全微分例题及解析

全微分例题及解析

1.求函数z=5x2+y2在x=1,y=2, Δx=0.05,Δy=0.1

时的全增量和全微分

解：全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)

=5(x+Δx)2+( y+Δy)2−(5x2+y2)

=0.9225

全微分:

由z=5x2+y2

∂z ∂x =10x, ∂z

∂y

=2y

Δz=10x∗0.05+2y∗0.01=0.9 2.求全微分

(1).z=e xy

解：∂z

∂x =ye xy∂z

∂y

=xe xy

dz=ye xy dx+xe xy dy (2)u=x y z

解：∂u

∂x =y2∂u

∂y

=xzy z−1

∂u

∂z

=xy z ln y

du=y2dx+ xzy z−1 dy+xy z ln y dz (3)z=ln(1+x2+y2)

解：∂z

∂x =2x

1+x2+y2

∂z ∂y =2y

1+x2+y2

dz=2x

1+x2+y2dx+2y

1+x2+y2

dy

3.计算z=x

x2+y

当在x=1,y=2时的全微分

解：∂z

∂x =y−x2

(x2+y)2

∂z ∂y =−x

(x2+y)2

dz=y−x 2

(x2+y)2dx+−x

(x2+y)2

dy

=1

9dx−1

9

dy