第4节 纯弯曲时横截面的正应力

E

y dA
A
2
EI
z
1

1


M EI
z
I z ——截面对z轴的惯性矩； EI z ——抗弯曲刚度。

——梁截面的曲率；
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
1 M EI
z


My Iz
E
y
弯曲正应力的 一般计算公式

注意 此公式虽然在纯弯曲情况下推导出来的，但对于 工程中许多剪切弯曲的情况也适用；
分析表明，对于梁的长度l 远大于其截面高度h的 细长梁，该式计算弯曲正应力是相当精确的。工 程中对于l > 5h 的情形，往往采用该式计算剪切弯 曲时的正应力。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
例7-7 简支梁受均布载荷q作用如图所示，已知 q=2kN/m，梁跨度l=3m，截面为矩形，b=80mm， h=100mm。求：（1）C截面上a、b、c三点处的正应 力；（2）梁的最大正应力值及其位置。
2
微元对z轴的惯性矩 微元对y轴的惯性矩
dI y z dA
2
上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩。
I z y dA
2 A
I y z dA
2 A
工程中常见的矩形、圆形等简单截面对其形 心主轴的惯性矩可在表7-1中查到。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
表7-1 简单截面对形心主轴的惯性矩和抗弯截面模量 图 形 形心主轴惯性矩
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
纵向纤维线应变变化规律

cd cd cd ( y )d d
d

y

2、物理关系 梁的纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，当正应力 不超过材料的比例极限时可应用胡克定律，因此可得 cd处的正应力为 y E E
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 3、静力平衡关系 如图所示，在截面上任 取一微面积dA，作用于该微 面积上的轴向力为dA。因 为截面上所有轴向力的合力 为零，则有：
2
2

1 8
ql
2 . 25 kN m
梁的最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘 处，最大正应力值为：

max

M
max
y max
Iz

2 . 25 10 50 10
3
3
6 . 67 10 10
6
12
Pa
16 . 9 M Pa
F ix 0
i 1
n
dA 0
A
E

ydA 0
A
S Z ydA
A
Sz 0
结论
中性轴必过截面的形心。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
截面所有微面积上的力对 z 轴的合力矩即为作用在该截 面上的弯矩：
M y dA
A
E
y

y
M yE
A

dA
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第四节
纯弯曲时横截面的正应力
一、截面的惯性矩
惯性矩的计算 如图所示，取截面上任一点 K的邻域dA，K点到 z 轴、y 轴 的距离分别为y、z，定义：
dI z y dA
2
微元对z轴的惯性矩
微元对y轴的惯性矩
dI y z dA
2
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
dI z y dA
3 4
6 . 67 10
6
m
4
计算各点的正应力
a
M
C
ya
Iz M
C

2 10 50 10
3
3
6 . 67 10 10
6 3
12 3
Pa 15 . 0 MPa Pa 8 . 97 MPa
3
b
c
yb
2 10 30 10 6 . 67 10 10
解：求支座反力
FR A 1 2 ql 3 kN
F RA
F RB
F R B 3 kN
1）计算C截面的弯矩
M
C
（ F RA
1 2 1 q 1 ） kN m 2 kN m 2
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 计算截面对中性轴z的惯性矩
bh 1 3 Iz 80 100 mm 12 12
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 结论：梁变形后，横向线依然保持直线，且与 梁变形后的轴线垂直。纵向线变为曲线，靠近梁顶 面的纵向线缩短，靠近梁底面的纵向线伸长。
平面假设：梁变形后横截面依然保持平面，且与梁 变形后的轴线垂直，横截面绕自身某轴作了转动。 纵向纤维单向受力假设：梁内各纵向纤维只产生轴 向拉伸或压缩变形。 中性层：梁在弯曲变形时， 一部分纤维伸长，一部分纤 维缩短，必然有一部分纤维 既不伸长也不缩短的层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
bh 12
3
抗弯截面模量
3
Iz
，I y
hb 12
Wz
bh 6
2
D Iz 64
4
4
D Wz 32
3
3
D 4 Iz (1 ) 64

d D
D 4 Wz (1 ) 32

d D
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 惯性矩的平行移轴公式
Iz Iz a A
2
C来自百度文库
Iy Iy b A
2
C
结论
截面对任一轴 z 的惯性矩等于该截面对过形心 而平行于 z 轴的 zC 轴的惯性矩加上两轴之间的距离 的平方与截面面积的乘积。此结论对任一 y 轴也同 样成立。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 二、纯弯曲的概念 纯弯曲：剪力值为零，弯矩值是一常数，内力只 有弯矩，而无剪力的弯曲变形称作纯弯曲。 剪切弯曲：弯曲内力既有弯矩、又有剪力的弯曲 变形称剪切弯曲（或横力弯曲）。 三、纯弯曲时横截面的正应力 1、几何关系 观察梁的变形：取一对 称截面梁，在其表面上画上 横向线m-m和n-n以及纵向线 ab和cd，在梁的纵向对称面 内施加一对等值、反向的力 偶，梁处于纯弯曲状态。
6 3
Iz M
C
12
yc
Iz

2 10 ( 50 10 6 . 67 10 10
6
)
12
Pa 15 . 0 MPa
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
2）作弯矩图 弯矩最大值发生在 跨中截面处，其值为：
M
max
F RA
F RB
FRA
1 l q 2 2 2 l