现代控制理论第三章

，转移到指定的任一终端状态工
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
2)也可以假定 一个无约束控制作用 动到任意
=0，而工
为任意终端状态，换句话说，若存在 内，能将 由零状态驱
，在有限时间
。在这种情况下，称为状态的能达性。 驱动到 ，而不计较
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非 唯一的，因为我们关心的只是它能否将 的轨迹如何。 2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统： 3．离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
使其状态空间表达式(13)化成： (15) 其中
(16)
(17) 称形如式(15)的状态空间表达式为能观标准 型。其中 是矩阵A的特征多项式的各项系数。
(18)
取变换阵
： (19)
直接验证，或者用对偶原理来证明。证明过程如下： 首先构造 的对偶系统
然后写出对偶系统 表达式的能观标准 型即是
的能控标准 的能控标准 型，即
(25)
3.8 线性系统的结构分解
3.8.1 按能控性分解 设线性定常系统 (1) 是状态不完全能控，其能控性判别矩阵： 的秩
则存在非奇异变换： (2)
将状态空间表达式(1)变换为： (3) 其中
(4)
(5)
(6) 可以看出，系统状态空间表达式变换为式(3)后，系统的状态空间就被分 解成能控的和不能控的两部分，其中 维子空问：
3.5.2 能观性判别 1．有关线性时变系统能观性的几点讨论 1)时间区间 是识别初始状态 所需要的观测时间，对时变 的选择有关。 (3) 这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。 3)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。 4)如果 测的。 5)如果 和 都是不能观的，则 也是不能观的。 是不能观测的， 为任意非零实数，则 也是不能观
5)如果 6)如果
是能控状态，则 和
也是能控状态， 是任意非零实数。 也必定是能控状态。
是能控状态，则
7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成 状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间， 记为 。 2．线性连续时变系统的能控性判别 时变系统的状态方程如下： (1) 系统在 上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵 (2) 为非奇异的。
另一个系统
：为：
若满足下述条件，则称
与
是互为对偶的。
式中，
为 维状态矢量； 为 各为 与
各为r与m维控制矢量； 系统矩阵； 各为， 维输出矩阵。
各为 与 ，
与 维输出矢量； 维控制矩阵；
3.6.2 对偶原理 系统 则 的能控性等价于 者说，若 全能控的)。 3.6.3 时变系统的对偶原理 时变系统的对偶关系和定常系统稍有不同，且其对偶原理的证明也复 杂得多。 对偶原理是现代控制理论中一个十分重要的概念，利用对偶原理可以 把系统能控性分析方面所得到的结论用于其对偶系统，从而很容易地得到 其对偶系统能观性方面的结论。 和 的能观性， 是状态完全能控的(完全能观的)，则 是互为对偶的两个系统， 的能观性等价于 的能控性。或 是状态完全能观的(完
判别法之间的关系
众所周知，一个矩阵：
式中，
为列矢量，当且仅当由 为非奇异时，
构成的格拉姆矩阵 列矢量是线性无关的。现在
因此，有 奇异等价。
这个矩阵的列矢量线性无关与
非
3.6 能控性与能观性的对偶关系
能控性与能观性有其内在关系，这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确 定的，利用对偶关系可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观性的 分析。从而也沟通了最优控制问题和最优估计问题之间的关系。 3.6.1 线性系统的对偶关系 有两个系统，一个系统 为：
2.能控标准
型 (6)
若线性定常单输入系统： 是能控的，则存在线性非奇异变换： (7) 相应的状态空间表达式(6)转换成： (8) 其中
(9)
(10) 并称形如式(8)的状态空间表达式为能控标准 式(9)中的 型。 是系统特征多项式：
(11)
的各项系数，亦即系统的不变量。 式(11)中的是 相乘的结果，即：
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变 换，把状态方程化为约旦标准型 ，再根据 阵，确定系统的能控性； 另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。 3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： (1) 或 (2) 式中
是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完 全能观测的，或简称是能观的。
3.3.2 定常系统能观性的判别
定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换，将 系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵，判 别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。 1．转换成约旦标准型的判别方法 线性时不变系统的状态空问表达式为： (2) 现分两种情况叙述如下： (1)A为对角线矩阵
3.8.2
按能观性分解
设线性定常系统： (8) 其状态不完全能观的，其能观性判别矩阵
的秩 则存在非奇异变换： (9)
将状态空间表达式(8)变换为： (10)
其中
(11)
(12) (13)
可见，经上述变换后系统分解为能观的
，维子系统：
和不能观的
，维子系统：
结构图如下。显然，若不考虑 维的能观系统。
是能控的，而
维子系统：
是不能控的。对于这种状态结构的分解情况如图所示，因为 对 作用， 仅作无控的自由运动。显然，若不考虑 可得到一个低维的能控系统。
不起

维子系统，便
至于非奇异变换阵： (7) 其中 个列矢量可以按如下方法构成，前 个列矢量 能控性矩阵M中的 确保 个线性无关的列，另外的 个列 为非奇异的条件下，完全是任意的。 是 在
型，∑的状态空间
式中， 为系统 为系统 的对偶系统 2．能观标准
为系统
的能控标准II型对应的系数阵； 的能控标准I型对应的系数阵； 的能控标准 型对应的系数阵。
型
若线性定常单输出系统： (20) 是能观的，则存在非奇异变换
(21)
使其状态空问表达式(20)变换为：
其中
(22)
(23)
(24) 称形如式(22)的状态空间表达式为能观标准 型。
3.4 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下： (1) 当系统为单输入系统时，式中 列矢量；G为系统矩阵 3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。 (2) 式中, 为 维列矢量；C 为 输出矩阵，其余同式(6)。 ； 为标量控制作用．控制阵 为状态矢量 。 为 维
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3.1能观性定义 能观性所表示的是输出 出方程出发，即 (1) 如果对任意给定的输入 期间的输出 ，在有限观测时间 ,使得根据 ，则称状态 能唯一地确定系统在初始时刻的状态 反映状态矢量 的能力，与控制 作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加以 剖析。 (3)
(4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为： (6) (7) 2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为： (8) (9) 3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素 却为0，其微分子方程组为： (10) (11) 2．具有一般系统矩阵的多输入系统 系统的状态方程为： (12)
系统来说，这个区问的大小和初始时刻
2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：
6)根据前面分析可以看出，系统的不能观测状态构成状态空间的一个子
空间，称为不能观子空间，记为
。只有当系统的不能观子空问
。在状
态空间中是零空间，则该系统才是完全能观的。 2．线性连续时变系统能观性判别 时变系统 (4) 在 上状态完全能观测的充分必要条件是格拉姆矩阵 (5) 为非奇异的。 3.5.3 连续时变系统可控性和可观性判别法则和连续定常系统的
维不能观测的子系统，便得到一个 。
非奇异变换阵
是这样构成的，取
(14)
3.8.3
按能控性和能观性进行分解
1)如果线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能 控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、 不能控能观、不能控不能观四部分。当然，并非所有系统都能分解成有这 四个部分的。 2)变换矩阵R确定之后．只需经讨一次变换便可对系统同时按能控性 和能观性进行结构分解．但是R阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。 3)结构分解的另一种方法：先把待分解的系统化约旦标准型，然后按 能空判别法则和能管判别个状态变量的能控型和能观性，最后按能控能观、 能控不能观、不能控能观、不能控不能观四种类型分类排列，即可组成 相应的子系统。
根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出 一地确定任意初始状态矢量 导能观性条件。从式(1)，有：
，就能唯
，则系统是完全能观的，现根据此定义推
(3) 若系统能观，那么在知道 出 ， 时，应能确定 ，现从式(7)可得：
写成矩阵形式：
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(12)
3.7.2 单输出系统的能观标准型 与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即 有： 系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。 状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能观标 准 型，它们分别与能控标准 1．能观标准 型 若线性定常系统： (13) 是能观的，则存在非奇异变换： (14) 型和能控标准 型相对偶。