求解高阶行列式的一些常用方法1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求解高阶行列式的一些常用方法
蒋 娅
摘要: 高阶行列式的求解是高等代数和线性代数中行列式部分的重要内容，也是
行列式中的难点。纵观近几年的考研试题，高阶行列式多以计算题的形
式出现，其综合性较强，难度较大。因此，在解题过程中要进行周密的分析，根据行列式中行或列元素的特点来选择相应的方法。本文主要结合自己在教学过程中遇到的一些实例，介绍了求解高阶行列式的一些常用方法和技巧。这些方法对行列式的进一步研究有一定的借鉴指导意义。
关键词:高阶行列式；定义法；三角形法；递推法
高阶行列式的求解是高等代数和线性代数中行列式部分的重要内容，也是行列式中 的难点。纵观近几年的考研试题，高阶行列式多以计算题的形式出现，其综合性较强，难度较大。因此，在解题过程中要进行周密的分析，根据行列式中行或列元素的特点来选择相应的方法。计算行列式的方法很多，常用方法有：定义法、三角形法、递推法、归纳法、 加边法、析因子法等。
1 定义法
例1 计算n 阶行列式x
y
y x y x y x D n 0
(00)
...000 0
0 (00)
0...0=。
解： 由行列式的定义知此行列式除项nn a a a ...2211和1,12312...n n n a a a a -外其余乘积项都
是零，故n n n n r n r n y x y y y x x x D 1)1...23()
...12()1(....)1(.....)
1(--+=-+-=。
2 降阶化三角形法
y
x y y x y y x y x x y x x D n n ...000...00 0
0 0
0...0)1(0
(00)
(00)
..............00...000...1+-+按第一列展开
n n n
y x 1
)
1(+-+=
注1：定义法就是利用n 阶行列式的定义求行列式的方法。降阶化行列式法就是把原行列式通过按行（列）展开以降低阶数，从而转化为特殊的上（下）三角形行列式来求解的方法。
3 递推法
例2 计算2n 阶行列式n
n
n n n n n
n
n d c d c d c b a b a b a D 1
1
1
11111
2...
......
...
----=
。
解：
...
............
...
)1(0
.........
...
0111
1
1111
1211
11
1
111
1
2n
n n n n n
n n
n n n n n
n c d c d c b a b a b d d c d c b a b a a D ----+-----+行展开按第 1
1
1
111
1
1
121
1
1
1111
.........
...
)
1(...
...
...
...
----+-------=n n n n n n n n n n n n
n d c d c b a b a c b d c d c b a b a d a
)1(2)(--=n n n n n D c b d a
于是......))(()()2(21111)1(22=--=-=------n n n n n n n n n n n n n n n D c b d a c b d a D c b d a D ))()...()((111122221111c b d a c b d a c b d a c b d a n n n n n n n n ----=---- 4 拉普拉斯定理法
1
1
1
1111
)21()21(2...
......
...
)1(2,1----+++-n n n n n n n
n
n
n
n d c d c
b a b a d
c b a n D 行展开按第
)1(2)(--=n n n n n D c b d a 以下同递推法。
注2：递推法即是由原行列式n D 出发得出其与较低阶的行列式之间的关系式（即递推公式），最后得出n D 与2D 和1D 的关系。拉普拉斯定理法是该定理的直接应用。 5 差分法
例3 计算n 阶行列式b
a b
a b
a b a b
a
b a b
a b a D n +++++=
...
...000 0
0...000...
00...0。 解：
由221)(---+=n n n abD D b a D ，令ab q b a p -=+=,。由特征方程
02=--q p λλ得两特征根为：b a ==21,λλ。
若b a ≠，则n
n n n n b c a c c c D 212211+=+=λλ。
由,,2
221b ab a D b a D ++=+=有⎩
⎨
⎧
+=+++=+2
2212221b c a c b ab a b c a c b a 解方程组得：b
a b
c b a a c -=
-=21,。故所求b a b a D n n n --=++11。 若b a =，即特征方程有相等实根，这时n
n n n n na c a c n c c D 211211+=+=λλ。同样代入21,D D 可确定常数121==c c ，从而n
n a n D )1(+=。
所以有：⎪⎩⎪
⎨⎧≠--=+=++b a b
a b a b a a n D n n n n ,,)1(11
注3：差分法就是把关系21--+=n n n qD pD D 看着一差分方程，求出特征方程
2=--q p λλ的两个根；则
)
(212211λλλλ≠+=n n
n c c D 或
)(212211λλλλ=+=n n
n n c c D ，再从由21,D D 得到的方程组中定出常数21,c c 。