探索轴对称的性质 PPT

(D)正方形
【解析】选C.一般的三角形不一定是轴对称图形，只有轴对称
图形，才可以看成是由图形的一部分关于某直线进行对称变换
得到.
3.如图，两个三角形关于直线l成轴对称，则相等的对应线段 是______，相等的对应角是_______.
【解析】相等的线段有AB与DF，AC与DE，BC与FE，相等的对应 角是∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与∠E. 答案：AB与DF，AC与DE，BC与FE∠A与∠D，∠B与∠F，∠C与 ∠E
4.如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知 OC是对称轴，∠A=35°，∠BCO=30°，那么∠AOB=_______.
【解析】因为图形关于OC对称， 所以△AOC≌△BOC， 所以∠A=∠B=35°， ∠BCO=∠ACO=30°， 所以∠AOC=∠BOC=180°-35°-30°=115°， 所以∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC=130°. 答案：130°
(2)如图2，根据“两点之间线段最短”，画出点Ａ关于河岸EF 的对称点A′，连接A′B交EF于点Q，则点Q到A，B的距离和最 短.
【高手支招】轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证 明等问题中有着重要的作用．我们在解轴对称问题时，应该仔 细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，根据对应的 原理法则，灵活巧妙地建立相应的数学模型.利用所学知识解 决实际问题.
【跟踪训练】
1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在
的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，
则∠AFE+∠BCD的大小是( )
(A)150°
(B)300°
(C)210°
(D)330°
【解析】选B.由轴对称图形的性质得，∠AFC=∠EFC，
∠BCF=∠DCF，所以∠AFE+∠BCD=2(∠AFC+∠BCF)=
5.如图所示，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 那么点E，F是否关于AD对称？若对称，请说明理由.
【解析】连接EF交AD于点O， 因为AD为∠BAC的平分线， 所以∠BAD=∠CAD. 又DE⊥AB，DF⊥AC， 所以∠AED=∠AFD=90°. 又AD=AD， 所以△AED≌△AFD， 所以AE=AF.
【归纳】(1)如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所 连的线段被_对__称__轴__垂直平分. (2)成轴对称的两个图形的_对__应__线__段__相等，_对__应__角__相等.
【预习思考】 轴对称图形的每对对应点的连线的位置关系如何？ 提示：平行或在同一条直线上.
知识点1 轴对称的性质及其应用 【例1】如图所示，△ABC与△DEF关于直线 MN对称，其中∠C=90°，AC=8 cm，DE=10 cm， BC=6 cm. (1)线段AD与MN的关系是什么？ (2)求∠F的度数. (3)求△ABC的周长和面积.
又AO=AO，∠BAD=∠CAD， 所以△AOE≌△AOF， 所以OE=OF，∠AOE=∠AOF， 又∠AOE+∠AOF=180°， 所以∠AOE=∠AOF=90°， 所以EF被AD垂直平分BF=45°.
知识点2 轴对称在实际中的应用 【例2】(6分)已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏， 游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又 立刻将球传给甲.若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站 在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同.问乙和丙必须 站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所 用的时间最少？
【互动探究】例题中BA与ED延长线的交点与MN的位置关系是什 么？ 提示：对应线段或其延长线的交点一定在对称轴上，故BA与ED 延长线的交点在MN上.
【规律总结】 轴对称性质应用的“三个关键”
(1)熟记性质：要熟记轴对称图形及轴对称的性质. (2)准确找点：根据题目条件和图形特征，准确地找出图中的 对称点. (3)确定对应：确定对应线段，对应角.
【互动探究】轴对称变换在解决问题中所起的作用是什么？ 提示：实现了线段长度的等量转化，将直线同侧两定点问题转 化为直线异侧两定点问题.将不共线的多条路径转化到一条直 线上.
【规律总结】 利用轴对称确定位置
利用轴对称，可以解决实际问题，如求最短距离、平面镜成像 问题．轴对称的作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位 置．
2 探索轴对称的性质
探究：如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这 个数字，将纸打开后铺平.
(1)图中，两个“14”的关系是_关__于__折__痕__对__称__.
(2)在上面扎字的过程中，点E与E′_重__合__，点F与点F′_重__合__， 设折痕所在的直线为l，连接点E和E′的线段被直线l _垂__直__平__分__、连接点F和点F′的线段被直线l_垂__直__平__分__. (3)线段AB_∥__A′B′，CE_∥__C′E′. (4)∠1_=_∠2，∠3_=_∠4.
【解题探究】(1)因为点A与点D的关系是一对_对__应__点__， 所以MN_垂__直__平__分__AD. 理由是：如果两个图形关于某条直线对称，那么任何一 对对应点所连线段被对称轴_垂__直__平__分__. (2)①△ABC与△DEF全等吗？为什么？ 答：_全__等__，__成__轴__对__称__的__两__个__图__形__全__等__.
3.如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD 上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为( )
(A)15°
(B)30°
(C)45°
(D)60°
【解析】选C.根据折叠对应角相等可得到∠ABE=∠DBE，
∠CBF=∠DBF，且∠ABE+∠DBE+∠CBF+∠DBF=90°，所以可求
1.如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的 三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开， 得到的图案是图中的( )
【解析】选C.根据轴对称的性质进行判断或实际动手操作.
2.在以下各图形中，不一定能由其一部分关于某直线进行轴对
称变换得到的是( )
(A)圆
(B)扇形
(C)三角形
②由此你能得到哪些相等的线段，相等的角？ 答：相等的线段有：_A_B_=_D_E_，__B_C_=_E_F_，__A_C_=_D_F_， 相等的角有：_∠__A_=_∠__D_，__∠__B_=_∠__E_，__∠__C_=_∠__F_. ③所以∠F=__9_0_°. (3)根据(2)的结论，得到△ABC的周长为_2_4_cm，面积为_2_4_cm2.
【跟踪训练】 4.如图，现有一条地铁线路l，小区A，B在l的同侧，已知地铁 站两入口C，D间的长度为a米，现设计两条路AC，BD连接入口 和两小区. 地铁站入口C，D设计在何处，能使所修建的公路AC 与BD之和最短？
【解析】作点A关于l的对称点A1， 过点A1作AA1的垂线，在垂线上 截取A1A2=a，连接A2B，交l于点D， 沿点D向左截取DC=a，则C，D即为所求作的点.此时AC+BD最小.
2×150°=300°.
2.如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后 折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“1”的图形， 将纸片展开，得到的图形是( )
【解析】选D.根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去 一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要在B， D两项中选择；从剪去的形如“1”的图形方向看箭头朝内.
5.如图，小河边有两个村庄A，B．要在河边建一自来水厂向A 村与B村供水． (1)若要使自来水厂到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使自来水厂到A，B村的水管最省料，则自来水厂应建 在什么地方？
【解析】(1)如图1，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端 点的距离相等”．画线段AB的垂直平分线，交EF于点P，则点P 到A，B的距离相等，所以自来水厂应建在图1中的P点处.
【规范解答】如图所示，
……………………………………3分 1.分别作点P关于OA，OB的_对__称__点__P1，P2. …………………4分 2.连接_P_1_P_2 ，与OA，OB分别相交于点M，N. ……………5分 因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处， 丙必须站在OB上的N处时，才使所用时间最短. …………6分