初中数学 几何证明方法的基本定式(中位线)

几何证明的基本方法

三．构造中位线法（平行线法）

1. （全等）如图，点E 是BC 中点，CDE BAE ∠=∠，求证：CD AB =

（相似）如图，AD 是ABC ∆的中线，AC k AB ⋅=，点E 是AC 延长线上一点，且BAD AEF ∠=∠，EF 交BA 延长线于点F .探究AE 、AF 的数量关系.

2. （全等）如图，在EBC ∆中，BD 平分EBC ∠，延长DE 至点A ，使得ED EA =，且C ABE ∠=∠. 探究AB 与CD 的数量关系.

（相似）如图，BD 平分EBC ∠，D '是BD 上一点，且D B k BD '⋅=，连结C D '、DE ，并延长DE 至点A ，使得ED EA =，且C ABE ∠=∠.

探究AB 与D C '的数量关系.

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3.如图，四边形ABCD ，CD AB =，E 、F 分别为边AD 、BC 的中点，FE 的延长线分别交CD 、BA 的延长线于G 、H .

求证：CGF H ∠=∠

4.如图，在ABC ∆中，E 是BC 的中点，在AC 上有一点D ，且满足AB CD =，F 是AD 的中点，连结EF 并延长交BA 的延长线于点G .

求证：AF AG =

5.（全等）如图，等腰直角ABC ∆与等腰直角BDE ∆，P 为CE 中点，连接PA 、PD .

探究PA 、PD 的关系.

（相似）如图，ABC ∆与BDE ∆中，︒=∠=∠90BDE CAB ，AB k AC ⋅=，DB k DE ⋅=，P 为CE 中点，连接PA 、PD .

探究PA 、PD 的数量关系.

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6.如图， AOB ∆与COD ∆中，OB OA =，OD OC =，COD AOB ∠=∠.P 为CB 的中点，E 、F 分别为CD 和AB 的中点

⑴判断PE 、PF 的数量关系并证明；

⑵猜想EPF ∠与AOB ∠的关系并证明.

方法一：

方法二：

7.在等腰三角形ABC 和等腰三角形EDC 中，AC AB =，EC DE =，α=∠=∠DEC BAC ，P 、F 、H 分别为BE 、AB 、DE 的中点.探究：FPH ∠与α的关系.

8.如图，BAC ∆与DAE ∆具有公共的顶点A ，且DAE BAC ∠=∠，AC AB =，AE AD =，点F 、P 、G 分别为DE 、BE 、BC 的中点.连接PF 、PG .

猜想FPG ∠与BAC ∠的数量关系，并说明理由.

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9.如图，BAC ∆与DAE ∆具有公共的顶点A ，且DAE BAC ∠=∠，AC k AB ⋅=，AD k AE ⋅=，点F 、P 、G 分别为DE 、BE 、BC 的中点.连接PF 、PG .

猜想FPG ∠与BAC ∠的数量关系，并说明理由.

10.⑴如图1，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（BC CG >） 取线段AE 的中点P .

探究：线段PD 、PF 的关系，并加以证明.

⑵如图2，将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后，其他条件不变. 探究：线段PD 、PF 的关系，并加以证明.

11.如图，ABC ∆与DBE ∆中，︒=∠=∠90DEB ACB ，BC k AC ⋅=，BE k DE ⋅=，P 为AD 的中点.

⑴探究PC 、PE 的数量关系； ⑵探究CPE ∠与CAB ∠的关系. --4--