弹性力学的几个基本概念：应变课件

2xy
xy
2x
y2
2x2y
变形协调方程或相容方程
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24
物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比：刚度
正应力与正应变成正比：杨氏模量 E 侧向变形，泊松效应 μ
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25
弹性力学的平面问题
一切弹性体的空间的，三维的。 那为什么要考虑平面问题？
空间问题比较困难，平面问题比较简单 先做简单的事情，积累经验
剪应力是对称的。
x
x , y , xy
以平面问题说明
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12
应力张量的概念
两l个坐c标o面sn(上, 应x)力知
道m后，c其o它sn任(, 一y方) 向
上应力可以求出来。
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13
应力张量的概念：主应力和应力主向 某一方向剪应力为零
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14
应力张量的概念：主应力和应力主向
应力在作用截面的法线方向和 切线方向上的两个分量，分别 称为正应力σ和剪应力τ。
一点处的正应力和剪应力，其 大小和方向随选用的截面而变 化。以单向拉伸为例说明。
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8
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
应力张量的概念
在一点附近，沿三个 坐标方向切出三个面.
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4
弹性力学的几个基本概念 新课
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性悬体的臂受力梁 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂，
各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、
方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同
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5
弹性体的受力：外力和内力
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15
应力张量的概念：正应力、剪应力的极值
选取坐标轴为应力主向
正应力极值： 剪应力的极值：
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应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
x xy xz
xy y yz
xz
yz
z
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平面应力的Mohr 圆
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1
复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 理想弹性体：完全弹性、连续、均匀和 各向同性这4个基本假定的物体。
• 弹性力学通常假设物体受力之后的位移和 变形都远小于物体自身尺度，变形之后的 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。
• 有关方程做线性简化，并满足叠加原理。
外界作用于物体力称为外力。力的单位 N 外力可以分为体积力和表面力。 体积力有时也称为质量力， 重力和惯性力；体积力的单位 N/m3
高速旋转的物体可能因离心力作用而发生 破坏。不过，体积力一般可不考虑
表面力是作用在物体表面的力，如流体压 力和接触力。表面力的单位：N/m 2 = Pa
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6
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2
复习：弹性力学的内容和方法
• 弹性力学问题，通常是已知物体的形状、 大小和弹性常数，物体边界受力或约束情 况，而物体内部的受力、物体的变形或位 移则是需要求解的未知量。
• 考虑静力学建立平衡微分方程； 根据微分 线段上形变与位移之间的几何关系，建立 几何方程；根据应力与形变之间的物理关 系，建立物理方程。
注意：平面以其法线
来定义方向的。
应力的方向和正负
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9
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
正应力与面外法向一致 为正，即以拉应力为正
在面外法向与坐标轴一 致时，剪应力与坐标轴 一致为正；反之亦然
应力的方向和正负
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应力张量的概念
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
设想将物体切开，分开两部分 的相互作用可以用力来表示。 力随位置而变化。
取微小面积，将作用力除以面 积，在面积趋于零即趋于一点 时的极限，就是该点处应力。
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7
弹性体的受力：外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力， 单位面积的内力称为应力。
UA x y
VA
VB
PA 的转动量VA
UB
PB 的转动量UB
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弹性体的变形
x
ux,y
v y
xy
v x
u y
UA VA
VB
刚体移动：
UB
平移和转动
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23
弹性体的变形: 正应变 和 剪应变
x
ux,y
v y
xy
v x
u y
3 个应变是有两个位移确定的，
因而应变分量不是独立的，满足关系 ：
三个坐标面上应力知 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。
在材一料点力附学近定，义沿剪三应个力 坐以标使方物向体切顺出时三针个旋面转. 注为意正：，平面以其外法 线因来而定是义反方对向称的的。
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11
应力张量的概念 中心点 C 力矩平衡
两个坐标面上应力知 道后，其它任一方向 上应力可以求出来。
对有些特定的物体，将其间化为平面问题， 可能更能体现物体的受力和变形特征。
模型应尽可能简单，简单到不失真为止；
模型应尽可能复杂，复杂到能解决为止；
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弹性力学的平面问题
平面应力问题： 很薄的等厚薄板 受力情况： 只在板边上受平行 于板面且不沿厚度 变化的面力和约束
• 在物体的边界上，还要建立边界条件。
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3
Байду номын сангаас
复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性体的受力 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂，
各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、
方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同
选取坐标轴为应力主向
τ
l cosn(, x)
mcosn(, y)
2α
σ2
(σ1+σ2)/2
σ1
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弹性体的变形
• 弹性体受力之后的变形和位移都很小， • 可以用变形之前悬的位臂置和梁尺度表示变形之
后的位置和尺度。
• 对于物体中的每一点，都有确定的空间位 置，用坐标表示。
• 物体受力之后，各点都会产生微小的位置 变化，也就是位移。
• 不同的点位移不同，就会引起变形。
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弹性体的变形
UA VA
VB
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
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20
弹性体的变形: 正应变
x
ux,y
v y
UA VA
VB
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
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弹性体的变形: 剪应变
v u
x y
v u