4 无穷小量和无穷大量

三、无穷小与无穷大的关系 定理4 在自变量的同一变化过程中，如果 f ( x ) 定理 在自变量的同一变化过程中， 1 为无穷大， 为无穷小；反之， 为无穷大，则 为无穷小；反之，若 f ( x ) f ( x) 1 为无穷小， 为无穷大. 为无穷小，且 f ( x ) ≠ 0 ,则 为无穷大. f ( x)
x → x0
（3）无穷大一定是无界变量,但是无 ）无穷大一定是无界变量, 界变量未必是无穷大. 界变量未必是无穷大.
数学分析( 数学分析(上)
1 1 例如 , 当 x → 0时 , y = sin x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 1 (1) ∀M > 0, 取 xk = ( k = 0,1, 2, 3,L) π 2kπ + 2 π y( x k ) = 2kπ + , 当k充分大时, y( x k ) > M . ∴无界 2 1 (2) 对于M > 0, 取 xk ′ = (k ′ = 0,1,2,3,L) 2k ′π
ε
1 0 < x − x 0 < δ 时 , 恒有 < ε, f ( x)
1 ∴ 当 x → x 0时 , 为无穷小 . f ( x)
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反之 , 设 lim f ( x ) = 0 , 且 f ( x ) ≠ 0 .
x → x0
∴ ∀ ε > 0, ∃δ > 0, 使 得 0 < x − x0 < δ
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注: ①无穷小与很小的数不一样. 无穷小与很小的数不一样. ②
x 可以→ +∞ , −∞ , ∞ , x0 , x0 .
+
−
的无穷小. 例1 证明 x + 1 − x 是 x → +∞ 的无穷小. 证 因为
x → +∞
lim
(
x + 1 − x = lim
)
x → +∞
1 =0 x +1 + x
1 ∴ ∀ M > 0 , 对于 ε = , 则 ∃ δ > 0 , 使得当 M 1 0 < x − x 0 < δ 时 , 恒有 >M, f ( x)
1 ∴ 当 x → x 0时 , 为无穷大 . f (x)
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1 1 恒 有 f ( x ) < ε , 由于 f ( x ) ≠ 0, 而 > . f ( x) ε
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 推论 有限个无穷小的乘积是无穷小. 有限个无穷小的乘积是无穷小.
sinx . 例2 求 lim x→∞ x 1 解 因为 sin x 为有界函数 ,且 lim = 0 x→∞ x sin x 1 ∴ lim = lim sin x = 0 x→∞ x x→∞ x
0
正数 M，使得对 ∀x ∈U ( x0 ,δ1 ) ,都有u( x) ≤ M .
0
又设α是当x → x 0时的无穷小,
∴ ∀ ε > 0, ∃ δ 2 > 0, 使得当 0 < x − x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M
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取 δ = min{δ 1 , δ 2 },则当 0 < x − x 0 < δ时, 恒有 ε u⋅α = u ⋅ α < M ⋅ = ε, M ∴ 当 x → x 0时 , u ⋅ α 为无穷小 .
时的无穷小. 时的无穷小.
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如
时的无穷小. sin x是当 x → 0 时的无穷小.
1 时的无穷小. 是当 x → ∞ 时的无穷小. x −1
( − 1) n 是当 n → ∞ 时的无穷小 . n
−x
e
时的无穷小. 是当x → +∞ 时的无穷小.
0.000001不是无穷小，0 是无穷小。 不是无穷小， 是无穷小。 不是无穷小
关于无穷大的讨论, 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于 无穷小的讨论. 无穷小的讨论. 推论 有限个无穷大的 乘积仍是无穷大. 乘积仍是无穷大. 定理6 无穷大与有界量的和仍是无穷大. 定理6 无穷大与有界量的和仍是无穷大.
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例5 求 lim x − x + 1 . x →∞ x 2 + 3 x − 2
5
解 原式 = ∞
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小结: 小结: 当a 0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m 和n为非负整数时有 a0 b ,当 n = m , m m −1 0 a 0 x + a1 x + L + am lim = 0, 当 n > m , n n −1 x→∞ b x + b x + L + bn 0 1 ∞ ,当 n < m , x − arctan x . 例6 求 lim
2
令 x＝－t，原式＝ 1 ＝－t 原式＝
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定理5 复合运算法则) 定理5 (复合运算法则) 设y = f (u )与u = ϕ ( x )满足
(1)Rϕ ⊂ Df ;
ϕ (2) limϕ(x) = u0 , 且∃δ0 > 0, 对∀x ∈U(x0 ,δ0 ),都有 (x) ≠ u0;
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证
设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ M > 0 , ∃ δ > 0 , 使得当 0 < x − x 0 < δ 时 恒有 f ( x ) > M , 即 1 < 1 . f ( x) M 1 ∴ ∀ ε > 0 , 对于 M = , 则 ∃ δ > 0 , 使得当
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2、无穷小和函数极限的关系 无穷小和函数极限的关系 定理1 定理
x → x0
lim f ( x) = A
f ( x) = A + α
lim 其中 x → x α = 0
0
意义 给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表达 式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).
x→x0
0
(3) lim f (u) = A;
u→u0
则lim f [ϕ(x)] = lim f (u) = A.
x→x0
即
u→u0
x → x0
lim f [ϕ ( x )]
令 u = ϕ(x)
x→x0
lim φ( x) = u0
u → u0
lim f ( u)
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二、无穷大
x →∞
x + arctan x
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1+ x −1 例7 求 lim x →0 x
3
解 令 例8 求
3
1+ x = t
2
原式＝ ／ 原式＝1／3
2
x →+∞
lim ( x + x − x + 1）＝1／2
4x + x − 1 + x + 1
2
例9 求 lim
x → −∞
x + sin x
x→ x0 x→ x0
(3) 若 B ≠ 0 ,则
f ( x） A lim = x → x0 g ( x ) B
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例1 lim (a0 x n + a1 x n −1 + L + an −1 x + an）
x → x0
= a0 x0 + a1 x0
n
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n −1
+ L + a n − 1 x0 + a n .
x−3 . 例2 求 lim 2 x→ 3 x − 9
x−3 x−3 = lim 解 lim 2 x→3 x − 9 x → 3 ( x − 3)( x + 3) 1 1 = lim = x→ 3 x + 3 6
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2x3 + 3x2 + 5 . 例3 求 lim 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1 3 2 3x + 4x + 2 . 2 例4 求 lim 4 x→ ∞ 7 x + 5x − 3 3 4 2 + 2 + 4 x x x = 0=0 原式= x → ∞ 解 原式= lim 5 3 7 7+ 2 − 4 x x
但 | y ( xk ′ ) |= 2k ′π sin 2k ′π = 0 < M . ∴不是无穷大
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当 k ′ 充分大时 , x k ′ < δ ,
2 + 3x 时为无穷大. 例10 证明 当 x → 0 时为无穷大. x
证：对于 ∀M > 0
自己做 lim( x + 4) = ∞.
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4、极限运算法则 、
lim lim 定理4 定理4 设 x→ x f ( x ) = A x→ x g( x ) = B
0
则
0
lim (1) x→x ( f ( x) ± g( x)) = A ± B(可推广到有限个的情形) 可推广到有限个的情形)
0
(2)
x→ x0
lim[ f ( x) ⋅ g( x)] = A ⋅ B = lim f ( x) ⋅ lim g( x)
x → x0
和
x → x0
lim β = 0
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所以对于∀ε > 0 ，存在δ 1 > 0 和 δ 2 > 0 当 0 < x − x 0 < δ 1 时, 有 α < 当 0 < x − x 0 < δ 2 时, 有 β <
ε
2
ε
2 取 δ = min {δ 1 , δ 2 } ,则当 0 < x − x 0 < δ 时,有
γ =α+β ≤α + β <
lim 所以 x→x γ = 0
0
ε
2
+
ε
2
=ε
定理得证. 定理得证.
注 只能是有限个，无穷个不行. 只能是有限个，无穷个不行.
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定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 证 设函数 u 在 U ( x0 , δ 1 )内是有界的, 即存在 内是有界的,
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3、无穷小的运算性质: 、无穷小的运算性质: 定理2 有限个无穷小的和还是无穷小. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小. 只考虑两个无穷小的和. 证: 只考虑两个无穷小的和. 时的无穷小, 设 α , β 是当 x → x0 时的无穷小, 且
γ =α +β
因为 lim α = 0
第四节 无穷小和无穷大 一 无穷小 1、定义 若 lim α ( x ) = 0，
x → x0
时的无穷小量。 则称 α ( x ) 是当 x → x0 时的无穷小量。
ε − δ : 对于∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < , δ 有 α ( x ) < ε ,则称 α ( x )是当 x → x 0
x → x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
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）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（2）切勿将 lim f ( x ) = ∞ 认为极限存在 .
绝对值无限增大的变量称为无穷大. 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大 定义 对于 ∀M > 0 , ∃δ > 0 , 当 0 < x − x0 < δ ,
总有 f ( x) > M,则称函数 f (x)当 x → x0时为无 穷大,记作 穷大,
x→x0
lim f ( x) = ∞ .
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x→∞
2 + 3x 2 2 要使 ， = + 3 ≥ − 3 > M，只要 x x x
2 2 > 3 + M， 即 x < M +3 x
2 取δ= ,则对 ∀ M > 0 ， M+3 2 + 3x 当 0 < x < δ 时，有 >M x 2 + 3x 故 lim =∞ x→0 x
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