二.双曲线的参数方程

x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y 2 消去参数后，得 2 - 2 1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 y 2 - 2 1(a 0, b 0)的参数方程为： 2 a b
a
y A B' o B b

•M
A' x
x a sec (为参数) y b tan
3 通常规定 [0, 2 )且 ， 。 2 2
说明：
⑴ 这里参数
叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线的平行线, 分别与两 渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 的面积, 由此可以发现什么结论?
b 解: 双曲线的渐近线方程为 y x . 不妨设M为双曲 a 线右支上一点, 其坐标为 (a sec , b tan ) , 则直线MA的方 b 程为 y b tan ( x a sec ) a b 将 y x 代入上式, 解得点A的 a a 横坐标为 x A (sec tan ) 2
同理, 得点B的横坐标为
a xB (sec tan ). 2
设
AOx , 则
b t源自文库n , a
所以,
MAOB 的面积为
xA xB S | OA | | OB | sin 2 sin 2 cos cos 2 2 2 a (sec tan ) sin 2 2 4 cos a2 a 2 b ab tan . 2 2 a 2
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
焦点在y轴上的双曲线的参数方程
y aA ' B o b
•
M

A
x
B'
1 x b b cot φ tan φ
1 y a a cscφ sin φ
练习：
x 2 3 sec α 1、求双曲线 的两个焦点坐标. y 4 3 tan α (2 15,0)
由此可见, 平行四边形 MAOB 的面积恒为定值, 与点
M 在双曲线上的位置无关.
双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a
y
A o B

B'
•M
A' x
在OAA '中，x
| OA | a | OA ' | a sec , cos cos
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
1 x 3sec y x 2、双曲线{ (为参数)的渐近线方程为 ______ 3 y tan
例1、已知圆O : x ( y 2) 1上一点 P 与双曲线
2 2
x 2 y 2 1上一点Q ，求 P、Q 两点距离的最小值
解：设双曲线上点的坐标为Q (sec , tan ) 先求圆心到双曲线上点的最小距离 OQ sec (tan 2)
2 2 2
tan 2 1 tan 2 4 tan 4 2(tan 1) 2 3 5 当 tan 1, 即 或 时, OQ min 3 4 4 PQ min 3 1

x2 y2 例2. 如图, 设 M 为双曲线 2 2 1(a, b 0) 上任意一点, a b