均值不等式测试题
(完整版)均值不等式测试题(含详解)
均值不等式测试题一、选择题1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）Ａ．a 2+b 2 Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值224．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）Ａ．（a+b ）(ba 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．b a b a -≥-6．下列结论正确的是（ ）A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2 B ．当x>0时，x +x 1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）A ．13-B ．13+C ．223+D ．223-二．填空题：8．设x>0，则函数y=2－x4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=142-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=242+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________．三．解答题：12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。
最全的均值不等式专题练习
《 均值不等式》练习题1、 求下列函数的最小值（1） 已知t > 0 ,y = tt t 142+- ;（2） 、y = x 2 + 142+x ;（3）、y = 182++x x (x > 0 )（4）已知：0< x < 2π,求 f(x) = xx x 2sin sin 62cos 12++的最小值（5）若x> 0,y > 0,求 (x+22)21()21x y y ++ 的最小值2、已知 x < 45, 求函数 y = 4x －2 +541-x 的最大值。
3、求下列函数的最大值（1）、y = 41622++x x ; （2）、若20<x<60, y = 250022+-x x x4、已知x>0,132++x x x ≤ a 恒成立，求a 的取值范围5、已知a > 0,b > 0, a 2 +4b 2 = 1 , 求t = ba ab 22+的最大值。
6、已知:x > 0, y > 0,且x + y = 20,求lgx + lgy 的最大值7、已知：a > 0,b > 0,且.1222=+b a 求a.21b +的最大值8、已知 a + b = 1 ,求1212+++b a 的最大值9、若a + b+ c = 1,求121212+++++c b a 的最大值。
10、求下列函数的最大值（1）0< x <23,y = 4x (3－2x) (2) y = x 21x -(3)已知： a > 0,b > 0,c > 0,a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 ,求y =ab +bc + ac 的最大值（结果用R 表示）（4）、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值（5）、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值11、求下列函数的最小值（1）已知:x > 0, y > 0,且,191=+y x 求 x + y 的最小值（2）已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba 11+的最小值（3）、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值（4）、已知：x > 0,y > 0,134=+yx 求x + 3y 的最小值 （5）、已知：x ＞ 0,y ＞0,xlg2+ ylg8 = lg2. 求yx 311+的最小值均值不等式的高级应用12、求下列各式的最小值（1）、求)(162b a b a -+的最小值 (2）、设a ＞0,b ＞0, 求ab b a 211++的最小值。
均值不等式应用专题测试
均值不等式应用专题测试一．选择题：1、已知：b n m a y x =+=+2222,且b a ≠，则ny mx +的最大值为( )(A)ab (B)2b a + (C)222b a + (D)222b a +2、若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是( )(A)22 (B)2 (C)2 (D)1 3、下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．211()1x R x >∈+4、若1a b >>，P =()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列不等式成立的是（ ）A.R P Q <<B. P Q R <<C. Q P R <<D. P R Q << 5、设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( ) (A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ 6.已知y x n m b a ,,,,,均为正数，且b a ≠，若x b m a ,,,成等差数列你，y b n a ,,,成等比数列，则有（ ）A.y x n m >>,B.y x n m <>,C. y x n m <<,D. y x n m ><, 7、设)11)(11)(11(---=cb a M ，且1=++c b a （其中0,0,0>>>c b a ），则M 的取值范围是（ ）A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡81,0 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,81 C. [)8,1 D. [)+∞,88.若a 是b b 2121-+与的等比中项，且0>ab ，则||2||||2b a ab +的最大值为（ ）A.1552 B. 42 C.55 D. 229、点(),P x y 在经过()3,0A ，()1,1B 的两点的直线上，那么24xy+的最小值是（ ）A.不存在10.若14<<-x ，则2222)(2-+-=x x x x f 有（ ）A.最小值1B. 最大值1C. 最小值-1D.最大值-111、已知不等式()1a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥9对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的 最小值为 .A 2 .B 4 .C 6 .D 812、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ∙的最小值为（ ）(A) 4-3- (C) 4-+3-+二．填空题： 13.若对任意0x >，231xa x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 。
均值不等式综合练习打印
不等式综合练习 １若直线2ax －by ＋2＝0(a>0，b>0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b 的最小值是( )A 1B 2C ．3D ．4２半径为4的球面上有A 、B 、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则△ABC 、△ACD 、△ADB 面积之和S △ABC ＋S △ACD ＋S △ADB 的最大值为( Ｃ )A ．8B ．16C ．32D ．64３．已知c 是椭圆2222x y a b+=1 (a>b>0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是( Ｄ ) A ．(1， +∞) B ．(2， +∞) C ．(1，2) D ．(1，2]４已知△ABC 中，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于E 、F 两点，若AB →＝λAE →(λ>0)，AC →＝μAF →(μ>0)，则1λ＋4μ的最小值是( D )A ．9 B.72 C ．5 D.92５如图在等腰直角△ABC 中，点P 是斜边BC 的中点，过点P 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn的最大值为( B )A.12B ．1C ．2D ．3 6已知0,0ab >>，2a b +=则14y a b =+的最小值是 A 72 B 4 C 92D 5 7．已知x>0，y>0，且2x ＋1y ＝1，若x ＋2y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( D )A ．m≥4或m≤－2B ．m≥2或m≤－4C ．－2<m<4D ．－4<m<202x ≤≤8已知平面直角坐标系XOY 上的区域D 由不等式组 2y ≤ 给定，若(,)M x y2x ≤ 为D 上的动点，点A 的坐标为)2,1，则z OM OA =•的最大值为A 3B 4C 32D 429已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a ，n a 14m n a a a =，则14m n +的最小值为 A 32 B 53 C 256D 不存在10在下列函数中，最小值等于2的是 A 1y x x =+ B 1cos cos y x x =+（02x π<<） C 222y x =+ D 42x x y e e =+- 11已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y+的最小值是 A 2 B 22 C 4 D 23１2已知函数4()lg(5)5x x f x m =++的值域为Ｒ，则m 的取值范围是 Ａ (4,)-+∞ Ｂ [)4,-+∞ Ｃ (),4-∞- Ｄ (],4-∞-１3下列命题中为真命题的是Ａ若0x ≠，则12x x+≥ Ｂ“1a =”是直线0x ay-=与直线0x ay +=互相垂直的充要条件 Ｃ 直线,a b 为异面直线的充要条件是直线,a b 不相交Ｄ若命题2:",10"p x R x x ∃∈-->，则命题p 的否定为2",10"x R x x ∀∈--≤二，填空题１4已知t>0，则函数241t t y t-+=的最小值为________ １5已知三个函数y ＝2x ，y ＝x 2，y ＝8x 的图象都过点A ，且点A 在直线x m ＋y 2n ＝1(m>0，n>0)上，则log 2m ＋log 2n 的最小值为____4____．１6．已知正数a ，b ，c 满足：a ＋2b ＋c ＝1则1a ＋1b ＋1c 的最小值为_6＋42_______．１7．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，定义f(M)＝(m ，n ，p)，其中m ，n ，p 分别是△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积．若f(M)＝⎝⎛⎭⎫12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是____18____． 18.下列命题中,：①2R 210x x ∀∈-+>，②“1x >且2y >”是3x y +>的充要条件③函数2222y x x =++的最小值是2，假命题为_____________三．解答题１９．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)当α＋β＝π4，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．２０已知点F(0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆M 过定点D(0,2)，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A 、B 两点，设|DA|＝l1，|DB|＝l2，求l1l2＋l2l1的最大值．２１．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)以双曲线x23－y2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点．①求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值；②若直线MA 、MB 与直线x ＝4分别交于点P 、Q ，求线段PQ 长度的最小值．。
高中数学北师大版必修五《3.2均值不等式练习题》课件
大值是（ D ）
（A）2
1
（C）
4
（B）1 2
（D）4
11．已知函数y=2+3x2+ 27 ，当x= 3 时,函数有最 小
x2
值是 20 。
12．若x>3，函数
y
x
x
1
3
，当x=
4
时,函数有最 小
值是 5 .
1
13．若x>0，y>0，且x+y=1，当x= 2
时，xy的最大值是 1 。 4
1
, y= 2
14．求证： 4 a ≥7 .(a>3) a3
4 a 4 +(a 3) 3≥ 4 3 7
a3
a3
15．已知函数的解析式
y 4 9x
（1）若x>0，当x=
2
x
时，函数有最 小 值为
12
；
3
（2）若x∈ (0, 时，函数有最
2 ]，函数在这个区间上单调
5
小
值为递减
；
68 5
2 ；当x= 5
足
p logc a logc b 2
，q
logc
a
2
b,
，r
1 2
logc
a
2
b
系是（C ）
则p，q，r的大小关
（A）q>p>r （B）q<p<r
（C）r<q<p （D）q<r<p
6．已知全集U=R，集合
M (b, a b) 2
，集
合 N ( ab, a)
，其中a>b>0，则 M U N
（D）
ab 2ab a b ab 2
均值不等式含答案
课时作业15均值不等式时间：45分钟满分：100分课堂训练5 31.已知-+-=l(.r>0,)>0),则小的最小值是( )A V【答案】当且仅当3x=5y时取等号.42・函数f(x)=x+~+3在(一8,一2］上( )xA.无最大值，有最小值7B.无最大值，有最小值一1C.有最大值7,有最小值一1D.有最大值一1,无最小值【答案】D4【解析】Vx^-2, ：.f(x)=x+~+3✓V= __(r)+(—羽+3W_2 寸(-弓+34=—1,当且仅当一x=—即x=—2时，取等号,有最大值一1，无最小值.1 43・己知两个正实数小y 满足x+y=4,则使不等式三+^上加恒 兀y 成立的实数m 的取值范围是 _____________ .【答案】(-8,計 【分析】 对于本题中的函数，可把x+1看成一个整体，然后 将函数用x+1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的 形式特点，从而能用均值定理来处理.【解析】因为x>—1, 所以x+ l>0.“ r «+7x+10 (X +1)2+5(X +1)+4 所以尸x+1= 吊4 / f+D+吊+5N2 屮 +1)•苗+5=94当且仅当x+l= 勒，即X=1时，等号成立.mx+n = t,那么/(X )与g(x)都可以转化为关于t 的函数• 课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)・••当x=\时，工+7x+l° 灯仆-1 — $函数〉'一 丫+1 (x>—1),取侍取:小值为9.【规律方法】 形如 f(x) — mx _^n (加工°, dHO)或者 g(x) —【解析】斤胃字E+芥沁+树+2胡畔4. 求函数y=以+7卄10~x+1(Q-1)的最小值. mx+n1.设X>0,则y=3-3x--的最大值是（A. 3 B・ 3—3也C. 3-2\/3 D・一1【答案】C［解析】y=3 —3x—2=3 —（3x+g）W3— =3_2^/5.当且仅当3x=p即兀=平时取“=”・2.下列结论正确的是（）A.当x>0 且xH 1 时，lgx+占$2C.当诈2时，x+2的最小值为2D.当0<A W2时,x—丄无最大值X【答案】B【解析】A中，当x>0且兀工1时，lgx的正负不确定，・°・lgx +占M2或lgx+吉W—2； C中，当诈2时，（x+£）min=|； D中当1 I 30aW2 时，），=兀一？在（0,2］上递增，（x--）.…ax=2-3.如果d, b 满足0<a<b, a+b= 1,则g, u,2ub, a2+b2中值最大的是（）A. 3C. 3-2^3A iB • aD. cr+b 1【答案】D【解析】 方法一：*.* 0<ci<b,・ *. 1 =a+b>2a i 又 a 2+b 2^2cib 9・•・最大数一定不是“和2", 又 a 2+b 2=(a + b)2—lab = 1 — 2ab, V \ =a+b>2\[ab,ab<^,1 — 2ab> 1 —[=[, 即 cP+Z?2>^.I ? 45方法二：特值检验法：取a=y b=y 则2ab=§, a 2+b 2=^ / ^>2>Q >3，^cr+b 1 最大.4. 己知a>b>c>0.则下列不等式成立的是（） 1,1 _______ 2 a~b b —f^a —c1 ___2 b~c a~c]a~b【答案】A【解析】*.\/>Z?>c>0, *.a —b>0, b —c>0, a — c>0,••・("_4士+爲C. lab 1<21 b —c= [(a~b) + (b~c)Y b~c a —b =2+三+口匚+丄宀丄5. 下列函数中，最小值为4的是（C. /(x) = 3x +4X3"v【答案】D ・ /(x) = lgx+log v 10«+5 工+4+1 —•血)=2X 严=2X = 2X(尸 +寸;+4）24,要取等号，必须寸卫+4=^^^,即工+4=1,这是不 可能的，排除.故选C.6. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它 称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结 果的和的一半就是物体的真实重量•设物体放在左右托盘称得的重量 分别为“，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量 的结果的一半大了还是小了？（）a+bA.—^―；大 C.\[ab ；大 【答案】D4A. f(x)=x+~ 工+5B ・・22X 严 【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不 b~c a~b22+2、/三•戸=4能取等号， B ・¥力 D.\[cib ；小【解析】 设物体真实重量为血，天平左.右两臂长分别为d 12,则ml ［=al2® m 【2 = bh ②①X ②得加2川2 =如2 • • m =yfcib又・・•字鼻颁且“Hb,・・・等号不能取得，故g 字. 7・已知x>0,）>0, x+2y+2xy=8,则x+ly 的最小值是（ ）A. 3B. 49 C 2【答案】B•: — l<x<8,8—x 9 I Q・・・+）=卄2•百亍（卄1）+吊-222屮+1）•吊—2 = 94,当且仅当x+l=—y 时“="成立，此时x=2, y=l,故选B.1 F -HxH -18 .在区间［㊁,2］上，函数.心）=工+加+c （Z?、c G R ）与g （x ）=: --------------------------------------------------------------------------- ---- 在同一点取得相同的最小值，那么/（对在区间百，2］上的最大值是 （ ）5D 4F+x+11【解析】 Tx+2y+2x)=88—x2x+2>0, C. 8【解析】•••g（x） = -—=X+£+1N3,当x=l时取等号，即当x=l时取最小值3, :.fix）的对称轴是x=l, ・•”=—2,将（1,3）代入即得c=4, 5）=工一加+4,易得在右，2]上的最大值是4.二、填空题（每小题10分，共20分）工+29.比较大小：-7=7= ________ 2（填“>”y，“N” 或“W”）・帖+1【答案】2Q+2 J ________ 1【解析】脅7T声1+肩百浓10.当X>1时，不等式^+土鼻“恒成立，则实数"的取值范X— 1围是_______ .【答案】（一8, 3]【解析】Tx>l, ・°・x+— >0,x— 1要使x+JryNd 恒成立，设f{x） =x+-^~r（x> 1）,则dW/（X）min 对x>\恒成立.又./W=x+=7=x—1+7^7+1鼻2寸（%^）><^^+1=3,当且仅当x—1=亠即兀=2时取“=”・X— 1・・・aW3.三、解答题（每小题20分，共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）11.设兀，yWR*,且x+y+xy=2,(1)求x+y的取值范围；(2)求厂的取值范围.Y-H V【解析】(1) 2 = x+y+xy W x+y+(2,当且仅当x=y时取“•二(x+yF+4(x+y) — 8 $0.・：[(x+y)+2]2212.*/x+y>0, .*.x+y+2・・」+〉—2也一2,当且仅当x=y=羽一1时取“ ="•故x+y的取值范围是[2萌一2, +8).(2)2=x+y+xy2y[xy+xy,当且仅当x=y=\[3— 1 时取“=”.•: (y[xy)2~\~2ylxy^2.1)?W3.又x、)>0, .\y[xy+1>0. .\y[xy+ 1羽—1.・・・()5W4—2萌，即厂的取值范围是(0,4—2羽].12.某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？【解析】(1)设船捕捞刃年后的总盈利y万元.则,n(n— 1)y=50/?-98-[12Xn+ 2X4]= -2/r+40/?-98=-2(/1-10)2+102・：捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元.v 4W(2)年平均利润为匚=—2 n+—-20r~49W_2〔2\” •万_20,= 1249当且仅当”=节，即n=7时上式取等号.所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元.【规律方法】在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定31域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2； x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时， y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?54,?5?4x?0，?y?4x?2?14x?5不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
当，即x＝2时取等号当x＝2时，y?x的最大值为8。
32评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
变式：设0?x?，求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
完整版)均值不等式测试题(含详解)
完整版)均值不等式测试题(含详解)解析：将不等式化简为x2-x+1/4+1/4≥1，即(x-1/2)2≥3/4，当x≤1/2-√3/2或x≥1/2+√3/2时，不等式成立，选项B符合条件。
3．C解析：2x+8y=2(x+4y)，由于x+3y-1=0，所以2x+8y=2(x+4y)=(x+3y-1)+5y+1≥2√15，故最小值为2√15，选项C符合条件。
4．B解析：根据柯西-施瓦茨不等式，有|(mx+ny)|≤√(m2+n2)(x2+y2)，代入已知条件得到|(mx+ny)|≤√3，故mx+ny的最大值为3，选项B符合条件。
5．B解析：将选项B化简为(a-b)2(a2+b2+ab)≥0，显然成立，其他选项均不成立。
6．A解析：将选项A化简为(x+1/x+2)2≥4，即(x2+1+2x/x)2≥4，由于x>0，故(x2+1+2x/x)2≥(2(x2+1))/x≥4，故选项A成立。
7．A解析：将2a+b+c表示为a+(a+b+c)，代入已知条件得到a(a+b+c)+bc=4-2(a+b+c)，化简得到(a+b+c-2)2=4-23，故a+b+c的最小值为3-1，选项A符合条件。
填空题：8．最大值为2，当x=1时取得。
9．最小值为2，当x=2时取得。
10．最小值为2，当x=1时取得。
11．最大值为4，当x=2时取得。
解答题：12．由于点A在直线mx+ny+1=0上，所以loga(3)-1=-(mx+ny)/a，化简得到mx+ny=-a(loga(3)-1)，代入mn>0得到a>1/3，且mn=a2>0，故m=n=a/√2，所以m+n=√2a，最小值为2√2.13．设购买次数为n，则每次购买x=400/n吨，总运费为4n万元，总存储费用为4x=1600/n万元，总花费为4n+1600/n，根据均值不等式，有4n+1600/n≥2√(4n×1600/n)=80，即n≥4，故购买次数至少为4，每次购买100吨。
均值不等式专题20道-带答案
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均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号:___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若，且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______。
5．若直线2ax—by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知,且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为,则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x,y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足,则的最小值为______．13．若，,，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________。
15．已知a，b都是正数，满足,则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为,则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______。
20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果.【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题,关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式。
经典均值不等式练习题
均值不等式均值不等式又名基本不等式、 均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一, 在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件 定、等）。
2 2 1. ⑴若a,b R ，则a 2 b 2 _ 2ab ⑵若a,b R ，则ab 空 ~— （当且仅当_ 2时取“=”）* a + b ________________ *2. ⑴若a,b • R ，则ab ⑵若a,b • R ，则a • b _ 2•• ab （当且仅当2时取“=”）（3）若a,b • R *，则ab 空 a b（当且仅当a =b 时取“=”）飞2丿2 I — a + b则 ab <1丄 2 a b时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均 数）技巧1：凑项例 已知X ：：： ◎，求函数y =4x _2- 的最大值。
44x —5技巧2 :分离配凑2x + 7x +10例求y（x • T ）的值域x +1技巧3:利用函数单调性2x +5例 求函数y的值域Jx 2 +43.均值不等式链：若a 、b 都是正数,a 2b 2当且仅当（正、a = ba = ba 二基本技巧技巧4:整体代换例1 9已知x . 0, y 0，且1，求x y的最小值。
x y典型例题1. 若正实数X, Y满足2X+Y+6=XY ,则XY的最小值是 _____________2. 已知x>0,y >0, x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd是（）A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x2+ax+4>0对一切x€ （0,1]恒成立，则a的取值范围为（）A. b,]B. ]C. !-5, ■ ■- iD. 1-4,4]4. 若直线2ax +by-2=0 （a, b €氏）平分圆x2+y2-2 x-4 y-6=0，则2+丄的最小值a b是（）A.1B.5C.4 2D.3+2 25. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,贝U x+2y 的最小值是6. 已知x, y = R，且满足——=1，则xy的最大值为___________ .___3 47. 设a 0,b 0.若是3a与3b的等比中项，贝V -，丄的最小值为（）a b1A 8B 4C 1D -48. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）24 28A. B. C.5 D.65 59. 若a 0,b 0, a ^2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是（写出所有正确命题的编号）•③ a2 b2 _2 ；④ a3b3 _3 ；⑤ 11_2a b10.设a>b>0 ,则a21+——+ab1---- 的最小值是( a a「b(A) 1 (B) 211.下列命题中正确的是1A、y =x •-的最小值是x (0 (D) 4、y -—x 3-的最小值是2y =2—3X—4(X 0)的最大值是2-4.3x值是 2 一4、..3x224D、y = 2 -3x (x - 0)的最小x12.若x 2y =1，则2x4y的最小值是。
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1【答案】 C【解析】 ∵5x ＋3y ＝1≥215xy ，∴xy ≥60，当且仅当3x ＝5y 时取等号．2．函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4x ＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3＝－1，当且仅当－x ＝－4x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝94.4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值．【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)，取得最小值为9.【规律方法】 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋cmx ＋n (m ≠0，a ≠0)或者g (x )＝mx ＋nax 2＋bx ＋c(m ≠0，a ≠0)的函数，可以把mx ＋n 看成一个整体，设mx ＋n ＝t ，那么f (x )与g (x )都可以转化为关于t 的函数．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．3－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【答案】 C【解析】 y ＝3－3x －1x ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时取“＝”． 2．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x ≥2C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值 【答案】 B【解析】 A 中，当x >0且x ≠1时，lg x 的正负不确定，∴lg x ＋1lg x ≥2或lg x ＋1lg x ≤－2；C 中，当x ≥2时，(x ＋1x )min ＝52；D 中当0<x ≤2时，y ＝x －1x 在(0,2]上递增，(x －1x )max ＝32.3．如果a ，b 满足0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，a,2ab ，a 2＋b 2中值最大的是( )A.12 B ．a C ．2ab D ．a 2＋b 2【答案】 D【解析】 方法一：∵0<a <b ，∴1＝a ＋b >2a ，∴a <12， 又a 2＋b 2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ， 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ， ∵1＝a ＋b >2ab ，∴ab <14， ∴1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12.方法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则2ab ＝49，a 2＋b 2＝59，∵59>12>49>13，∴a 2＋b 2最大．4．已知a >b >c >0，则下列不等式成立的是( ) A.1a －b ＋1b －c >2a －c B.1a －b ＋1b －c <2a －c C.1a －b ＋1b －c ≥2a －c D.1a －b ＋1b －c ≤2a －c 【答案】 A【解析】 ∵a >b >c >0， ∴a －b >0，b －c >0，a －c >0，∴(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c＝[(a －b )＋(b －c )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c >2a －c. 5．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．f (x )＝x ＋4x B ．f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4C ．f (x )＝3x ＋4×3－xD ．f (x )＝lg x ＋log x 10【答案】 C【解析】 A 、D 选项中，不能保证两数为正，排除；B 选项不能取等号，f (x )＝2×x 2＋5x 2＋4＝2×x 2＋4＋1x 2＋4＝2×(x 2＋4＋1x 2＋4)≥4，要取等号，必须x 2＋4＝1x 2＋4，即x 2＋4＝1，这是不可能的，排除．故选C.6．今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量．设物体放在左右托盘称得的重量分别为a ，b (a ≠b )，则物体的实际重量为多少？实际重量比两次称量的结果的一半大了还是小了？( )A.a ＋b2；大B.a ＋b2；小C.ab ；大D.ab ；小【答案】 D【解析】 设物体真实重量为m ，天平左、右两臂长分别为l 1，l 2，则ml 1＝al 2① ml 2＝bl 1②①×②得m 2l 1l 2＝abl 1l 2 ∴m ＝ab又∵a ＋b 2≥ab 且a ≠b ，∴等号不能取得，故m <a ＋b 2. 7．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92 D.112【答案】 B【解析】 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8，∴y ＝8－x2x ＋2>0，∴－1<x <8，∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x 2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2(x ＋1)·9x ＋1－2＝4，当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1，故选B.8．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b 、c ∈R )与g (x )＝x 2＋x ＋1x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在区间[12，2]上的最大值是( )A.134 B ．4 C ．8 D.54【答案】 B【解析】 ∵g (x )＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1≥3，当x ＝1时取等号，即当x ＝1时取最小值3，∴f (x )的对称轴是x ＝1，∴b ＝－2，将(1,3)代入即得c ＝4，∴f (x )＝x 2－2x ＋4，易得在[12，2]上的最大值是4.二、填空题(每小题10分，共20分)9．比较大小：x 2＋2x 2＋1________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】 ≥【解析】 x 2＋2x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2. 10．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (－∞，3]【解析】 ∵x >1，∴x ＋1x －1>0，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，设f (x )＝x ＋1x －1(x >1)，则a ≤f (x )min 对x >1恒成立．又f (x )＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1即x ＝2时取“＝”．∴a ≤3.三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．设x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋xy ＝2， (1)求x ＋y 的取值范围； (2)求xy 的取值范围．【解析】 (1)2＝x ＋y ＋xy ≤x ＋y ＋(x ＋y 2)2， 当且仅当x ＝y 时取“＝”． ∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0. ∴[(x ＋y )＋2]2≥12. ∵x ＋y >0，∴x ＋y ＋2≥12.∴x ＋y ≥23－2，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． 故x ＋y 的取值范围是[23－2，＋∞)．(2)2＝x ＋y ＋xy ≥2xy ＋xy ，当且仅当x ＝y ＝3－1时取“＝”． ∴(xy )2＋2xy ≤2.∴(xy ＋1)2≤3. 又x 、y >0，∴xy ＋1>0.∴xy ＋1≤ 3. ∴0<xy ≤3－1.∴0<xy ≤4－23，即xy 的取值范围是(0,4－23]．12．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，每一年需要各种费用12万元．从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞总收入50万元．(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？ 【解析】 (1)设船捕捞n 年后的总盈利y 万元．则y ＝50n －98－[12×n ＋n (n －1)2×4] ＝－2n 2＋40n －98 ＝－2(n －10)2＋102∴捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元． (2)年平均利润为yn ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋49n －20≤－2⎝⎛⎭⎪⎫2n ·49n －20＝12当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时上式取等号．所以，捕捞7年后的平均利润最大，最大是12万元． 【规律方法】 在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量 ，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案．。
28道基本不等式均值不等式练习题
基本不等式习题1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是 （ ） A.ab b a b a >+>>2 B.b ab b a a >>+>2C.ab b b a a >>+>2D.b b a ab a >+>>22．已知点(,)A m n 在直线21x y +=上，其中0mn >，则21m n +的最小值为 （ ）A. 42B.8C.9D.123．已知0,2b a ab >>=，则22a b a b+-的取值范围是（ ） A ．(],4-∞- B ．(),4-∞- C ．(],2-∞- D ．(),2-∞-4．已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y+的最小值是 A ．6 B ．5 C ．322+ D ．425．设0,1a b >>，若3121a b a b +=+-，则的最小值为 A.23 B.8 C.43 D.423+6．若正数,x y 满足35,x y xy +=则34x y +的最小值是（ ）A.245B.285C.6D.5 8．若0a b >> 且3322a b a b -=-，则+a b 的取值范围是（ ）A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9．若两个正实数y x ,满足141=+y x ，且不等式m m y x 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)4,1(- B ．),4()1,(+∞--∞ C ．)1,4(- D ．),3()0,(+∞-∞10．已知正数,,a b c 满足,,a b ab a b c abc +=++=则c 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,0B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,21C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3431，D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1 11．已知0,0a b >>，如果不等式212m a b a b+≥+恒成立，那么m 的最大值等于（ ）A ．10 B ．7 C ．8 D ．913．正实数a ，b 满足123a b+=，则()()12a b ++的最小值是 ． 15．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是 ． 16．若点()1,1A 在直线022=-+ny mx 上，其中,0>mn 则11m n+的最小值为 ． 18．若221a ab b -+=，a ，b 是实数，则a b +的最大值是 ．19．若实数,0x y >且1xy =，则2x y +的最小值是 ，2242x y x y++的最小值是 ． 20．已知0,0,2,2x y xy x y xy m >>=+≥-若恒成立，则实数m 的最大值为 . 21．0,0>>y x ，112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则m 的取值范围是 ． 22．已知实数,x y 满足0x y >>，且2x y +=，则1224x y x y ++-的最小值为 ． 23．若正实数,a b 满足115a b a b+++=，则a b +的最大值是________． 24．设,0,5a b a b >+=,则1++3a b +的最大值为________.25．已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y y x x 的最小值为 ． 26．若0,0>>y x ，且2421=+++y x y x ，则y x 57+的最小值为__________． 27．已知32x ≥，则22211x x x -+-的最小值为 ． 28．已知0x >，0y >，1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 ．。
均值不等式及其应用(针对练习)(原卷版)
第一章集合与常用逻辑用语、不等式1.4.2均值不等式及其应用（针对练习）针对练习针对练习一均值不等式的内容及辨析1． ,a b R ∈，下列不等式始终成立的是A ．()2221a b a b +>--B ．22a b ab +≥C ．2a b+≥D ．22a b ab+⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．2a ba b +>>>B ．2a b a b +>>>C ．2a ba b +>>>D ．2a ba b +>>>3．下列不等式中正确的是（）A ．224a b ab+≥B ．44a a+≥C ．221242a a ++≥+D ．2244a a+≥4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（）A．2112a b a b+≤≤≤+B．2112a ba b+≤≤≤+C2112a ba b+≤≤≤+D2112a b a b+≤≤≤+针对练习二均值不等式的简单应用6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知0m >，0n >，且0m n +-=，则mn 的最大值是（）A ．1BC ．3D ．58．正实数a ，b 满足25a b +=，当b =（）时，ab 取得最大值.A ．254B ．258C ．52D ．549．已知21a b -=，则139ba⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．4BC．D10．已知两个正数,,m n 满足3mn =，则3m n +的最小值为（）A ．3B ．6CD针对练习三均值不等式相关拓展公式的应用11．已知0a >，0b >，1a b +=，则以下不等式正确的是（）A ．114ab+≤、B+≥C ．221a b +≥D ．2214ab a b +≥12．已知0x >，0y >，且2x y +=，则下列结论中正确的是（）A ．22xy+有最小值4B ．xy 有最小值1C ．22x y +有最大值4D 有最小值413．已知0a >，0b >，且1a b +=．下述四个结论①14ab >；②ln ln 0a b +<；③1916a b +≥；④2212a b +≥.其中所有正确结论的编号是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④14．已知0a >，0b >，且2a b +=，则下列式子不恒成立的是（）A ．222a b +≥B ．124a b ->C ．22log log 0a b +≥D 2+≤15．已知0a ≥，0b ≥，且4a b +=，则（）A ．3ab ≤B ．5ab ≥C ．228a b +≥D ．2212a b +≤针对练习四均值不等式“1”的妙用16．已知0a >，0b >，431a b +=，则13b a+的最小值为（）A ．13B ．19C ．21D ．2717．若正数,x y 满足315xy +=，则34x y +的最小值是（）A ．245B ．285C ．5D ．618．已知实数，,0,191a b a b >+=，则119ab+的最小值为（）A ．100B ．300C ．800D ．40019．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则a b +的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．220．设0a >，1b >，若2a b +=，则411ab +-的最小值为（）针对练习五对勾函数与均值定理的关系与区别21．下列各函数中，最小值为4的是（）A ．4y x x=+B ．4sin (0)sin y x x xπ=+<<C ．34log log 3x y x =+D ．4x x y e e -=+22．若0x >，则下列说法正确的是（）A的最小值为2B ．11x x ++的最小值为1C ．122x x+的最小值为2D ．1lg lg x x+的最小值为223．已知0a ≠,下列各不等式恒成立的是A ．12a a+>B ．12a a+≥C ．12a a+≤-D ．12a a+≥24．函数()933y x x x =+>-的最小值是（）A ．2B ．4C ．6D ．925．已知函数4y x x=+，()0,4x ∈，则该函数（）A ．有最大值5，无最小值B ．无最大值，有最小值4C ．有最大值5和最小值4D ．无最大值和最小值针对练习六分式最值问题26．函数21()1x x f x x ++=-（1x >）的最小值为（）A ．B ．3+C ．2+D ．527．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则=a （）28．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（）A ．最大值52B ．最小值52C ．最大值2D ．最小值229．若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（）A ．12B ．14C ．2D 30．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（）A ．0B ．3C ．94D ．1针对练习七均值不等式的综合应用31．已知1F ，2F 是椭圆22:12516x yC +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）．A ．13B ．12C ．25D ．1632．如图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ､AC 两边交于M ､N两点（M ､N 与B ､C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则1111x y +++的最小值为（）A ．12B ．23C ．34D ．4533．已知0a >，0b >，在()32111133ax bx x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的展开式中，若3x 项的系数为2，则11a b+的最小值为（）A ．12B ．2C ．34D ．4334．已知tan tan 1αβ=，则cos cos αβ的最大值为（）A ．12B ．14C．2D．435．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（）A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+。
完整版均值不等式练习题.docx
均值不等式一、 知识点：二、习题讲解：例1：（1）求y =x +1x (x >0)的最小值（2）求y =x +1x (x ≥2)的最小值（3）已知2>x ，求21-+=x x y 的最小值变式训练：1. 已知0>x ，求xx y 42--=的最大值2.当1->x 时，求()11++=x x x f 的最小值3.已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++2225.423(0)y x x x =-->的最大值是2-6. 12,33y x x x =+>-7.12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈例2：（1）已知210<<x ，求()x x y 2121-=的最大值（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b bβ=+，求αβ+的最小值变式训练： 1.已知310<<x ，求函数()x x y 31-=的最大值 2.当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
4.已知01x <<，求函数y =.；5.203x <<，求函数y =6.若21x y +=，则24xy+的最小值是______7.已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________。
例3：求函数()11332->+++=x x x x y 的最小值变式训练：1.231,(0)x x y x x ++=>2.设⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为3. 已知25≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值4. 2y =的最小值是5.求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
测评三十均值不等式
核心素养测评三十均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m>0,则m+3n的最小值等于( )A.2B.2C.2D.【解析】选C.因为mn=1,其中m>0,所以n>0,所以m+3n≥2=2,当且仅当m=,n=时取等号,所以m+3n的最小值等于2.2.(2020·宿州模拟)已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于( )A.9B.7C.5D.3【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为( )A.1B.2C.2D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4. 4.(2019·温州模拟)若ab>0,则的最小值为( )A.2B.C.3D.2【解析】选A.因为ab>0,所以=+≥2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为( )A. B.2 C. D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤==,当且仅当a=b=时取等号.6.(2020·滨州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则+的最小值是( )A.4B.C.5D.9【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以+=(4a+b)=≥=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是( )A. B.2 C. D.-【解析】选B.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x为非负数,当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x≠0时,y>0,x+y>0,则x+2y=y+(x+y)≥2=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:5 89.已知a>b>0,则a2+的最小值是________.【解析】因为a>b>0,所以b(a-b)≤=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:1610.(2019·阳泉模拟)函数y=(x<1)的最大值为________,此时x的值为________.【解析】函数y===x+1+=(x-1)++2 (x<1),因为(1-x)+≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x-1)+≤-2,当且仅当x=0时,取等号.故函数y=的最大值为0.答案:0 0(15分钟25分)1.(5分)(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b+≥2B.≥C.≥a+bD.(a+b)≥4【解析】选ACD.因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A成立;因为a+b≥2>0,所以≤,当且仅当a=b时取等号,所以≥不一定成立,故B不成立,因为≤=,当且仅当a=b时取等号,==a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,所以≥,所以≥a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m 的取值范围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)=10++≥16,当且仅当=,即a=4,b=12时取等号.依题意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.3.(5分)(2019·聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则+的最小值为 ( )A.3B.1C.D.【解析】选 B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以=3,所以4a2+b2=9,所以+=×=++≥+=1.当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为________.【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则+=[(x+1)+(y+2)]+=≥=,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.答案:5.(5分)(2020·朝阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为c,则ab的最小值为________.【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,可得cos C=- ,所以sin C=.由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=,代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,因为a2+b2≥2ab,所以-ab≥2ab,解不等式可得ab≥48,所以ab的最小值为48.答案:48。
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3.2 均值不等式 测试题
一．选择题：
1．已知a 、b ∈（0，1）且a ≠b ，下列各式中最大的是（ ）
Ａ．a 2+b 2
Ｂ．２ab Ｃ．2a b Ｄ．a +b 2．x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）
A ．x 2+1≥x
B ．1
12+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 3．已知x+3y-1=0，则关于y x 82+的说法正确的是（ ）
Ａ．有最大值8 Ｂ．有最小值22 Ｃ．有最小值8 Ｄ．有最大值22
4．Ａ设实数x ，y ，m ，n 满足x 2+y 2=1，m 2+n 2=3那么mx+ny 的最大值是（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．5 Ｄ．
210 5．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
Ａ．（a+b ）(
b a 11+)≥4 Ｂ．a 3+b 3≥2ab 2 Ｃ．a 2+b 2+2≥2a+2b Ｄ．
b a b a -≥- 6．下列结论正确的是（ ）
A ．当x>0且x ≠1时，lgx+x lg 1≥2
B ．当x>0时，x +x
1≥2 C ．当x ≥2时，x ＋x 1 ≥2 D ．当0<x ≤2时，x －x
1无最大值 7．若a 、b 、c>0且a(a+b+c)+bc=324-，则2a+b+c 的最小值为（ ）
A ．13-
B ．13+
C ．223+
D ．223-
二．填空题：
8．设x>0，则函数y=2－x
4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
9．若x>1，则log x 2＋log 2x 的最小值为 ；此时x 的值是 。
10．函数y=1
42-+-x x x 在x>1的条件下的最小值为 ；此时x=_________． 11．函数f(x)=2
42
+x x (x ≠0)的最大值是 ；此时的x 值为 _______________． 三．解答题：
12．函数y=log a (x+3)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0，求n m 11+的最小值为。
13．某公司一年购某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 为多少吨？
14．已知x,y ∈（－3，3）且xy ＝－1，求s=
22121233y
x -+-的最小值。
参考答案：
一．选择题：
1．D 解析：只需比较a 2+b 2与a +b 。
由于a 、b ∈（0，1），∴a 2<a,b 2<b ∴a 2+b 2<a +b ；
2．B
3．B 解析：y x 82+＝2333222222y
x y x y x +=≥+＝22
4。
A 解法一：设x=sin α，y=cos α，m=3sin β，n=3cos β，其中α，β∈∈（0°，180°）其他略。
解法二、m 2+n 2=322)3()3(n
m
+⇔＝1∴2＝x 2+y 2＋22)3()3(n
m
+ ≥)(32
ny mx +∴mx+ny ≤3。
5．B 解析：
A 、C 由均值不等式易知成立；D 中，若a<b ，结论显然，若a ≥b 则b a b a -≥-0)(2222≤-=-≥+-≥-⇔a b b ab b b ab a b a 这显然也成立。
取a=0.1，b=0.01，可验证
B 不成立。
6．B 解析：
A 中lgx 不一定为正；C 中等号不成立；D 中函数为增函数，闭区间上有最值。
故选
B 。
7．D
解析：(2a+b+c)2=4a 2+(b 2+c 2)+4ab+4ac+2bc ≥4a 2+2bc+4ab+4ac+2bc
=4(a 2+bc+ac+ab)=4[a(a+b+c)+bc]=4(324-)＝4（13-）2当且仅当b=c 时等号成立。
∴最小值为223-。
二．填空题：
8．－2，2
9．2，2
10 。
解析：y=142-+-x x x ＝14-+x x ＝11
4)1(+-+-x x ≥5，当且仅当x=3时等号成立。
11。
解析：f(x)=242
+x x ＝422
21212
2=≤+x x ，此时x ＝42。
三．解答题：
12．解析：∵y=log a x 恒过定点（1，0），∴y=log a (x+3)－1恒过定点（－2，－1），∴-2m-n+1=0，即2m ＋n ＝1，∴n m 11+＝（n m 11+）（2m ＋n ）＝2＋2＋n
m m n 4+≥8，∴最小值为8。
13．解析：设一年的总运费与总存储费用之和为y ，则x x
x x y 41600244400⨯≥+⨯=
＝160，当且仅当x=20时等号成立。
最小值为160。
14．解析：s=22121233y x -+-≥)912)3(36222y x --＝12)312(37122y x +-≥12
512362371=-。
评注：两次等号成立的条件都一样。