全等三角形专题分类复习讲义

第三章全等三角形专题分类复习

一．考点整理 1.三角形的边角关系

2.三角形全等

3.三角形当中的三线（角平分线、中线和高线的性质） 在三角形中，三角形的三线分别交于一点。 注：三角形内角平分线与外角平分线模型归纳：

（1）

(2)

__________D ∠= ___________D ∠=

（3）

__________D ∠=

3.尺规作图

（1）作满足题意的三角形

（2）作最短距离（送水、供电、修渠道等最短路径问题）

角：内角和180度，余角和90度

边：构成三角形三边的条件

（1）证三角形全等（SSS/ASA/AAS/SAS/HL ）

（2）证边等或角等（证三角形全等、等量代换、证等腰三角形） （3）证“AE=BD+CE ”等（证线段之间的等量关系）类似问题（三角形全等证边等代换、截长补短）

（4）证线段之间的位置关系（垂直或平行 方法：证明角等代换）

A D

B

C A

B

C

D

A

B

C

D

考点1：证明三角形全等

例1. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。求证：

ACF BDE ∆≅∆。

练习：已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD. （1）求证：△AGE ≌△DAB

（2）过点E 作EF ∥DB ，交BC 于点F ，连结AF ，求∠AFE 的度数.

考点2：求证线段之间的数量关系（截长补短）

例1:如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，求证：AB=AC+CD ．

D

A B

C

G

E

F

P Q C

B

A

E

D

C

B A

例2：如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ． 变式：

如图，已知在ABC 内，0

60BAC ∠=，0

40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ

分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

练习：如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝

AD+BC 。

例3：练习：在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；

(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.

练习：1.在△ABC 中，,∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明

例4：如图，在ABC

∆中，AB BC

=，90

ABC

∠=。F为AB延长线上一点，点E在BC 上，BE BF

=，连接,

AE EF和CF。求证：AE CF

=。

考点3：线段之间的位置关系

例1：如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE GC

，．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论.

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点

E

落在BC边上，如图2，连接AE 和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

练习：如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

F

B C

A

M

N

E

1

2

3

4

2

A

考点4：证明角等

例1：如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，

垂足为D 。求证：21C ∠=∠+∠。

练习：.如图，,AP CP 分别是ABC ∆外角MAC ∠和NCA ∠的平分线，它们交于点P 。求证：

BP 为MBN ∠的平分线。

考点4：三角形中的三线（角平分线）

例1：如图，在ABC 中，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交，1

BC A ∠

与

1CD A ∠的平分线教育2A 。依次类推，4BC A ∠与4CD A ∠相交于点5A ，0

53A =∠，

则_____A ∠=度

1

A

D

C

B A

课后作业： 1.如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求

证：AD +BC =AB ．

2.如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。求证：2AC AE =。

3.如图，已知∠ABC=∠DBE=90°，DB=BE ，AB=BC ．(1)求证：AD=CE ，AD ⊥CE (2)若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则(1)中结论是否仍成立?请证明

P

E

D

C B A