关系(优秀经典公开课比赛课件)
Hale Waihona Puke 个圆；圆心是的交点.
5．在平面直角坐标系中，作以原点 为圆心，半径为 4 的⊙O，试确定点(-2，-3)，(4，
-2)， C(2 3, 2) 与⊙O 的位置关系．
四．中考链接
1．下列说法不正确的是( )．
A．任何一个三角形都有外接圆
B．等边三角形的外心是这个三角形的中心
C．直角三角形的外心是其斜边的中点 D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部
2．已知⊙ O 的半径为 1，点到圆心的距离为 d，若关于的方程 x2－2x＋d=0 有实根，
则点 在⊙ O 的
。
三、课堂练习 1. 已知⊙ O 的半径为 10 厘米，根据下列点 P 到圆心的距离，判定点 P 与圆的位置 关系，并说明理由.
（1）8 厘米；（2）10 厘米；（3）12 厘米.
2．在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=5cm，BC=4 cm，以点 A 为圆心，以 3 cm 为半径作圆，
请判断：（1）C、B、AB 的中点 D 与⊙A 的位置关系．
3.判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ).
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
4.经过一 P 点可以做
个圆；经过两点 P、Q 可以作
个圆，圆心在
上；
经过不在同一直线上的三个点可以作
（3）作圆，使该圆经过已知点 A、B、C 三点 ①当 A、B、C 三点不在同一直线上时，你是如何做的？如何确定圆心？你能作出几个
这样的圆？（如图 1）
② 当 A、B、C 三点在同一直线上时又如何？
5．在平面直角坐标系中，作以原点 为圆心，半径为 4 的⊙O，试确定点(-2，-3)，(4，
-2)， C(2 3, 2) 与⊙O 的位置关系．
四．中考链接
1．下列说法不正确的是( )．
A．任何一个三角形都有外接圆
B．等边三角形的外心是这个三角形的中心
C．直角三角形的外心是其斜边的中点 D．一个三角形的外心不可能在三角形的外部
2．已知⊙ O 的半径为 1，点到圆心的距离为 d，若关于的方程 x2－2x＋d=0 有实根，
则点 在⊙ O 的
。
三、课堂练习 1. 已知⊙ O 的半径为 10 厘米，根据下列点 P 到圆心的距离，判定点 P 与圆的位置 关系，并说明理由.
（1）8 厘米；（2）10 厘米；（3）12 厘米.
2．在△ ABC 中，∠ C=90°，AB=5cm，BC=4 cm，以点 A 为圆心，以 3 cm 为半径作圆，
请判断：（1）C、B、AB 的中点 D 与⊙A 的位置关系．
3.判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ).
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
4.经过一 P 点可以做
个圆；经过两点 P、Q 可以作
个圆，圆心在
上；
经过不在同一直线上的三个点可以作
（3）作圆，使该圆经过已知点 A、B、C 三点 ①当 A、B、C 三点不在同一直线上时，你是如何做的？如何确定圆心？你能作出几个
这样的圆？（如图 1）
② 当 A、B、C 三点在同一直线上时又如何？
点和圆的位置关系课件人教版九年级上册
当OP
时点P在圆内；当OP
点 P 不在圆外.
； 时，
初中数学
课后作业
3. 已知 AB =6 cm，画半径为4 cm的圆，使它经过A， B 两点. 这样的圆能画出多少个？如果半径为3 cm， 2 cm呢？
4. 思考：经过三个已知点 A，B ，C 作圆．
初中数学
同学们，再见！
已知 AB =6 cm，画半径为4 cm的圆，使它经过A，B 两点.
点和圆的位置关系
E 点到圆心的距 经过一个已知点 A 作圆．
点在圆上 点 P3 在圆内 d3＜r ．
r O 离等于半径 （2）若PO=4，则点P在
；
过一点可以画无数个圆．
A 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
初中数学
巩固练习
2. 体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4 m 和 5.1 m ，他们投出的铅球分别落在图中哪个 区域内？ 小明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ小丽
初中数学
巩固练习
3. 已知⊙O的面积为25π： （1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ； （2）若PO=4，则点P在 圆内 ； （3）若PO= 5 ，则点P在圆上； （4）若点P不在圆外，则PO__≤__5______．
A
D
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
B
C
初中数学
巩固练习
4. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
（2）以点A为圆心，4 cm 为半径作圆A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？
A
D
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
B
C
初中数学
巩固练习
4. 如图，已知矩形ABCD的边AB=3 cm，AD=4 cm.
《点和圆、直线和圆的位置关系》PPT课件 人教版九年级数学
人教版 数学 九年级 上册
24.2 点和圆、直线和圆的 位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
导入新知
我国射击运动员在奥运会 上获金牌，为我国赢得荣誉. 如图是射击靶的示意图，它是 由许多同心圆（圆心相同，半 径不相同）构成的，你知道击 中靶上不同位置的成绩是如何 计算的吗？
解决这个问题 要研究点和圆的
A N
作法：1. 连接AB，作线段AB的垂 F 直平分线MN；
2. 连接AC，作线段AC的垂直平分 B E O M C 线EF，交MN于点O；
3. 以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
探究新知
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原
了吗？
方法: 1. 在圆弧上任取三点A、B、C;
线段DM 5 22 2 02 13 2 5，所以点D在圆M内.
探究新知
素养考点 2 考查三角形的外接圆的有关知识
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到 BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC. 则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
素养目标
2. 会从公共点的个数或d和r的数量关系判定 直线和圆的位置关系.
1. 知道直线和圆的位置关系及有关概念.
探究新知 知识点 1 用公共点个数判断直线与圆的位置关系
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成 一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象 一下，直线和圆有几种位置关系吗？
探究新知
●
●
●
l
探究新知
探究新知
填一填
直线与圆的 位置关系
相离
相切
相交
24.2 点和圆、直线和圆的 位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
导入新知
我国射击运动员在奥运会 上获金牌，为我国赢得荣誉. 如图是射击靶的示意图，它是 由许多同心圆（圆心相同，半 径不相同）构成的，你知道击 中靶上不同位置的成绩是如何 计算的吗？
解决这个问题 要研究点和圆的
A N
作法：1. 连接AB，作线段AB的垂 F 直平分线MN；
2. 连接AC，作线段AC的垂直平分 B E O M C 线EF，交MN于点O；
3. 以O为圆心，OB为半径作圆.
所以⊙O就是所求作的圆.
探究新知
问题4:现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原
了吗？
方法: 1. 在圆弧上任取三点A、B、C;
线段DM 5 22 2 02 13 2 5，所以点D在圆M内.
探究新知
素养考点 2 考查三角形的外接圆的有关知识
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到 BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC. 则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
素养目标
2. 会从公共点的个数或d和r的数量关系判定 直线和圆的位置关系.
1. 知道直线和圆的位置关系及有关概念.
探究新知 知识点 1 用公共点个数判断直线与圆的位置关系
问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成 一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象 一下，直线和圆有几种位置关系吗？
探究新知
●
●
●
l
探究新知
探究新知
填一填
直线与圆的 位置关系
相离
相切
相交
24.2.1点和圆的位置关系(2)-2024-2025九年级数学人教版课件(上)
反证法的一般步骤
① 假设命题的结论不成立 ② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 ③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
1. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大 小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了 点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( B ) A．AB，AC边上的中线的交点 B．AB，AC边的垂直平分线的交点 C．AB，AC边上的高所在直线的交点 D．∠BAC与∠ABC的平分线的交点
线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这
与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与
C
已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的
三点不能作圆．
反证法的定义 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常 与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设 不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
解:(1)如图所示，☉O就是花坛的位 置
(2)∵∠BAC=90°， ∴BC是☉O的直径. ∵AB=8米，AC=6米， ∴BC=10米， ∴△ABC外接圆的半径为5米， ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
课堂小结
作 圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆
能 作经 无过 数一 个个 圆已
知 点
经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?
到A和B距离相等的点， 即圆心在线段AB的垂 直平分线上，所以圆 心和半径均不确定
经过两个已知点A，B 能作无数个圆
●O4
●O2
A
●O1
B
●O3
过不在同一直线上的三点A，B，C能不能确定一个圆?
① 假设命题的结论不成立 ② 从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 ③ 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
1. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大 小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了 点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( B ) A．AB，AC边上的中线的交点 B．AB，AC边的垂直平分线的交点 C．AB，AC边上的高所在直线的交点 D．∠BAC与∠ABC的平分线的交点
线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这
与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与
C
已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的
三点不能作圆．
反证法的定义 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常 与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设 不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
解:(1)如图所示，☉O就是花坛的位 置
(2)∵∠BAC=90°， ∴BC是☉O的直径. ∵AB=8米，AC=6米， ∴BC=10米， ∴△ABC外接圆的半径为5米， ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
课堂小结
作 圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
定理： 过不在同一直线上的三个点确定一个圆
能 作经 无过 数一 个个 圆已
知 点
经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?
到A和B距离相等的点， 即圆心在线段AB的垂 直平分线上，所以圆 心和半径均不确定
经过两个已知点A，B 能作无数个圆
●O4
●O2
A
●O1
B
●O3
过不在同一直线上的三点A，B，C能不能确定一个圆?
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圆的内部可以看成是 到圆心的距离小于半径的的点的集合；
圆的外部可以看成是 到圆心的距离大于半径的点的集合 .
点与圆的位置关系
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
则有：
p
d
点P在⊙O内
d＜r
r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d= r
d ＞r P d
r
d
r
p
随堂练习
1：⊙O的半径6cm，当OP=6时，点 P在 圆上 ；当OP ≤6 时点P在 圆内；当OP ＜6 时，点P不在圆 外。
所以圆 O就是所求作
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做三
A
角形的 外接圆 。
三角形外接圆的圆心叫做这个
三角形的 外心。
这个三角形叫做这个圆的 B 内接三角形。
●O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
画出由所有到已知点的距离大于或等于 2cm并且 小于或等于 3cm的点组成的图形 .
O·2cm
过一点可作几条直线？过两点呢？三点呢？
经过一点可以作无数条直线；
●A
●A
●B
过两点有且只有一条直线(直线公理)
问题:确定一个圆需要多少个点? 一个点、两个点还是三个点呢？
1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有 几个？圆心在哪里？
r
O
d=r
⑶点在圆外
r
d>r
·O
P
2、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 .
B A
C
O
圆心一定在弦的 垂直平分线上
小结与归纳
◆用数量关系判断点和圆的位置关系。 ◆不在同一直线上的三点确定一个圆。
◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了 方程的思想，希望同学们能够掌握这种 方法，领会其思想。
1、点和圆的位置关系有几种？ (令OP=d )
· ⑴点在圆内
P
r
O
d<r
· ⑵点在圆上 P
什么叫反证法？
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出 矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾 )， 由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这 种方法叫做 反证法．
（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？
P
l1
A
B
如图，假设过同一条直线l上三点A、
B、C可以作一个圆，设这个圆的圆
心为P，那么点P既在线段AB的垂直
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的
位置关系. A
A
A
●O
●O
●O
B
┐ CB
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内 ,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点 ,
钝角三角形的外心位于三角形外 .
3、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？
作法：
（ 1）经过 A,B两点的圆的圆心
●A
在线段AB的垂直平分线上 .
（ 2）经过 B,C两点的圆的圆心 在线段AB的垂直平分线上 .
●O
●B ┏
●C
（3）经过 A,B,C 三点的圆的圆心应
该这两条垂直平分线的交点 O的位
置.
平分线l1上，又在线段BC的垂直平
l2
分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而 l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过
一点有且只有一条直线与已知直线
C 垂直”相矛盾，所以过同一条直线
上的三点不能作圆．
反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明 的命题，主要有：
(1)命题的结论是否定型的； (2)命题的结论是无限型的； (3)命题的结论是“至多”或“至少”型的 .
圆 A，则点 B、C、D与圆A的位置关系
如何？(B在圆上， D在圆外， C在圆外)
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆 A，
则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
B
C
(B在圆内， D在圆上， C在圆外)
（3）以点A为圆心， 5厘米为半径作圆 A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内， D在圆内， C在圆上)
随堂练习
2.已知⊙O的面积为 25π： （1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ； （2）若PO=4，则点P在 圆内 ；
（3）若PO= 5
，则点 P在圆上；
（4）若点P不在圆外，则 PO___≤_5______ 。
典型习题
如图已知矩形 ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心， 3厘米为半径作
护国中学 龙易
生活中的数学
如果箭看成点，箭靶看成圆，那么上 面情境反映了点与圆的位置关系。
. .....o
.C . ..B..
.A
点在圆内，点在圆上，点在圆外
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分？
圆外的点
圆上的点
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类： 圆上的点，圆内的点和圆外的点。
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
课堂练习
判断题：
1、过三点一定可以作圆Байду номын сангаас
（）
2、三角形有且只有一个外接圆 （ ）
3、任意一个圆有一个内接三角形， 并且只有一个内接三角形 （ ）
4、三角形的外心就是这个三角形任意两边
垂直平分线的交点
（）
5、三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
如何解决“破镜重圆” 的问题：
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
我们的结论 : 过一点可以画 无数个圆
圆心为点 A以外任意一点，半径为这点与点 A 的距离
2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B 的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
●
●●
O
OO
过两点画无数个。它们的圆心都在线段 AB的垂直平 分线上。 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为 圆心,以这点 到A或B的距离为 半径作圆.
1、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆 ( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( √ )
2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的
形状为( B )
A、锐角三角形
圆的外部可以看成是 到圆心的距离大于半径的点的集合 .
点与圆的位置关系
设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
则有：
p
d
点P在⊙O内
d＜r
r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d= r
d ＞r P d
r
d
r
p
随堂练习
1：⊙O的半径6cm，当OP=6时，点 P在 圆上 ；当OP ≤6 时点P在 圆内；当OP ＜6 时，点P不在圆 外。
所以圆 O就是所求作
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．
经过三角形三个顶点的圆叫做三
A
角形的 外接圆 。
三角形外接圆的圆心叫做这个
三角形的 外心。
这个三角形叫做这个圆的 B 内接三角形。
●O C
三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分 线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
画出由所有到已知点的距离大于或等于 2cm并且 小于或等于 3cm的点组成的图形 .
O·2cm
过一点可作几条直线？过两点呢？三点呢？
经过一点可以作无数条直线；
●A
●A
●B
过两点有且只有一条直线(直线公理)
问题:确定一个圆需要多少个点? 一个点、两个点还是三个点呢？
1、平面上有一点A，经过已知A点的圆有 几个？圆心在哪里？
r
O
d=r
⑶点在圆外
r
d>r
·O
P
2、定理：不在同一直线上的三点确定一个圆 .
B A
C
O
圆心一定在弦的 垂直平分线上
小结与归纳
◆用数量关系判断点和圆的位置关系。 ◆不在同一直线上的三点确定一个圆。
◆在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了 方程的思想，希望同学们能够掌握这种 方法，领会其思想。
1、点和圆的位置关系有几种？ (令OP=d )
· ⑴点在圆内
P
r
O
d<r
· ⑵点在圆上 P
什么叫反证法？
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出 矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾 )， 由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这 种方法叫做 反证法．
（2）经过同一条直线三个点能作出一个圆吗？
P
l1
A
B
如图，假设过同一条直线l上三点A、
B、C可以作一个圆，设这个圆的圆
心为P，那么点P既在线段AB的垂直
一个三角形的外接圆有几个？ 一个圆的内接三角形有几个？
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，
再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的
位置关系. A
A
A
●O
●O
●O
B
┐ CB
C
B
C
锐角三角形的外心位于三角形内 ,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点 ,
钝角三角形的外心位于三角形外 .
3、平面上有三点A、B、C，经过A、B、C 三点的圆有几个？圆心在哪里？
作法：
（ 1）经过 A,B两点的圆的圆心
●A
在线段AB的垂直平分线上 .
（ 2）经过 B,C两点的圆的圆心 在线段AB的垂直平分线上 .
●O
●B ┏
●C
（3）经过 A,B,C 三点的圆的圆心应
该这两条垂直平分线的交点 O的位
置.
平分线l1上，又在线段BC的垂直平
l2
分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而 l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过
一点有且只有一条直线与已知直线
C 垂直”相矛盾，所以过同一条直线
上的三点不能作圆．
反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明 的命题，主要有：
(1)命题的结论是否定型的； (2)命题的结论是无限型的； (3)命题的结论是“至多”或“至少”型的 .
圆 A，则点 B、C、D与圆A的位置关系
如何？(B在圆上， D在圆外， C在圆外)
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆 A，
则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
B
C
(B在圆内， D在圆上， C在圆外)
（3）以点A为圆心， 5厘米为半径作圆 A，则点B、C、 D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内， D在圆内， C在圆上)
随堂练习
2.已知⊙O的面积为 25π： （1）若PO=5.5，则点P在 圆外 ； （2）若PO=4，则点P在 圆内 ；
（3）若PO= 5
，则点 P在圆上；
（4）若点P不在圆外，则 PO___≤_5______ 。
典型习题
如图已知矩形 ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心， 3厘米为半径作
护国中学 龙易
生活中的数学
如果箭看成点，箭靶看成圆，那么上 面情境反映了点与圆的位置关系。
. .....o
.C . ..B..
.A
点在圆内，点在圆上，点在圆外
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分？
圆外的点
圆上的点
圆内的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类： 圆上的点，圆内的点和圆外的点。
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等腰三角形
课堂练习
判断题：
1、过三点一定可以作圆Байду номын сангаас
（）
2、三角形有且只有一个外接圆 （ ）
3、任意一个圆有一个内接三角形， 并且只有一个内接三角形 （ ）
4、三角形的外心就是这个三角形任意两边
垂直平分线的交点
（）
5、三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
如何解决“破镜重圆” 的问题：
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
我们的结论 : 过一点可以画 无数个圆
圆心为点 A以外任意一点，半径为这点与点 A 的距离
2、平面上有两点A、B，经过已知点A、B 的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
●
●●
O
OO
过两点画无数个。它们的圆心都在线段 AB的垂直平 分线上。 以线段AB的垂直平分线上的任意一点为 圆心,以这点 到A或B的距离为 半径作圆.
1、判断下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( √ ). (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( × ) (3)经过三点一定可以确定一个圆 ( × ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( √ )
2、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的
形状为( B )
A、锐角三角形