弯曲应力和强度.
8章弯曲应力及弯曲强度
x
Fs<0 M
递增函数
x
x
递减函数
Fs1–Fs2=F 由左到右的折角
Fs2
x
斜直线
曲线
M x
递增函数
M x
M
M
x
隆起 与 F相同
以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 a) 外力特征: 受横向载荷的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. b) 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件.
8.1 平面弯曲的概念和实例
对称面
c) 平面弯曲: 如果作用于杆件上的所有外力都在同一平面内，并 且弯曲变形后的轴线也位于这个平面内，则梁必关于 此平面对称，这类弯曲称为平面弯曲。
1 a y qL M x 1 M1 x1 Fs1 2 b FR MR
2 用截面法计算Fs1和M1 取1-1截面左边的梁段，根据平衡条件计算 Fs1和M1 .
1 2 M R M qL(a b) qb 2
FR qL qb
F
Y
0
ql FS1 0
M
c1
0
FS1 ql
FS 2 q( x2 a l )
M
c2
0
1 M ql x2 M 2 q( x2 a) 2 0 2
1 M 2 M qlx 2 q( x2 a) 2 2
8.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图
qL M 1 1 a y x 2
q
若取2-2截面右边的梁段，计算FQ2 FR qL qb 和M2.
F
y
0; ( FS ( x) dFs ( x) Fs ( x) q( x)dx 0
弯曲应力及强度计算
工程背景
第2页/共32页
1999年1月4日，我国重庆市綦江县彩虹
桥发生垮塌，造成：
40人死亡；
14人受伤；
直接经济损失631万元。
第3页/共32页
由工程实例可知：
工程中存在大量与弯曲强度有关的问题。
弯曲强度问题的研究对避免受弯结构的破坏 具有十分重要的意义。
研究弯曲强度问题
受弯构件内 应力的分布规律
12.75103 139103 403107
43.98MPa
如果T截面倒置会如何???
第19页/共32页
* 梁的剪应力强度条件
一、梁横截面上的剪应力
Q—横截面上的剪力
QS
* z
IZb
IZ—横截面对中性轴的惯性矩
S*Z—所求应力点以上或以下部分截面对中性轴的静矩 b—所求应力点的截面宽度
剪应力沿截面高度呈抛物线分布，在中性轴处最 大，在上下边缘处为零。
成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。
F A
F A
h(x) B
z
b
B
各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种
理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际 构件往往设计成近似等强的。
第29页/共32页
小结：
一、梁的应力：
横截面上的正应力： M y ; Iz
等直梁 max
Mmax所在横截面 离中性轴最远处
max
Mmax IZ
ymax
等直梁的最大弯曲正应力公式
第12页/共32页
* 梁的正应力强度计算
max
M max IZ
ymax
设 ymax为到中性轴的最远距离
材料力学 弯曲应力与强度条件
150 50
A
l 2
B
l 2
96 .4 C 50
200
z
M max
FL 16kNm 4
y
max max
200 50 96.4 153.6mm 96.4mm
max
My max IZ My max IZ
24.09MPa 15.12MPa
max
例题
长为2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m，梁上 承受均布荷载，q=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯 强度［σ］=215MPa。
q 30 kN m
A
0.5m
解：1、求支反力，画梁的弯矩图，确 定危险截面 FA 46.9KN , FB 28.1KN
E
y
X
A
0:
y
A
N dA E
A
dA
E
A
ydA 0
S Z ydA yc A 0(中性轴通过截面形心）
M
A
Z
0:
M Z ydA M
A
M yE dA
y
E
y 2 dA 令： y 2 dA I Z A
C截面
c
B
B截面
∴铸铁梁工作安全。如果T截面倒
例题
A
y 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F＝20kN。梁 的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应 150 力和压缩许用应力分别为[σ]+＝40MPa， [σ]－＝100MPa。试 校核梁的强度是否安全。 F 50 96 .4
梁的弯曲应力与强度计算
max
FS
S
* z
I zb
Sz*3 2(R2 t)33 2(R2 t)3 2R2t
Iz4(R2 t)44(R2 t)4R3t
b2t
max
2
FS
2Rt
2
FS A
8.3 梁的剪应力及其强度条件
8.3.2 梁的剪应力强度条件
一般情况，在剪力为最大值的截面的中性轴上，出现最大剪
应力
max
F S* Smax max Izb
zdA
A
Mz
ydA
A
FN
dA0
A
(c)
My
zdA0
A
(d)
Mz AydAMe
(e)
将式 E y
代入式(c)，得
AdAAEydA0
E
＝常量，
E
y dA 0
A
Sz 0
z 轴（中性轴）通 过截面形心。
梁的轴线在中性层内，其长度不变。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
E y
(b)
1 M EI z
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
M y Iz
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于这个平面内，上面的 公式就可适用。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
8.1.2 横力弯曲时横截面上的正应力 在工程实际中，一般都是横力弯曲，此时，梁的横截面上不
理论力学10弯曲的应力分析和强度计算
6
空心圆截面 空心矩形截面
IZ = πD4 (1 − α4 )
64
WZ =πD3 (1 − α4 )
32
b0 h0 b3 h IZ =−
1212
3 3
b0 h0 bh
3 36
弯曲的应力分析和强度计算
思考：
梁的截面形状如图所示，在ｘＯｚ平面内作用有正 弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？
P = ql
当梁上有多个外力作用时 各外力引起的内力互不相 关，因此可以分别计算各 外力所引起的内力，然后 进行叠加----叠加法
27
弯曲的应力分析和强度计算
§10-2 纯弯曲梁横截面上的正应力分析
梁弯曲时，横截面上一般有两种内力---剪力和弯矩，这 种弯曲称为横力弯曲。
梁弯曲时，横截面上只有弯矩，而没有剪力，这种弯曲 称为纯弯曲。
m
13
弯曲的应力分析和强度计算
三、剪力与弯矩方程 剪力图和弯矩图
设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可 以表示为坐标x的函数
Q = Q(x)
M = M (x)
--剪力方程 --弯矩方程
梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来 表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。
14
例2
如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为 已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
= q( x)
dx
20
弯曲的应力分析和强度计算
dx
M c = 0 M ( x) + dM ( x) − M ( x) − Q ( x)dx − q
( x)dx = 0 dM ( x)
∑
= Q( x) dx
梁的应力及强度计算
梁的应力及强度计算梁是一种常见的结构元件，用于承受或分配荷载。
在设计和分析梁的过程中，计算梁的应力及强度是非常重要的。
本文将详细介绍梁的应力及强度计算方法。
首先，梁的应力定义为单位面积上的力，用公式表示为：σ=M*y/I其中，σ表示梁的应力，M表示梁的弯矩，y表示距离中性轴的垂直距离，I表示梁的截面惯性矩。
梁的应力通常包括弯曲应力、剪切应力和轴向应力。
弯曲应力是由于弯曲力引起的应力，计算公式为：σ_b=M*y/I其中，σ_b表示弯曲应力。
剪切应力是由于纵向剪力引起的应力，计算公式为：τ=V*Q/(b*t)其中，τ表示剪切应力，V表示纵向剪力，Q为形状系数，b为梁的宽度，t为梁的厚度。
轴向应力是由于轴向力引起的应力，计算公式为：σ_a=N/A其中，σ_a表示轴向应力，N表示轴向力，A表示梁的截面积。
梁的强度是指在给定的荷载下梁能够承受的最大应力。
在计算梁的强度时，通常需要将不同种类的应力进行合并。
弯曲强度是指梁在弯曲荷载下的抗弯矩能力。
根据材料的弯曲性能和形状，可以采用破坏理论或变形理论计算梁的弯曲强度。
剪切强度是指梁在剪切荷载下的抗剪切能力。
根据材料的剪切性能和梁的几何形状，可以计算出梁的剪切强度。
轴向强度是指梁在轴向荷载下的抗轴向力能力。
轴向强度的计算通常基于材料的抗拉性能。
在进行梁的应力及强度计算时，还需要考虑其他因素，如材料的弹性模量、断裂韧性和安全系数等。
总之，梁的应力及强度计算是结构设计和分析中必不可少的一部分。
通过合理的计算方法，可以确保梁在荷载下的正常工作和安全使用。
材料力学--弯曲正应力及其强度条件
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例21：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
1m
例20：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面
的下边缘贴一应变片，已知材料的 E=200GPa，试问该应变片所测得的应变 值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
(1)
max
M max y2 Iz
[ ]
(2)
(1) 得： y1 [ ]
(2)
y2 [ ]
例16：图示外伸梁，受均布载荷作用，
材料的许用应力［σ］=160 MPa，校核 该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
静力学关系
1、变形几何关系
m
mn
m
aa
bb
mn
m
m
观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为
第八章 弯曲内力、应力及强度计算
例8-3 如图所示的悬臂梁上作用有均布载荷q，试画出该梁的 剪力图和弯矩图。
解：(1) 列剪力方程和弯矩方程，
将梁左端A点取作坐标原点。
剪力方程和弯矩方程
FQ (x) qx (0 x l) M (x) 1 qx2 (0 x l)
2
(2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一倾斜直线
弯矩图是一抛物线
解 (1)计算1-1截面上弯矩
M1 P 200 1.5103 200103 300N m
(2) 计算 1-1 截面惯性矩
Ix
bh2 12
1.8 32 12
4.05 10 3 m4
(3) 计算1-1截面上各指定点的正应力
A
M1 yA Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
拉应力
B
M1 yB Ix
300 1.5 102 4.05102
111106 N/m2
压应力
A
M1 yC Ix
M1 0 0N/m 2 Ix
D
M1 yD Ix
3001.5102 4.05102
74.1106 N/m2
压应力
例8-9 一简支木梁受力如图(a)所示。已知q=2kN／m，l=2m。试比 较梁在竖放(图(b))和平放(图(c))时横截面C处的最大正应力。
3、 画剪力图和弯矩图
FQ FQ
FQ
max
ql 2
ql 2 M max 8
例 4 简支梁AB,在C 点处受集中力P 作用, 如图所示。 试作此梁的弯矩图。
解 (1)求支座反力
M B 0 Pb FAl 0
FY 0 FA FB P 0
(2) 列弯矩方程
弯曲正应力、切应力与强度条件
M
C
拉
Z
C
Z
中性轴
拉
y
中性轴
y
压
中性轴将横截面分为 受拉 和 受压 两部分。
M yAz(
d)A E
Az
y dA
E
I
yz
0
Iyz0
因为 y 轴是横截面的对称轴，所以 Iyz 一定为零。 该式自动满足
中性轴是横截面的形心主惯性轴
M ZAy(
d)A E
A
y2 dA
E
Iz
M
1M
EI z
基本假设2: 纵向纤维无挤压假设
纵向纤维间无正应力。
公式推导
d
用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。
由平面假设可知，在梁弯曲时，
这两个横截面将相对地旋转一个
角度 d 。
横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。
m M
FS m
m
m
M
FS
m
m
只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力 只有与正应力有关的法向内力元素 dFN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力
一，纯弯曲梁横截面上的正应力
RA
P
P RB
C a
P
+
D a
+
P
+
Pa
推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。 几何 物理 静力学
2 假想地从梁段上截出体积元素 mB1
m'
m z
材料力学 第10章 弯曲应力及强度
a
Φ14
30 工件
Fa x
10.4 弯曲强度条件
例10-5 梁的载荷及截面尺寸如图所示，材料的容许拉应力
[t]=40MPa、容许压应力[c] =100MPa，试校核该梁的强度。
q=10kN/m
F=20kN
AB 2m
CD 3m 1m
q=10kN/m
A
B
FB M
F=20kN
C
D
FD
10kN.m
x
157.5 200 30
10.3 横力弯曲时梁的切应力
三、其它形状截面
T型截面
圆形截面
环形截面
max
z
max
FSS
* z,m
ax
I zb1
z
max
z
max
max
4 3
FS A
max
2
FS A
10.3 横力弯曲时梁的切应力
21 560
例10-2 56a号工字钢制成的简支梁如图所示，F=150kN，求最大 切应力及最大切应力所在截面上K点处的切应力。
ad bc
a
d
b
c
σσ
M
ττ
10.2 纯弯曲时梁的正应力
3. 变形几何关系
o1o2 dx ρdθ
k1k2 (ρ y)dθ Δl=k1k2 k1k2 ( ρ y)dθ ρdθ ydθ
dx 中性层
y o1
o2
k1
k2
dx 变形前
o
d
o1
o2
k1
k 2
变形后
10.2 纯弯曲时梁的正应力
第10章 弯曲应力及弯曲强度
10.1 引言 10.2 纯弯曲时梁的正应力 10.3 横力弯曲时梁的切应力 10.4 弯曲强度条件 10.5 提高梁弯曲强度的措施
弯曲正应力强度条件的内容
弯曲正应力强度条件的内容弯曲正应力强度条件的内容一、弯曲正应力强度条件的定义弯曲正应力强度条件是指在材料受到弯曲时，其最大正应力不能超过该材料的屈服极限。
这个条件是一种基本的材料设计原则，它可以用来保证材料在使用过程中不会发生破坏。
二、弯曲正应力强度条件的计算公式在进行弯曲试验时，我们通常会测量出受试样件上的最大正应力。
这个最大正应力可以通过下面的公式来计算：σ = M*y/I其中，σ表示最大正应力；M表示试样受到的最大弯矩；y表示试样截面上离中性轴距离最远的点到中性轴距离；I表示试样截面对中性轴的惯性矩。
三、弯曲正应力强度条件与屈服极限之间的关系根据材料学理论，屈服极限是指材料在受到外部载荷作用下开始发生塑性变形并且无法恢复原来形态时所承受的最大载荷。
因此，在进行材料设计时，我们需要确保所选用的材料的屈服极限大于或等于试样受到的最大正应力。
四、弯曲正应力强度条件的应用弯曲正应力强度条件是一种非常重要的材料设计原则，它可以用来保证材料在使用过程中不会发生破坏。
这个原则在许多不同领域都有广泛的应用，例如：1. 桥梁设计：在桥梁设计中，我们需要确保桥梁所使用的材料能够承受车辆和行人的重量。
因此，在进行桥梁设计时，我们需要计算出桥梁受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
2. 航空航天工业：在航空航天工业中，我们需要确保飞机和火箭等载具所使用的材料能够承受高速飞行时产生的巨大载荷。
因此，在进行航空航天工业设计时，我们需要计算出载具受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
3. 机械制造业：在机械制造业中，我们需要确保机械零件所使用的材料能够承受工作时所产生的载荷。
因此，在进行机械设计时，我们需要计算出机械零件受到最大荷载时所承受的最大正应力，并且确保该正应力小于所选用材料的屈服极限。
五、弯曲正应力强度条件的局限性尽管弯曲正应力强度条件是一种非常重要的材料设计原则，但是它仍然存在一些局限性。
5章弯曲应力及弯曲强度
第5章弯曲应力及弯曲强度
5.1 平面弯曲的概念和实例 弯曲： 弯曲： 以轴线变弯为主要特征 的变形形式。 的变形形式。 a) 外力特征 外力特征: 受横向荷载的作用， 受横向荷载的作用，即外 力或外力偶的矢量方向垂 直于杆轴. 直于杆轴 b) 变形特征 变形特征: 杆件的轴线由直线变为曲线. 杆件的轴线由直线变为曲线 以弯曲变形为主要变形的杆件. 梁：以弯曲变形为主要变形的杆件
x M(x)
5.2 剪力和弯矩与剪力图和弯矩图 图示简支梁受力F作用 试作此梁的内力图。 作用， 例 5-4 图示简支梁受力 作用，试作此梁的内力图。
a A C RA
b F L
b B L RB
计算约束反力. 解：①计算约束反力
a b RB = F RA = F L L 写出内力方程. ②写出内力方程 AC段 AC段： Fs1(x) = RA = b F L b M1(x) = RA ⋅ x = Fx L CB段 CB段： a Fs2 (x) = −RB = − F L a M2 (x) = RB ⋅ (L − x) = F(L − x) L
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
• 正负号规定： 正负号规定： M──使梁下部受拉为正， M──使梁下部受拉为正， 使梁下部受拉为正 通常M图绘制在受拉侧，不标正负号。 通常M图绘制在受拉侧，不标正负号。 Fs──使脱离体顺时针转为正，逆时针转为负。 ──使脱离体顺时针转为正，逆时针转为负。 使脱离体顺时针转为正 ──拉为正 压为负。 拉为正， FN──拉为正，压为负。 Fs 、FN图正值绘在上侧，并标明正负号。 图正值绘在上侧，并标明正负号。 • 阴影线规定： 阴影线规定： 阴影线垂直于杆轴，表示取值方向。 阴影线垂直于杆轴，表示取值方向。
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时：
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz＝ ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz＝ 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M＝Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心，因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力，以下 均受拉应力。 根据正应力公式，横截面上正应力沿截面高度（y） 按直线分布，在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP ＝32kN， l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm，横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求：弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解： 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA＝FRB＝16 kN。据内力分析，知梁中点截面 上弯矩最大
弯曲应力和强度.
第六章 弯曲应力和强度1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时，0≠=Q dxdM。
，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。
横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。
这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
（2）物理关系根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。
当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为y EE ρεσ==该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上ρE为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。
中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。
（3）静力关系截面上的最大正应力为zI My maxmax =σ 如引入符号m axy I W zz =则截面上最大弯曲正应力可以表达为zW M=max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。
它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]3长度。
矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：621223maxbh h bh y I W zz ===直径为d 的圆截面：3226433maxd d d y I W z z ∏=∏==至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如T 形截面。
这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：zt I My 1)(=σ 最大压应力为：ze I My 2)(=σ 2、横力弯曲时的正应力zI My=σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
弯曲强度和弯曲应力的关系
弯曲强度和弯曲应力的关系
弯曲强度是指材料在受弯曲载荷时能够抵抗变形和破坏的能力。
弯曲应力是指材料在受弯曲载荷时受到的内部应力。
弯曲强度和弯曲应力之间存在着密切的关系。
在弯曲加载下，材料的顶部受到压力，底部受到拉力，从而在材料内部产生一个弯曲应力分布。
这个应力分布的最大值被称为弯曲应力，通常会出现在截面的最外侧纤维。
弯曲应力的大小取决于弯曲力的大小、材料的几何形状以及材料的弯曲模量。
弯曲强度则是材料能够承受的最大弯曲应力。
它是一个用于描述材料抵抗弯曲载荷的关键参数。
不同材料拥有不同的弯曲强度。
弯曲强度与材料的化学成分、晶体结构、热处理状态以及微观缺陷有关。
弯曲强度和弯曲应力之间的关系可以通过材料的应力-应变曲线来理解。
在弯曲加载下，材料会发生弯曲变形，直至达到破坏点。
弯曲强度可以被认为是材料的应力-应变曲线中的最高点，即破坏点。
因此，弯曲强度与弯曲应力的大小直接相关。
然而，需要注意的是，弯曲强度并不是材料的固有属性，它还受到其他因素的影响，如试样的几何形状、加载速率以及试验条
件等。
因此，当比较不同材料的弯曲强度时，需要进行标准化的试验和参数处理。
总之，弯曲强度和弯曲应力之间存在着密切的关系。
弯曲强度是材料能够抵抗弯曲载荷的能力，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时受到的内部应力。
了解和掌握这两个参数之间的关系，对于材料的设计和应用具有重要的意义。
抗弯曲强度表示方法
抗弯曲强度表示方法
抗弯曲强度是材料在受到外力作用时，能抵抗弯曲变形的能力。
常用的抗弯曲强度表示方法有以下几种：
1. 弯曲应力-应变曲线：将材料在弯曲过程中的应力和应变进
行绘制，通过曲线的形状来表示抗弯曲强度。
2. 弯曲极限：表示材料在弯曲过程中最大能承受的应力。
3. 抗弯曲弹性模量：表示材料在弯曲过程中恢复原状的能力。
与抗弯曲强度相比，抗弯曲弹性模量更注重材料的变形和恢复性能。
4. 计算摄动：通过计算抗弯曲时产生的摄动值来表示抗弯曲强度。
摄动是指在外力作用下，材料表面产生的微小变形。
5. 受力面，弯矩和短期变形：将材料在弯曲受力状态下，受力面的变形、产生的弯矩及其变化等参数进行分析和计算，从而表示材料的抗弯曲强度。
这些方法都有各自的适用范围和特点，使用时需要根据具体情况选择合适的表示方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 弯曲应力和强度
1、 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时，
0≠=Q dx
dM。
，纯弯曲时，梁的横截面上只有弯曲正应力，没有弯曲剪应力。
根据上述实验观察到的纯弯曲的变形现象，经过判断、综合和推理，可作出如下假设： （1）梁的横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，并垂直于梁弯曲后的轴线。
横截面只是绕其面内的某一轴线刚性地转了一个角度。
这就是弯曲变形的平面假设。
（2）梁的纵向纤维间无挤压，只是发生了简单的轴向拉伸或压缩。
（2）物理关系
根据梁的纵向纤维间无挤压，而只是发生简单拉伸或压缩的假设。
当横截面上的正应力不超过材料的比例极限P ρ时，可由虎克定律得到横截面上坐标为y 处各点的正应力为
y E
E ρ
εσ=
=
该式表明，横截面上各点的正应力σ与点的坐标y 成正比，由于截面上
ρ
E
为常数，说明弯曲正应力沿截面高度按线性规律分布，如图所示。
中性轴z 上各点的正应力均为零，中 性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。
（3）静力关系
截面上的最大正应力为
z
I My max
max =
σ 如引入符号
m ax
y I W z
z =
则截面上最大弯曲正应力可以表达为
z
W M
=
max σ 式中，z W 称为截面图形的抗截面模量。
它只与截面图形的几何性质有关，其量纲为[]
3
长度。
矩形截面和圆截面的抗弯截面模量分别为： 高为h ，宽为b 的矩形截面：
62
1223
max
bh h bh y I W z
z ===
直径为d 的圆截面：
322
6433
max
d d d y I W z z ∏=∏==
至于各种型钢的抗弯截面模量，可从附录Ⅱ的型钢表中查找。
若梁的横截面对中性轴不对称，则其截面上的最大拉应力和最大压应力并不相等，例如
T 形截面。
这时，应把1y 和2y 分别代入正应力公式，计算截面上的最大正应力。
最大拉应力为：
z
t I My 1
)(=
σ 最大压应力为：
z
e I My 2
)(=
σ 2、横力弯曲时的正应力
z
I My
=
σ 对横力弯曲时的细长梁，可以用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式计算梁的横截面上的弯曲正应力。
3、弯曲正应力强度条件
梁在弯曲时，横截面上一部分点为拉应力，另一部分点为压应力。
对于低碳钢等这一类塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面。
因此，弯曲正应力的强度条件为：
[]σσ≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=max
max z W M
对于铸铁等这一类脆性材料，则由于其抗拉和抗压的许用应力不同，工程上常将此种梁的截面做成如T 字形等对中性轴不对称的截面（6-6b ），其最大拉应力和最大压应力的强度条件分别为
[]t z t t I My σσ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=max
max
)( 和 []c z c
c I My σσ≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=max
max )(
式中，t y 和c y 分别表示梁上拉应力最大点和压应力最大点的y 坐标。
[]t σ和[]c σ分别为脆性材料的弯曲许用拉应力和许用压应力。
4、弯曲剪应力
横力弯曲时，梁内不仅有弯矩还有剪力，因而横截面上既有弯曲正应力，又有弯曲剪应力。
同时，由于横力弯曲时梁的横截面不再保持为平面，弯曲剪应力不能采用综合变形条件、物理条件及静力条件进行应力分析的方法。
本节从矩形截面梁入手，研究梁的弯曲剪应力。
1．矩形截面梁的弯曲剪应力
（1）截面上任意一点的剪应力都平行于剪力Q 的方向。
（2）剪应力沿截面宽度均匀分布，即剪应力的大小只与y 坐标有关。
剪应力τ；顶面上有与τ互等的剪应力τ'。
在左、右侧面上的正应力1σ和2σ分别构
z
z
bI QS *='τ
由剪应力互等定理ττ='，可以推导出矩形截面上距中性轴为y 处任意点的剪应力计算公式为
z
z bI QS *
=τ
式中 Q ——横截面上的剪力
z I ——横截面A 对中性轴z 的轴惯性矩
b ——横截面上所求剪应力点处截面的宽度（即矩形的宽度）
*
z S ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分的面积*
A 对中性轴的静矩
矩形截面剪应力计算公式的具体表达式为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
2242y h I Q
z
τ
bh
Q
23max =
τ 说明矩形截面上的最大弯曲剪应力为其平均剪应力5.1倍。
2．工字形截面梁的弯曲剪应力
工字形截面可以看做由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。
仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式z
z bI QS *
=τ。
可得腹板上弯曲剪应力的计算公式
()
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=
222428y h h h H B bI Q
z τ 0=y 时，在截面中性轴上
()⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=8822max h b B BH bI Q z τ
2
h
y ±=时，在腹板与翼缘的交界处
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=8822min
Bh BH bI Q z τ 3.弯曲剪应力强度条件 []ττ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=max
*
max
z z bI QS 式中，[]τ为材料的许用弯曲剪应力。
利用剪应力互等定理，可推导出开口薄壁杆件横截面上距自由边缘为ξ处的剪应力计算公式为
5、提高弯曲强度的措
（1）合理安排梁的支承及载荷 （2）梁的合理截面 （3）等强度梁
z
z tI QS *
=τ。