14.1.3 积的乘方
14.1.3积的乘方-人教版八年级数学上册教案
14.1.3积的乘方-人教版八年级数学上册教案
一、教学目标
1.理解积的乘方的概念；
2.掌握积的乘方的计算方法；
3.能够运用积的乘方解决实际问题。
二、教学重难点
1.确定积的乘方的概念；
2.确定积的乘方的运算规则；
3.熟练掌握积的乘方的运算方法。
三、课前准备
1.教材《人教版八年级数学上册》；
2.教辅材料；
3.常规文具。
（黑板、粉笔等）
四、教学过程
（一）导入
1.引入积的概念，复习乘法运算；
2.向学生提问：1) 3×3×3×3的意义是什么？ 2) 5×5×5×5×5的意义是什么？（二）讲授
1.讲解积的乘方的概念及其运算方法；
2.分析并解释积的乘方运算法则；
3.通过例题指导学生掌握积的乘方的运算方法。
（三）练习
1.完成课本上的练习题；
2.选做教辅材料上的练习题；
3.在教师的指导下，应用积的乘方解决实际问题。
（四）巩固
通过课堂练习、作业检查来巩固积的乘方的概念及其运算方法，并对学生的问题进行澄清和解答。
五、教学反思
本节课通过讲解积的乘方的概念及其运算方法，使学生掌握了积的乘方的基本概念和运算方法，能够应用积的乘方解决实际问题。
教学过程中重点讲解了积的乘方的运算规则，并且通过例题指导学生运用积的乘方解决问题，使学生能够在实际运用中理解积的乘方的概念。
在教学中，教师运用多种教学方式，例如导入、讲授、练习、巩固等环节，使学生在学习的过程中感受到积极向上的气氛，并且通过互动讨论等形式调动学生的思考能力，提高学生的学习效果。
14.1.3 积的乘方
2.下面的计算是否正确？如果有错误，请 改正. x3 (1) (xy2)3= x y6 (× ) 4 2)2=-4 b4 (2) (-2b (× )
积的乘方的运算性质： (ab)n=_____.(n为正整数) anbn (ab)n=_____. (n为正整数)
请你推广:
n = anbncn (n为正整数) 1 (abc)
(3) (2xnym)2
(4) (Байду номын сангаас2xy2z3)4
3.计算：
⑴ (-a2)3.(-a3)2
⑵ -(n2).(-n5)3 ⑶ a5.a3+(2a2)4
⑷ (-2a)3－(-a).(a)2
积的乘方的运算性质： (ab)n=_____.(n为正整数) anbn (ab)n=_____. (n为正整数)
你会计算吗？
逆用积 的乘方 的运算 性质
1 4 4 ( ) 2 2
1 4 原式 2） （ 2 1
1 100 100 ( ) 2 2 1 100 原式 2） （ 2 1
试一试
计算:
1.
14 4 ( ) 4 4
4 5
0.25 4 1 2005 2006 3. ( ) 3 3 14 10 4. ( ) 2 4
5. (m4)2+m5·m3=____,(a3)5·(a2)2=____. a19 2m8
填空： 16 ⑴ (1×2)4＝____;
16 14×24 =_____;
比一比
－216 ⑵ [3×(-2)]3＝_____; 33×(-2)3=_____; －216 1 1 1 1 2 12 12 ⑶( ×) = ( ) × ) = ( 36 2 3 36 2 3 你发现了什么?
14.1.3 积的乘方(13)
复习
回顾与思考 同底数幂的乘法运算法则：
am ·an = am+n （m,n都是正整数）
幂的乘方运算法则: (am)n=
amn (m、n都是正整数)
做一做
根据乘方的意义和同底数幂的乘法，完成下列各题：
(1) (2×3)2=(2×3) × (2×3) =(2×2) × (3×3) 2) 2) ( ( =2 × 3 (2) (ab)3=(ab) · (ab) · (ab) a· a) b· b) · = (a · · (b · = a( 3 ) b( 3 ) (ab · ab· ab· ab· ab)
【例3】地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别
代表球的体积和半径，那么 V 4 r 3． 地球的半径 约为6.37×106 m，它的体积大约是多少立方米?
例题解析
3
解：
4 V r3 3 = 4 ×(6.37×103)3 3 4 × 6.373×109 = 3
≈ 1.08×1021 ( m3)
=a · b ．
n
(a b) = a ·b (n是正整数). 积的乘方，等于各因式乘方的积.
n n
n
【例2】计算： (1)(2x)2 ; (3)(-2b2)4 ;
(2)(-3ab)3 ; (4)(-xy3)2 .
解： (1) (2x)2 =22x2 = 4x2 ; (2) (-3ab)3= (-3)3a3b3 = -27a3b3 ; (3) (-2b2)4= (-2)4 (b2)4 =16b8； (4)(-xy3)2= (-1)2x2(y3)2= x2 y6 ．
2 n
2 5
(ab) = a · b 反向使用:
《14.1.3积的乘方》教案
3.培养学生数学抽象素养，通过积的乘方法则的理解，让学生感悟数学抽象概念，形成对数学规律的深刻认识。
4.增强学生数学建模素养，学会将实际问题转化为数学模型，利用积的乘方法则进行简便运算，提高解决实际问题的效率。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调积的乘方法则以及如何应用于不同类型的数（正数、负数和零）。对于难点部分，如负数乘方的运算规则，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与积的乘方相关的实际问题，如计算具体物体的体积。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示积的乘方在几何图形面积或体积计算中的应用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“积的乘方在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了《14.1.3积的乘方》，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得思考和改进。
首先，关于教学内容的导入，我通过提问方式引导学生思考积的乘方在日常生活中的应用，希望能激发他们的兴趣。从学生的反应来看，这种方法还是有效的，他们能够积极参与进来。但在实际操作中，我发现有些学生对这个问题还是感到困惑，可能是我举例不够贴近他们的生活实际，以后在这方面需要多下功夫。
-对于零的乘方，如0^2，学生需要理解结果是0，但0^0是不确定的，不属于本节课的讨论范围。
人教版八年级数学上册《14.1.3积的乘方》教学设计
1.分组讨论：将学生分成小组，针对积的乘方运算规则进行讨论，鼓励学生提出疑问，共同解决问题。
2.交流分享：小组代表分享讨论成果，展示积的乘方运算的解题过程，提高学生的表达能力和逻辑思维能力。
2.引导学生运用已学的乘方知识，发现并总结积的乘方运算规律，提高学生的观察、归纳能力。
3.设计丰富的例题和练习，让学生在实际操作中掌握积的乘方运算方法，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情。
2.培养学生勇于尝试、善于思考的精神，增强学生的自信心。
②如果一个长方形的长是a厘米，宽是b厘米，求这个长方形的面积。
2.提高拓展题：设计一定数量的提高题，旨在培养学生的逻辑思维能力和数学应用能力。
-提高题：计算以下积的乘方，并解释计算过程。
① (2x - 3y)(3x + 2y)^2
② (a^2 + b^2)(a^2 - b^2)(a^2 + 2ab + b^2)
-拓展题：运用积的乘方运算，简化以下代数表达式。
① (x + y)(x^2 + xy + y^2)
② (2a - 3b)^3(2a + 3b)^3
3.课后反思：要求学生针对本节课的学习内容进行反思，总结自己在积的乘方运算中的优点和不足，并提出改进措施。
4.预习任务：布置下一节课的预习内容，让学生提前了解下节课的学习目标，培养学生的学习计划性和自主学习能力。
3.提出问题：引导学生思考，当两个数相乘后再进行乘方运算，应该如何计算？从而引出本节课的主题——积的乘方。
《14.1.3积的乘方》教学设计
《14.1.3 积的乘方》教学设计武威第九中学：张天娥教学目标1.知识与技能：能准确理解并掌握积的乘方运算性质，灵活运用这一性质进行相关计算。
2.过程与方法：通过探索积的乘方运算法则的过程，知道这一法则是由乘方的意义和乘法的交换律结合律以及同底数幂相乘的法则推到而来，从而发展学生推理能力和有条理的表达能力。
理解学习这一法则，进一步体会幂的意义，体会数学的转化思想，理解“特殊与一般”的数学归纳方法。
3.情感、态度与价值：在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步让学生体会学习数学的方法和兴趣，提高学生学习数学的信心，感受数学的简洁美。
重、难点与关键1．重点：理解并正确熟练地运用积的乘方运算法则2．难点：积的乘方运算法则的探索过程及其应用方法。
3．关键：要突破这个难点，教师应该在引导这个推导过程时，步步深入，•层层引导，而不该强硬地死记公式，只有在理解的情况下，才可以对积的乘方的运算性质灵活地应用。
教学方法采用“探究新知，交流归纳，实例探究，讲练结合”的方法，让学生在互动中掌握知识。
教学过程一、创设情境，复习旧知课堂演练1.计算:（1） 10×102× 103 =______ ；（2） (x5 )2=_________.2.（1）同底数幂的乘法：a m·a n=_________ ( m，n都是正整数)。
（2）幂的乘方：(a m)n=_________ (m,n都是正整数）教师活动：利用联系提问学生复习在前面学过的同底数幂的运算法则；幂的乘方运算法则。
学生活动：踊跃举手发言，解说老师的提问．二、直接导入，探究新知问题1 计算：（1）(2×3)2 (2)(2a)3学生探究教师提问：这种形式为积的乘方，我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ 问题2 根据乘方的意义及乘法交换律、结合律进行计算：（1）(ab)2 (2)(ab)3同学们思考怎样计算(ab)2 ，每一步的根据是什么？师生完成计算领会这两个幂的运算法则.教师质疑：(ab)n =?推理验证：（ab ）n ==a n b归纳总结：积的乘方法则：（ab ）n =a n b n （n 为正整数），这就是说，积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
14.1.3积的乘方
14．1.3 积的乘方1．掌握积的乘方的运算法则．(重点)2．掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用．(难点)一、情境导入 1．教师提问：同底数幂的乘法公式和幂的乘方公式是什么？ 学生积极举手回答：同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．幂的乘方公式：幂的乘方，底数不变，指数相乘．2．肯定学生的发言，引入新课：今天学习幂的运算的第三种形式——积的乘方． 二、合作探究 探究点一：积的乘方 【类型一】 直接利用积的乘方法则进行计算 计算：(1)(－5)3；(2)－(3x 2y )2；(3)(－2c 3)3；(4)(－3m )2. 解析：直接应用积的乘方法则计算即可．解：(1)(－5)3＝(－5)3a 3b 3＝－125a 3b 3；(2)－(3x 2y )2＝－32x 4y 2＝－9x 4y 2； (3)(－2c 3)3＝(－)3a 3b 6c 9＝－a 3b 6c 9；(4)(－3m )2＝(－1)2x 26m ＝x 26m . 方法总结：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．【类型二】积的乘方在实际中的应用太阳可以近似地看作是球体，如果用V 、R 分别代表球的体积和半径，那么V＝πR 3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米？(π取3) 解析：将R ＝6×105千米代入V ＝πR 3，即可求得答案． 解：∵R ＝6×105千米，∴V ＝πR 3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)． 答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．方法总结：读懂题目信息，理解球的体积公式并熟记积的乘方的性质是解题的关键． 【类型三】含积的乘方的混合运算计算：(1)－4·()·(－2x )；(2)(－a 3b 6)2＋(－a 2b 4)3.解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．解：(1)原式＝42·x 2y 4·8x 6＝8x 9y 6；(2)原式＝a 6b 12－a 6b 12＝0. 方法总结：先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项． 探究点二：积的乘方的逆运算【类型一】 利用积的乘方的逆运算进行简便运算计算：()2015×()2016. 解析：将()2016转化为()2015×，再逆用积的乘方公式进行计算． 解：原式＝()2015×()2015×＝(×)2015×＝.方法总结：对公式·＝()n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．运用此公式可进行简便运算．【类型二】利用积的乘方比较数的大小试比较大小：213×310与210×312.解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.方法总结：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．三、板书设计积的乘方积的乘方公式：()n＝(n为正整数)．即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学．教师在讲解积的乘方公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：·＝()n，同时教师为了提高学生的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－(n为正整数)；当n为偶数时，(－a)n＝(n为正整数)．。
教学设计方案：14.1.3 积的乘方 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
教学设计方案14.1.3 积的乘方【教学目标】：知识与技能目标：会进行积的乘方运算，进而会进行混合运算。
过程与分析目标：经历探索积的乘方运算法则的过程，明确积的乘方是通过乘方的意义和乘法的交换律以及同底数幂的运算法则推导而得来的。
理解积的乘方的运算法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
【教学重点】：积的乘方是整式乘除运算的基础，本节课的重点是积的乘方运算。
【教学难点】：弄清幂的运算的根据，避免各种不同运算法则的混淆。
突出幂的运算法则的基础性，注意区别与联系。
【教学过程】：一、顾与思考1、口述同底数幂的运算法则。
2、口述幂的乘方运算法则。
3、计算：（1）()34x (2) a2a• (3) 34xx•二、计算观察，探索规律做一做：（1）()2ab=(ab)·(ab)=(aa)·(bb)=()()ab(2) ()3ab= = =()()ab(3) ()4ab= = =()()ab提出问题：（1）同学们通过上述这几道题的计算 、观察一下，你能得到什么规律？（2）如果设n 为正整数，将上述的指数改成n 即：()n ab ,其结果是什么呢？ 教师活动：提出问题，引导，启发。
学生活动：计算、观察、讨论、回答。
教学方法与媒体：投影显示问题，学生自主探索，讨论交流。
点评：积的乘方是幂的第三个运算法则，也是整式乘法的基础，在内空处理上仍然先通过数字的指数为例让学生计算，而后引导学生自主探索，讨论交流，归纳出一般指数情形的性质，即，概括出：（ab ）n ＝个）（n ab (ab)(ab)⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝ 个）（n a a a ⋅⋅⋅⋅ • 个）（n b b b ⋅⋅⋅⋅＝ a n b n 有 （ab ）n ＝ a n b n （n 为正整数）尽可能地让学生主动建构，获得新知，通过脑筋，动口，动手提高自我总结能力。
教学时引导教学关注每一步的根据。
三、举例应用例3 计算：（1）（2b ）3；（2）（2×a 3）2 （3）（－a ）3；（4）（－3x ）4解（1）（2b ）3＝23b 3＝8b 3；（2）（2×a 3）2＝22×（a 3）2＝4×a 6（3）（－a ）3＝（－1）3•a 3＝－a 3（4）（－3x ）4＝（－3）4 • x 4＝81 x 4教师活动：组织、讲例、提问学生要求：口答、板演。
14.1.3积的乘方
14.1.3 积的乘方
解：(1)(－x2y)3＝(－1)3·(x2)3·y3＝－x6y3. (2)(－an)5·[－(a5)n] ＝(－1)5·(an)5·(－1)· a5n ＝a5n·a5n ＝a10n. (3)(－an)3·(－bn)2－(a3b2)n ＝(－1)3·(an)3·(－1)2·(bn)2－(a3)n·(b2)n ＝－a3nb2n－a3nb2n ＝－2a b .
3n 2n
14.1.3 积的乘方
例3
已知 xn＝5，yn＝3，求(－xy)2n 的值．
2n 2n 2n 2n 2n n 2 n 2 2 2
解： (－xy) ＝(－1) · (xy) ＝x · y ＝(x ) · (y ) ＝5 · 3 ＝225.
[归纳总结] 幂的混合运算的基本步骤：先算积的乘方，再算 幂的乘方，最后算同底数幂的乘法．
14.1.3 积的乘方
[解析] 第(1)小题中的“－”号含在底数中，表示单项式－ x2y 的系数是－1，而 1 省略不写，所以在应用积的乘方时不要 忘记系数的乘方是(－1)3＝－1.第(2)小题含有积的乘方运算， 同 时又含有同底数幂的乘法运算，应先进行积的乘方运算，而后 进行同底数幂的乘法运算．第(3)小题涉及整式的加减运算，应 按运算顺序进行，先计算积和幂的乘方，再进行加减运算．
n a （n为偶数）， n n n (－a) ＝(－1) a ＝ n －a （n为奇数）.
14.1.3 积的乘方
探究问题二
加减混合运算
例2
幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘、整式的
计算：
(1)(－x2y)3； (2)(－an)5·[－(a5)n]； (3)(－an)3·(－bn)2－(a3b2)n.
14.1.3 积的乘方