算法设计与分析 期末试卷 A卷(完整含答案)
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参考解答：设 n 堆石子从左到右方向编号为 1,2,…,n，每堆石子个数分别为 a[1],…,a[n]。n 堆石子的合并有许多不同 的方式，每种合并方式对应于 n 个矩阵连乘的一种完全加括弧方式。显然，这里合并是满足最优子结构性质的，用 A1…An 来代表每堆的石子，则最后一次合并在 Ak 和 Ak+1 之间，则 A1…An 的最优合并为((A1…Ak)(Ak+1…An))，可以看出最优 解左边部分(A1…Ak)和右边部分(Ak+1…An)的合并也分别是最优的。 假设 m[i,j]为合并石子 Ai…Aj, 1≤i≤j≤n，所得到的最小得分，若没有“合并”这个动作，则为 0。原问题所求 的最优值即为 m[1,n]。
TC ( n) O (n i log n ) ，其中建立堆需要 O(n) ，i 次堆顶元素删除 O (i log n) 。
2
TD ( n ) O (n i log i ) ，其中找第i大元素需要 O(n) ，对i个元素排序需要 O(i log i ) 。 TE ( n ) O (i ( n i ) log i i log i ) 或 TE ( n) O (n log i ) ，其中建立长度为i的最小堆需要 O(i ) ，
f 5 (n) log 3n ，
2
参考解答： O ( f1 ( n)) O (3
) ； O( f 2 (n)) O(2 n ) ； O( f 3 (n)) O(log n) ；
O( f 4 (n)) O(n 2 ) ； O( f 5 (n)) O(n) 。 2、用大O符号和关于n的渐进函数来表征如下算法Loop1至Loop3的运行时间。 （3分）
算法3：O(
)
参考解答：算法
1： O(n 2 ) ；算法 2： O(n 3 ) ；算法 3： O(n 4 ) 。
3、假设算法A的计算时间为 T (n) 2 n ，现在一慢一快的两台计算机上测试算法A，为解决 规模n的问题慢机运行算法A花费t秒，而另一台快机速度是慢机的256倍，则在快机上算法A 同样运行t秒能解决n1规模，则n1和n的关系为：n1= 为 T (n) n 2 ，其余条件不变，则n1=
参考解答：若字符 a~h 出现的频率恰好是前 8 个 Fibonacci 数，它们的 Haffman 编码树如下图所示。
4
0 0 0 0 0 0 0 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1
3
m[1][3] min{m[1][1] m[2][3] p0 p1 p3 , m[1][2] m[3][3] p0 p2 p3} 7500; m[2][4] min{m[2][2] m[3][4] p1 p2 p4 , m[2][3] m[4][4] p1 p3 p4 } 5000;
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2012 学年第 1 学期 考试类型： （闭卷）考试 学号 题号
装 订 线
考试科目： 考试时间： 年级专业 三(16) 四(24)
算法设计与分析 120 分钟
姓名 一(20) 二(25)
五(15)
总分
得分 评阅人
说明： （1）请勿漏填学号姓名等信息。本试卷仅一份，请将答案直接填于试卷上，莫将试卷当草稿，想好了再 写，若空白的位置不够，标注清楚后可以写反面； （2）答题时，对算法的描述可以采用文字、公式、图、伪代码、实例说明等混合形式。请注意表达应条 理清晰，思想简洁，勿长篇累述不得要领。
参考解答：因为该 0－1 背包问题比较特殊，恰好重量越轻的物品价值越高，所以优先取重量轻的物品放进背包。最终可 以把重量分别为 2，3，4，5 的三个物品放进背包，得到的价值和为 15 + 8 + 6 + 4 = 33，为最大值。
得分 三、画图题（共16分，每图4分） 1、字符a~h出现的频率恰好是前八个Fibonacci数（数列最开始两个元素都为1，之后每个元 素都等于前两个元素之和） ，请画出a~h这八个字符的Huffman编码树。 （4分）
2
n
n2
2n
提示：拿不准两个函数f(n)和g(n)时，考虑logf(n)和logg(n)，或2^f(n)或2^g(n)。学生答题的排序后若有一个不在位，扣1分。
2、复数a+bi可以用数对(a, b)表示（其中 i 2 1 ） 。描述一个方法，只需构造进行三次实数 乘法（可采用有限次实数加减） ，即可计算a+bi和c+di相乘的结果数对(e, f)。请写出采用了 哪三次实数乘法？（5分）
3、对于矩阵连乘所需最少数乘次数问题，其递推关系式为： 0 i j m[i, j ] min{m[i, k ] m[k 1, j ] pi 1 pk p j } i j ik j 其中m[i，j]为计算矩阵连乘Ai…Aj所需的最少数乘次数， pi 1 为矩阵Ai的行数， pi 为矩阵 Ai的列数。现有四个矩阵，其中各矩阵维数分别为：
因此： m[1][4] 8000
4、操场上摆放一行共n堆石头，呈直线排列。n堆石子从左到右方向编号为1~n，每堆石子 个数分别为a[1],…,a[n]，现在要将石子有次序的合并为一堆，规定每次只能选相邻的2堆合 并为新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分，经过n-1次合并，最终合并为 一堆，总得分为n-1次合并得分之和。现要设计一个算法，计算出将一行的n堆石子合并为一 堆的最小得分。这里假设m[i,j]为合并石子Ai…Aj, 1≤i≤j≤n，所得到的最小得分。请写出 m[i,j]的递推公式。 （5分）
则 O( f 2 (n)) O(_____________) 则 O( f 3 (n)) O(_____________) 则 O( f 4 (n)) O(_____________) 则 O( f 5 (n)) O(_____________)
n
f 4 (n) 2log n ，
后续n-i个元素比较并判定是否逐个插入堆， 最坏情况为 O(( n i ) log i ) ， 最后对i个堆中元素逐个输出堆顶 元素需要 O(i log i ) ，合计后略去低阶项为 O(n log i ) 。
得分 二、简答题（共5小题，每题5分，共25分） 1、请将下列函数的阶按上升顺序排列。 （5分）
n1 / 2 ， log n 2 ， 2 n ， log 2 n ， n log n ， n 2 log n ， 210 ， 2 log n ， 2 2 ， 2 n
参考解答： 2
10
n 2
装 订 线
， log n ， log n ， n
2
2
1/ 2
，2
log n
， n log n ， n log n ， 2 ， 2 ， 2
得分 一、填空题（1~3题每空1分，第4题每空2分，共20分，结果直接填于划线处） 1、化简下面f(n)函数的渐进上界表达式。 （5分） f1 (n) n 2 / 2 3n ， 则 O( f1 (n)) O(_____________) f 2 ( n ) 2 n 3 ，
f 3 (n) log n 3 ，
A1 10100 p
0
A2 1005
1
A3 550
2
A4 5010
3
Hale Waihona Puke Baidu
p
p
1
p
p
2
p
p
3
p
4
请根据递推关系，计算出矩阵连乘积A1A2A3A4所需要的最少数乘次数。 （5分）
参考解答：根据递推公式：
m[1][1] 0; m[2][2] 0; m[3][3] 0; m[4][4] 0; m[1][2] p0 p1 p2 5000; m[2][3] p1 p2 p3 25000; m[3][4] p2 p3 p4 2500;
算法 1 Loop1(n) s=0; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) s=s+i*j;
算法1：O(
)；
算法 2 Loop2(n) s=0; for(i=1;i<=n2;i++) for(j=1;j<=n;j++) s=s+i*j;
算法2：O(
)；
1
算法 3 Loop3(n) s=0; for(i=1;i<=n2;i++) for(j=1;j<=i;j++) s=s+i*j;
参考解答：算法A：
算法B： TB ( n) O (_________ ______) ； 算法D： TD ( n ) O (_________ ______) ；
TA (n) O (i n) ； TB ( n) O (n log n i ) 或 TB ( n) O ( n log n)
i j 0 j m[i, j] min{m[i, k ] m[k 1, j ]} a[t ] i j t i ik j
填充m[i,j]即可得到任意行状摆放的石子合并的最小得分。
5、有这样一类特殊0-1背包问题：可选物品重量越轻的物品价值越高。n=6，c=20，P=(4，8， 15，1，6，3)，W=(5，3，2，10，4，8)。其中n为物品个数，c为背包载重量，P表示物品 的价值，W表示物品的重量。请问对于此特殊的0-1背包问题，为使放进背包的物品总价值 最大，应如何选择放进去的物品？此例能获得的最大总价值多少？（5分）
参考解答：
(a, b)(c, d ) ac (ad bc)i bd (1) ac [(a b)(d c) ac bd ]i bd
三次实数乘法分别是： ac,
(a b)(d c), bd
评分准则：此参考解答并非唯一解，只要能凑出ac, bd, (ad+bc)三部分的解皆可。
参考解答：对算法A， n1
；若算法B的计算时间 。 （2分）
n 8 ；对算法B， n1 16n 。
4、求最大的i个数问题：给定n个不同数的集合S和正整数i（i<=n） ，S中元素无序，求S中最 大的i个数且有序输出（按照升序或降序皆可） 。有下述多种算法： （10分） （1）算法A：调用i次顺序比较查找最大元素的算法findmax，每调用一次删除此最大的数。 （2）算法B：对S排序，并输出S中最大的i个数。 （ 3 ）算法 C ：对输入集合S 中的n 个数建立一个长度为 n 的最大堆，接着反复调用 i 次堆的 extract_Max过程。其中extract_Max过程为堆顶元素删除操作，该过程时间代价为O(logn)， 而建立一个n个元素的最大堆过程需要O(n)。 （4）算法D：利用O(n)线性时间的分治算法找第i大元素x，然后调用partition过程对n个数以 x进行划分，比x大的i-1个元素被置于x的右边（即后边） ，再对这i个数进行排序。 （5）算法E：先对集合S的前i个元素建立一个长度为i的最小堆，利用extract_Min过程可得 最小堆的堆顶元素为x，让集合S的后续n-i个元素（称当前元素y）逐个去和堆顶元素x比较， 若y>x，将y插入堆中并重新整合成最小堆和形成新的堆顶元素x；否则丢弃y。当后续n-i个 元素全部比较完毕，则最小堆中的i个元素即为原序列n个数中最大的i个数，最后对这堆中 的i个数调用i次extract_Min过程即可有序输出。 请分析A、B、C、D和E这五个算法在最坏情况下的渐进时间复杂性（用n和i表示，但 需化简，即忽略系数且略去低阶项） 。 算法A： TA ( n ) O (_________ ______) ； 算法C： TC ( n) O (_________ _____) ； 算法E： TE ( n ) O (_________ _____) 。
m[1][1] m[2][4] p0 p1 p4 0 5000 10000 15000 m[1][4] min m[1][2] m[3][4] p0 p2 p4 5000 2500 500 8000 m[1][3] m[4][4] p p p 7500 0 5000 12500 0 3 4
TC ( n) O (n i log n ) ，其中建立堆需要 O(n) ，i 次堆顶元素删除 O (i log n) 。
2
TD ( n ) O (n i log i ) ，其中找第i大元素需要 O(n) ，对i个元素排序需要 O(i log i ) 。 TE ( n ) O (i ( n i ) log i i log i ) 或 TE ( n) O (n log i ) ，其中建立长度为i的最小堆需要 O(i ) ，
f 5 (n) log 3n ，
2
参考解答： O ( f1 ( n)) O (3
) ； O( f 2 (n)) O(2 n ) ； O( f 3 (n)) O(log n) ；
O( f 4 (n)) O(n 2 ) ； O( f 5 (n)) O(n) 。 2、用大O符号和关于n的渐进函数来表征如下算法Loop1至Loop3的运行时间。 （3分）
算法3：O(
)
参考解答：算法
1： O(n 2 ) ；算法 2： O(n 3 ) ；算法 3： O(n 4 ) 。
3、假设算法A的计算时间为 T (n) 2 n ，现在一慢一快的两台计算机上测试算法A，为解决 规模n的问题慢机运行算法A花费t秒，而另一台快机速度是慢机的256倍，则在快机上算法A 同样运行t秒能解决n1规模，则n1和n的关系为：n1= 为 T (n) n 2 ，其余条件不变，则n1=
参考解答：若字符 a~h 出现的频率恰好是前 8 个 Fibonacci 数，它们的 Haffman 编码树如下图所示。
4
0 0 0 0 0 0 0 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 1
3
m[1][3] min{m[1][1] m[2][3] p0 p1 p3 , m[1][2] m[3][3] p0 p2 p3} 7500; m[2][4] min{m[2][2] m[3][4] p1 p2 p4 , m[2][3] m[4][4] p1 p3 p4 } 5000;
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）
2012 学年第 1 学期 考试类型： （闭卷）考试 学号 题号
装 订 线
考试科目： 考试时间： 年级专业 三(16) 四(24)
算法设计与分析 120 分钟
姓名 一(20) 二(25)
五(15)
总分
得分 评阅人
说明： （1）请勿漏填学号姓名等信息。本试卷仅一份，请将答案直接填于试卷上，莫将试卷当草稿，想好了再 写，若空白的位置不够，标注清楚后可以写反面； （2）答题时，对算法的描述可以采用文字、公式、图、伪代码、实例说明等混合形式。请注意表达应条 理清晰，思想简洁，勿长篇累述不得要领。
参考解答：因为该 0－1 背包问题比较特殊，恰好重量越轻的物品价值越高，所以优先取重量轻的物品放进背包。最终可 以把重量分别为 2，3，4，5 的三个物品放进背包，得到的价值和为 15 + 8 + 6 + 4 = 33，为最大值。
得分 三、画图题（共16分，每图4分） 1、字符a~h出现的频率恰好是前八个Fibonacci数（数列最开始两个元素都为1，之后每个元 素都等于前两个元素之和） ，请画出a~h这八个字符的Huffman编码树。 （4分）
2
n
n2
2n
提示：拿不准两个函数f(n)和g(n)时，考虑logf(n)和logg(n)，或2^f(n)或2^g(n)。学生答题的排序后若有一个不在位，扣1分。
2、复数a+bi可以用数对(a, b)表示（其中 i 2 1 ） 。描述一个方法，只需构造进行三次实数 乘法（可采用有限次实数加减） ，即可计算a+bi和c+di相乘的结果数对(e, f)。请写出采用了 哪三次实数乘法？（5分）
3、对于矩阵连乘所需最少数乘次数问题，其递推关系式为： 0 i j m[i, j ] min{m[i, k ] m[k 1, j ] pi 1 pk p j } i j ik j 其中m[i，j]为计算矩阵连乘Ai…Aj所需的最少数乘次数， pi 1 为矩阵Ai的行数， pi 为矩阵 Ai的列数。现有四个矩阵，其中各矩阵维数分别为：
因此： m[1][4] 8000
4、操场上摆放一行共n堆石头，呈直线排列。n堆石子从左到右方向编号为1~n，每堆石子 个数分别为a[1],…,a[n]，现在要将石子有次序的合并为一堆，规定每次只能选相邻的2堆合 并为新的一堆，并将新的一堆的石子数记为该次合并的得分，经过n-1次合并，最终合并为 一堆，总得分为n-1次合并得分之和。现要设计一个算法，计算出将一行的n堆石子合并为一 堆的最小得分。这里假设m[i,j]为合并石子Ai…Aj, 1≤i≤j≤n，所得到的最小得分。请写出 m[i,j]的递推公式。 （5分）
则 O( f 2 (n)) O(_____________) 则 O( f 3 (n)) O(_____________) 则 O( f 4 (n)) O(_____________) 则 O( f 5 (n)) O(_____________)
n
f 4 (n) 2log n ，
后续n-i个元素比较并判定是否逐个插入堆， 最坏情况为 O(( n i ) log i ) ， 最后对i个堆中元素逐个输出堆顶 元素需要 O(i log i ) ，合计后略去低阶项为 O(n log i ) 。
得分 二、简答题（共5小题，每题5分，共25分） 1、请将下列函数的阶按上升顺序排列。 （5分）
n1 / 2 ， log n 2 ， 2 n ， log 2 n ， n log n ， n 2 log n ， 210 ， 2 log n ， 2 2 ， 2 n
参考解答： 2
10
n 2
装 订 线
， log n ， log n ， n
2
2
1/ 2
，2
log n
， n log n ， n log n ， 2 ， 2 ， 2
得分 一、填空题（1~3题每空1分，第4题每空2分，共20分，结果直接填于划线处） 1、化简下面f(n)函数的渐进上界表达式。 （5分） f1 (n) n 2 / 2 3n ， 则 O( f1 (n)) O(_____________) f 2 ( n ) 2 n 3 ，
f 3 (n) log n 3 ，
A1 10100 p
0
A2 1005
1
A3 550
2
A4 5010
3
Hale Waihona Puke Baidu
p
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1
p
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2
p
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3
p
4
请根据递推关系，计算出矩阵连乘积A1A2A3A4所需要的最少数乘次数。 （5分）
参考解答：根据递推公式：
m[1][1] 0; m[2][2] 0; m[3][3] 0; m[4][4] 0; m[1][2] p0 p1 p2 5000; m[2][3] p1 p2 p3 25000; m[3][4] p2 p3 p4 2500;
算法 1 Loop1(n) s=0; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=i;j++) s=s+i*j;
算法1：O(
)；
算法 2 Loop2(n) s=0; for(i=1;i<=n2;i++) for(j=1;j<=n;j++) s=s+i*j;
算法2：O(
)；
1
算法 3 Loop3(n) s=0; for(i=1;i<=n2;i++) for(j=1;j<=i;j++) s=s+i*j;
参考解答：算法A：
算法B： TB ( n) O (_________ ______) ； 算法D： TD ( n ) O (_________ ______) ；
TA (n) O (i n) ； TB ( n) O (n log n i ) 或 TB ( n) O ( n log n)
i j 0 j m[i, j] min{m[i, k ] m[k 1, j ]} a[t ] i j t i ik j
填充m[i,j]即可得到任意行状摆放的石子合并的最小得分。
5、有这样一类特殊0-1背包问题：可选物品重量越轻的物品价值越高。n=6，c=20，P=(4，8， 15，1，6，3)，W=(5，3，2，10，4，8)。其中n为物品个数，c为背包载重量，P表示物品 的价值，W表示物品的重量。请问对于此特殊的0-1背包问题，为使放进背包的物品总价值 最大，应如何选择放进去的物品？此例能获得的最大总价值多少？（5分）
参考解答：
(a, b)(c, d ) ac (ad bc)i bd (1) ac [(a b)(d c) ac bd ]i bd
三次实数乘法分别是： ac,
(a b)(d c), bd
评分准则：此参考解答并非唯一解，只要能凑出ac, bd, (ad+bc)三部分的解皆可。
参考解答：对算法A， n1
；若算法B的计算时间 。 （2分）
n 8 ；对算法B， n1 16n 。
4、求最大的i个数问题：给定n个不同数的集合S和正整数i（i<=n） ，S中元素无序，求S中最 大的i个数且有序输出（按照升序或降序皆可） 。有下述多种算法： （10分） （1）算法A：调用i次顺序比较查找最大元素的算法findmax，每调用一次删除此最大的数。 （2）算法B：对S排序，并输出S中最大的i个数。 （ 3 ）算法 C ：对输入集合S 中的n 个数建立一个长度为 n 的最大堆，接着反复调用 i 次堆的 extract_Max过程。其中extract_Max过程为堆顶元素删除操作，该过程时间代价为O(logn)， 而建立一个n个元素的最大堆过程需要O(n)。 （4）算法D：利用O(n)线性时间的分治算法找第i大元素x，然后调用partition过程对n个数以 x进行划分，比x大的i-1个元素被置于x的右边（即后边） ，再对这i个数进行排序。 （5）算法E：先对集合S的前i个元素建立一个长度为i的最小堆，利用extract_Min过程可得 最小堆的堆顶元素为x，让集合S的后续n-i个元素（称当前元素y）逐个去和堆顶元素x比较， 若y>x，将y插入堆中并重新整合成最小堆和形成新的堆顶元素x；否则丢弃y。当后续n-i个 元素全部比较完毕，则最小堆中的i个元素即为原序列n个数中最大的i个数，最后对这堆中 的i个数调用i次extract_Min过程即可有序输出。 请分析A、B、C、D和E这五个算法在最坏情况下的渐进时间复杂性（用n和i表示，但 需化简，即忽略系数且略去低阶项） 。 算法A： TA ( n ) O (_________ ______) ； 算法C： TC ( n) O (_________ _____) ； 算法E： TE ( n ) O (_________ _____) 。
m[1][1] m[2][4] p0 p1 p4 0 5000 10000 15000 m[1][4] min m[1][2] m[3][4] p0 p2 p4 5000 2500 500 8000 m[1][3] m[4][4] p p p 7500 0 5000 12500 0 3 4