2利息理论讲解
利息理论——课件
27
定义 A(t)=k×a(t)称为金额函数，它给出 原始投资为k时在时刻t>=0的积累值。 记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为 In.则 In=A(n)-A(n-1) 注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的 单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期 为一年 以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)
14
利率决定利率
• 1、凯恩斯流动偏好模型 假定资产有货币（收益率0），债券（收益率i） 总资产=货币总量+债券总量 • ：货币需求曲线，当利率升高时----债 券价格下降----债券需求升高-----货币需求下 Md 降（eg:利率升高，储蓄增加，消费减少）
15
• 当 （均衡利率）时， ，货币需求<供 Md Ms i1 i0 给，人们用多余的货币购买债券，债券价 格升高-----债券收益率（利率）下降 • 当时， ，货币需求>供给，人们用卖 Md Ms i1 i0 债券，债券价格下降-----债券收益率（利率） 升高
复利
定义 复利指前期赚取的利息在后期会赚取附加 利息的计息方式。复利的积累函数是的积累函数 是 a(t)=(1+i)t 对整数t0
复利的直观表述：1元本金经过时期t+s后的累积 值等于将1元本金经过t后的累积值再投资s期所形 成的累积值
40
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转 让货币使用权所得的报酬。 利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。
§2.1积累函数与贴现
一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款 以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时 间后收回的总金额称为积累值。 积累值=本金+利息
二章利息理论MicrosoftPowerPoint演ppt课件
❖ 实际贴现率为d，
❖
则：每次的贴现率为
d
(m
m
)
d1(1dm (m))m
1d(1dm (m))m
❖ 或：
d(m)
1
m[1(1d)m]
3）i(m)与d(m) 的关系
❖ 1元钱在年末的累积值 为：
(1 i(m) )m m
❖ 或：
(1
d(m) m
)m
❖ 则：
(1 ) (1 i(m) )m
m
d(m) m m
❖ 得：
i(m) d(m) i(m) d(m)
m m mm
一般公式
❖ 如果一年结转m次利息，或一年贴现n次 等价。
❖ 则：
(1i(n m ))m(1dn (n))n
例（1）求每月结算的年利率为12%的实际利率； （2）求每季结算的年贴现率为10%的实际贴现率。
❖ 解（1）
i
(1
) i ( 12 ) 12
❖ 由定义式：
t [lna(t)]'
两边积分
t
0 s ds
t
[ln
a ( s )]' ds
0
ln a ( t ) ln a ( 0 )
ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
❖ 当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为： 1 ,2 n时
积累函数值
n
a(n) e0tdt
❖ （1）单利：各年1元的现值。
1
1+i 1+2i
1+it
0
1
1
1
1
1/1+i 1/1+2i
利息(利率)理论(思维导图)
第2章 利息(利率)理论第1节 实物利息论-古典利率理论庞巴维克的时差说和迂回生产说(时差利息论)庞巴维克认为，一切利息形态的产生以及利息的高低都来自时差企业利息产生自迂回生产，资本主义的生产特征是迂回生产，即先生产工具、设备、原料等，然后再生产消费品，利率的高低就取决于迂回生产的时间长短均衡利率的作用在于对可能无限延长的社会平均生产期限加以限制，均衡利率的高低取决于影响迂回生产时间长短的因素，即一国社会经济的总量、劳动力的数量以及生产过程延长所产生的剩余收益费雪的时间偏好与投资机会说在资本供给方面，资本供给的决定因素是社会公众的时间偏好①如果公众更多地偏好现在物品，只有提供更高的利息补偿才能使其进行交换，这就会使利率上升②如果公众更多地偏好未来物品，那么无需很高的利息补偿就能进行交换，这就会使利率下降在资本需求方面，资本需求的决定因素是投资机会①利率：在利率低时，选择生产周期较长的投资机会反之，则选择生产周期较短的投资机会②利润率：只有利润率高于利率，企业家才会投资费雪效应实际利率＝名义利率-通货膨胀率名义利率会随着通货膨胀率的变化而变化，这一利率与预期通货膨胀率之间的关系被称为费雪效应马歇尔的储蓄投资利率决定论2威克赛尔的自然利率说3第2节 货币利息论-凯恩斯利率决定理论5第3节 利率决定的一般均衡分析8第4节 利率结构理论利率的风险结构解释为什么期限相同的债券或贷款的利率会出现差异利率之间出现差异主要是由违约/信用风险、流动性风险、所得税、可赎回条款、可转换条款等因素造成的利率风险结构的模型：Rn＝Rfn+DP+LP+TA+CALLP+COND利率的期限结构是指在某一时点上，不同期限资金的收益率与到期期限之间的关系利率期限结构图称为收益率曲线收益率曲线的形态通常反映三个经验事实①不同期限债券的利率往往同方向变动②短期利率越低，收益率曲线越倾向于向上倾斜③收益率曲线几乎总是向上倾斜，偶尔会出现水平或向下倾斜的情况利率期限结构理论预期理论长期债券的利率等于在其有效期内人们所预期的短期利率的平均值可以解释事实1&2，无法解释事实3在解释收益率曲线倒挂现象时，预期理论是重要的依据市场分割理论关键假定：不同到期期限的债券根本无法相互替代可以解释事实3，无法解释事实1&2流动性溢价理论不同到期期限的债券可以相互替代，但并非完全替代品可以解释事实1&2&3。
利息理论知识点
利息理论知识点利息理论是金融学中非常重要的一部分，它涉及到我们日常生活中经济活动的方方面面。
在这篇文章中，我们将逐步深入探讨一些关键的利息理论知识点。
第一步：什么是利息？利息是指在借贷交易中，贷款人向借款人提供资金时产生的费用。
它代表了借款人使用贷款资金的成本，也是贷款人的回报。
第二步：利息的计算方法在实际生活中，利息的计算方法有很多种。
其中最常见的是简单利息和复利息。
简单利息是指在固定的时间段内，基于贷款的原始本金计算利息。
它的计算公式为：利息 = 本金 × 利率 × 时间。
复利息是指在每个时间段结束时，利息会被加到本金上，下一个时间段的利息将基于更新后的本金计算。
它的计算公式为：利息 = 本金 × （1 + 利率）^ 时间 - 本金。
第三步：利率和影响利率的因素利率是计算利息的重要参数，它代表了借款的成本或者投资的回报。
利率的水平由多种因素决定，包括但不限于以下几点：1.经济政策：宏观经济政策的调整可以直接影响利率水平。
例如，央行通过调整基准利率来控制货币供应量和利率水平。
2.市场需求和供应：市场上的借贷需求和供应也会对利率产生影响。
当借款需求大于供应时，利率通常会上升，反之亦然。
3.风险因素：借款人的信用状况和贷款的风险水平也会影响利率。
风险越高，借款人通常会面临更高的利息成本。
第四步：利息的作用和影响利息在经济活动中扮演着至关重要的角色，它对个人、企业和整个经济体都有重要的影响。
1.个人：对于个人来说，利息是负担债务的成本，也是储蓄和投资的回报。
了解利息理论可以帮助个人做出更明智的借贷和投资决策。
2.企业：对于企业来说，利息是融资成本的一部分。
通过掌握利息理论，企业可以更好地评估贷款和债务的风险和回报，从而制定更有效的财务战略。
3.经济体：利息的水平和变动也会对整个经济体产生影响。
低利率可以刺激经济增长和投资活动，但也可能导致通货膨胀。
高利率则可能减缓经济增长，但有助于控制通货膨胀。
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
货币银行学第2章 利率理论
❖ 资本市场主要包括债券市场、股票市场和长期信贷市场等。 它们与货币市场之间的一个重要区别在于涉及的风险不同。 从证券发行到偿还之间,由于利率的波动,证券价格也会随之 波动。因此,对于资本市场的投资者而言,更有实际意义的是 根据利率计算出的现值。很显 然,证券价格与利率成反比,利 率越高,证券价格越低;利率下降,则证券价格上升。由于资本 市场的投资者不止参与一个市场,他们对不同证券的选择有助 于直接将各个市场连接起来。
❖ (1)资本使用权的让渡,货币资本家将资本转让出去。 ❖ (2)资本生产和流通过程,是资本的增殖过程。取得货币资
本的资本家将资本投入使用,购买劳动力和生产资料进行生 产。
❖ (3)货币本金和利息的回流。马克思提出的资本运动过程揭 示了利息在本质上同利润一样,是剩余价值的转化形式。因 此,一般情况下,平均利润率就成为利率的最高上限。
2. 未来某一时点上一定的货币金额，把它看作是那时的本利和，
就可按现行利率计算出要取得这样金额在眼下所必须具有
的本
金。这个逆算出来的本
金称 “现值”，也称“贴 现值”。算式是：
P S 1
1 r n
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终值与现值
3. 计算现值的经济行为，由来已久；自古及今，在借贷行为 中的“倒扣息”、“贴现”等等，都在其使用的范围之 内。
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马克思的利率理论
❖ 一、马克思的利率理论
❖ 在马克思的经济学说体系中,利率理论是其重要的组成部分。 马克思对利息的研究,是从利息的本质及其来源展开的。他 认为,在资本主义社会,货币资本家凭借对货币的所有权,与 职能资本家共同瓜分由劳动者创造的剩余价值。如果货币 资本不置换成生产资本,不经过生产过程,是不可能自行增 殖的。因此,马克思提出了借贷资本的完整运动过程分为三 个阶段:
X2利率理论PPT精选文档
价值，体现着资本家全体共同剥削雇用工人的关系。
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二.西方利率理论
• 一.古典利率理论
– 可贷资金来源于储蓄，储蓄则表示储蓄者牺牲当前消费换取 将来消费。由于人们更加重视当前消费，因此，当前消费和 将来消费进行交换时，必须获得一定补偿。利息则是这种补 偿。利息越多，则补偿越多，人们就越愿意延迟消费，增加 储蓄。因此，储蓄是利率的增函数
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人性不耐说
• 欧文.费雪从纯粹心理因素来解释利息现象，认为人性具有偏好现 在就可以提供收入的资本财富而不耐心等待将来提供收入的资本财 富，利息是不耐得指标。费雪认为，利息产生于现在物品与将来物 品交换的贴水，也就是由社会公众对现在物品的时间偏好和投资机 会共同决定。有人偏好现在的物品，所以要向别人告贷；也有人偏 好未来物品，愿意让渡现在物品，这就需要利息的补贴来平衡，因 为现在物品的未来收入高于将来的物品。同时，也有人愿意支付利 息，以较多的未来收入换取较少的现在收入。
– 其一当借贷的资本用于生产时，利息来源于利润， – 其二，当借贷的资本用于消费时，利息来源于别的
收入，比如地租。
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节欲论
• 西尼尔认为,利息是资本家节欲行为（牺 牲眼前的消费欲望）的补偿。
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货币利息理论
• 约翰.克拉克的理论，是一种短期利息理 论，认为利息是借钱和出售证券的成本 ，同时也是贷款和购买证券的收益。
– 实际利率是指剔除通货膨胀率后储户或投资者得到 利息回报的真实利率。
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二. 利率体系
• 利率又称利息率，表示一定时期内利息量与本金的比率，通常用百分比 表示，按年计算则称为年利率。
利息的性质理论(人物)
凯恩斯主义对于利息来源和决定因素解释
利息来源
凯恩斯主义认为，利息是放弃流动性偏好（即持有现金或高流动性资产）的报酬。 人们通常偏好于持有流动性高的资产，因此，要诱使人们放弃这种流动性偏好，就 需要给予一定的报酬，即利息。
决定因素
凯恩斯主义认为，利息率由货币市场的供求关系决定。货币供应由中央银行控制，
减少政府干预：主张减少政府对市场 的干预，让市场力量自由发挥作用。
影响
对经济学理论的影响：现代货币主义对凯恩 斯主义等学派提出了挑战，推动了经济学理 论的发展。
对货币政策的影响：许多国家的中央银行在 制定货币政策时，都参考了现代货币主义的 观点和建议。
不 同 流 合派 趋间 势争 论 与 融
各流派间主要争论点概述
不同学派对于利息性质观点
古典学派
认为利息是资本的价格表现，是资本所有者因让渡资本使用权而获得的报酬。古典学派强调资本的生产力属性， 认为利息是资本生产力的结果。
凯恩斯学派
认为利息是货币现象，是货币供求关系决定的。凯恩斯学派强调货币的流动性属性，认为利息是人们对货币流 动性偏好的结果。
新古典学派
认为利息既具有资本价格属性，又具有货币现象属性。新古典学派综合了古典学派和凯恩斯学派的观点，认为 利息是资本和货币两种因素共同作用的结果。
古
典
学
派
利
息 理 论
古典学派代表人物及其思想
亚当·斯密（Adam Smith）
认为利息是资本的自然报酬，是资本家放弃当前消费而获得的未来收益的补偿。
大卫·李嘉图（David Ricardo）
提出利息是资本的租金，是资本家将资本租给企业家使用所获得的报酬。
约翰·斯图亚特·穆勒（John Stuart Mil…
利息理论总结
第一章利息的基本计算一、利息基本函数(一)累积函数本金：初始投资的资本金额累积值：过一定时期后收到的总金额利息：累积值与本金之间的金额差值积累函数a(t)表示0时刻的本金1经过t年的连续累积得到的积累值，也称作累积因子。
总量函数A(t)表示本金为k的透支在时刻t>=0是的积累值。
A(t)=k∗a(t)累积函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数，把一期折现因子a-1(t)简称为折现因子，记为v(二)单利和复利将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额记为I，有I n=A(n)−A(n−1),n≥1利率等于一定的货币量在一段时间（计息期）内的变化量（利息）与期初货币量的比值利息计算公式：利率=利息/期初本金*100%1.单利如果其在t时的积累值为a(t)=1+it 其中i为某常数。
那么，我们就说该项投资以单利i计息，并将这种计息方式称为单利(计息方式)。
2. 复利如果其在t 时的积累值为a (t )=(1+i )t那么，我们就说该项投资以复利i 计息，这种计息方式称为复利。
3. 单利计算与复利计算的区别1) 若单利率=复利率，当0<t<1，时单利>复利，而当t>1时，单利<复利2) 两者短期差距不大，长期两者有显著差距3) 复利几乎用于所有金融业务，单利只用于短期计算或复利的不足期近似计算 (三) 贴现函数 如果在期初投资(1+i )-1则期末是恰好累积到1，把v=(1+i )-1称为是贴现因子，即期初本金=期末累积值*贴现因子 一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为实贴现率 贴现率d 的计算公式：d n =A (n )−A(n −1)A(n)=I n A(n)=a (n )−a(n −1)a(n)1. 单贴现贴现函数为a −1(t )=1+dt,0≤t ≤1d ,其中d 为单贴现率2. 复贴现3.贴现函数为a−1(t)=（1+d）t,0≤t,其中d为复贴现率●如果对给定的投资金额，在同样长的期间类，它们产生同样的积累值，则称两个“率”是“等价”等。
利息理论(第二版)
课程简介
•
• 利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，
•
应用简单的数学工具给出有关利息和年金的计算方法。 美国耶鲁大学著名经济理论家欧文· 费雪(Irving Fisher) 在1930年出版的《利息理论》(The Theory of Interest) 标志着利息理论学科的诞生。费雪(I.Fisher)在其《利 息理论》中对利息的概念刻划得淋漓尽致。“任何物 品都是不同程度的耐用品，耐用品能在未来某个时段 内提供一连串的服务，而其全部价值的折现之和，构 成这物品的现值”，这个观点解释了人们为什么会悉 心照顾一桶十年后才开的红酒、为什么要盖一所能用 上两百年的房子。 随着社会经济的发展，利息理论已经渗透到保险精算、 财务分析、证券投资、资产定价、金融风险管理等各 个领域。
• 北美精算学会①
代号
Course 1
Course 2 Course 3
课程
精算数学基础(Mathematical Foundations of Actuarial Science)
利息理论、经济学和金融学(Interest Theory, Economics and Finance) 随机精算模型(Actuarical Models)
准精算师考试科目 科目代码 A1 科目 数学 学分 考试时间 备注 3小时
A2 A3 A4
A5 A6 A7
金融数学 精算模型 经济学基础
寿险精算 非寿险精算 会计与财务
3小时 3小时 3小时
3小时 3小时 3小时
A8
精算管理
3小时
中国精算师资格考试(金融数学)
• 考试内容(结构)：
A、利息理论 (分数比例约为30%)
世界主要国家的保险精算资格考试
货币金融学·第十三章利息理论
货币金融学·第十三章利息理论引言利息是货币金融学中一个重要的概念，涉及到资金的借贷和投资等方面。
在第十三章中，我们将对利息理论进行详细的探讨。
本文将从利息的定义、影响利息的因素以及利息理论的发展等方面进行介绍，以帮助读者更好地理解和掌握利息理论。
利息的定义利息是指在借贷资金的过程中，贷方向借方收取的一定的费用。
在现代货币经济中，利息是货币资金的价格，反映了资金的使用价值。
利息的支付方式通常有两种，即正回现和负回现。
正回现是指在借贷期限结束时一次性支付全部利息和本金，负回现则是在借贷期限内按一定时间间隔支付利息，到期一次性支付全部本金。
影响利息的因素利息的形成和决定受到多种因素的影响，下面将介绍一些主要的因素：1. 供求关系资金的供求关系是影响利息的关键因素之一。
当资金供应相对紧缺，需求相对旺盛时，利率往往会上升；反之，当资金供应相对充裕，需求相对不旺时，利率会下降。
2. 通货膨胀率通货膨胀率也对利息产生影响。
通常情况下，通货膨胀率越高，利率越高。
这是因为通货膨胀会导致货币贬值，借款人在还款时所偿还的债务相对减少，因此，贷款人要求较高的利息来弥补货币贬值所带来的损失。
3. 政府政策政府的货币政策也是影响利率的重要因素。
通过调整货币供应量和利率，政府可以影响市场上资金的供求关系，从而对利率产生调控作用。
4. 风险风险水平也会对利息产生影响。
一般来说，风险越高，利息也会越高，以作为对风险的补偿。
借款人的信用状况、还款能力以及所进行的投资项目等都会对风险水平产生影响。
利息理论的发展随着时间的推移和学术研究的不断深入，人们对于利息的理解和认识也在不断演化。
以下是一些利息理论的发展概述：1. 时期结构理论时期结构理论强调了长期利率和短期利率之间的关系。
根据时期结构理论，长期利率通常会高于短期利率，这是因为长期借款涉及到更多的风险，借款人要求更高的利率来对冲风险。
2. 流动性偏好理论流动性偏好理论认为，人们通常更倾向于持有流动性较高的资产，而非流动性较高的资产。
2利息理论讲解
反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的 价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
利息率=利息100元与本金1000元之比=10%
贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%
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利率和贴现率的关系
a(1) 1 (1 i) 1 i d i a(1) 1 i 1 i
解： (1)
(2)
14000 1.06 2 12459.95(元) 14000 (1 0.06) 2 12370.4(元)
四、名义利率与名义贴现率
利息可以按年结算、也可以按半年、季和月结算。
在单利下，计息时间单位不影响利息额：t i
在复利下，年利率不变，但结算时间单位 不同，也会使实际利息值不同。
d (2) 2 [1 (1
12% 6 ) ] 11.59% 12
例2.7 某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次， 年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的款为多少？
解： 每3个月结算一次，每次结算利息率为16%/4=4%， 21个月结算7次，所以
4000 (1 4%)7 5263.73(元)
1200 1000 (1 5%)t
解得 t 3.74(年)
例2.2 以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3
年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。 解： 在单利下，有 在复利下，有
A(5) 10000 (1 5%)2 (1 6%)3 13130.95(元)
例2.5 某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利
计息下，3年后他欠银行多少钱？ 解：3%日月结利率，3年后的累积欠额可以直接按36年月的 复利计算，所以
利息理论(第二版).
课程简介
ห้องสมุดไป่ตู้• 《中华人民共和国保险法》（2009年修订）第八十五条规定：
“保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算 专业人员，建立精算报告制度。保险公司应当聘用专业人员， 建立合规报告制度。” 中国保险监督管理委员会1999年组织了中国首次精算师资格 考试，当年有43人获得中国精算师资格。中国精算师考试科 目共有18门课（其中准精算师有8门课，精算师10门课）。 北美精算学会（Society of Actuaries, SOA ）的精算师资格 考试课程是为寿险精算人员所设计的。其考试分为两部分， 准精算师课程和精算师课程。2000年学会开始实行新的考试 制度，一共包括8门课程。 利息理论是中国准精算师和北美精算学会准精算师的必考科 目中的重要内容，也是许多财经类大学保险精算专业研究生 入学考试的必考科目。
精算师考试科目 科目代码 FC1 FC2 FC3 FC4 FL1 FL2 FL3 FG1 FG2 FG3 科目 保险法及相关法规 保险公司财务管理 健康保险 投资学 个人寿险与年金精算实务 资产负债管理 员工福利计划 非寿险精算实务 非寿险定价 非寿险责任准备金评估 学分 考试时间 备注 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时
• 考试形式: 选择题
• 考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知
识背景。通过学习本科目, 考生应该熟练掌握
利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金
融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内
容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌
握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
中国精算师资格考试(金融数学)
• 考试内容(结构)：
课程简介
• 利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，
《利息理论复习》PPT课件
na
=
n
i
(2-55B)
(Ds) = s + s s + s s +…+ s s + s s
n
n
n
1n
2
n
n2 n
n1
=n s -( s + s +…+ s + s )
n
12
n2 n1
n(1 i)n s
=
n
i
(2-56B)
永续变额年金
lim (P a
n
n
+Q
a n
nvn i
)=
P i
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
现金流出：O0
现金流入 I0
时间
0
O1
O2 …
On-1
On
I1
I2 …
I n-1
In
1
2…
n-1
n
图(3-1) 投资记录时间图
3-2 收益率的定义
• 使得净现值为0的利率i为相应投资
项目的收益率
n
P(i)= vt Rt =0 t0
(3-2)
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
j)mn j
1 1 vn = i(m)
(2-35B) (2-36B)
a(m n
)
=
1 v i(m)
n
1 vn =
i
i
× i
(
m
)
i
= i(m)
a n
s(m) n
=
i
i
(m
)
s n
(2-37A) (2-37B)
《利息理论》—教学课件
3、在该度量期本金的数额保持不变，即没有新本金投入 也没有本金被取出。
4、实际利率是度量期末支付利息的一种度量。
支付利息的二种方式 ❖ 期末支付
这是常见的支付利息的方式，又称滞后利息。 例：设某人向银行借了1000元钱，约定一年后还本，借贷
款利率为8%的滞后利率，则此人在年末时要偿还银行本 金1000元，另加80元利息。 ❖ 期初支付 这种支付利息的方法不常见，又称预付利息。它是在投入 资本之时即获得利息。
显然，In关于n单调递增。而对于每期的实际利率，有
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1
i)n (1 i)n1 (1 i)n1
(1 i) 1
1
i
与n无关。这样，尽管定义不同，但复利与实际利率是相同 的，这也是复利与单利区别之一。
❖ 单利与复利的比较 1、单利的利息并不作为投资资金而再赚取利息，而复利则不 然，它采用的是“利滚利”。 2、由积累函数看，相同数值的单利对于不同的时期会有不同 的关系：对于单个度量期，它们产生的结果是相同的；对于 较长时期，由于t≥1时，有(1+i)t≥1+it，所以复利比单利产 生更大的积累值；而对于较短时期则相反，因为t≤1时， (1+i)t≤1+it；
三、实际利率
利率的第一种形式称为“实际利率”，用i表示。 定义：我们将一个度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资
的本金金额之比，称为该期的实际利率。 ❖ 用积累函数来定义即为：
i＝a(1)－a(0) 或 a(1)＝1+i
❖ 关于这个定义有几点值得注意：
1、“实际”这个词的使用不是很直观，这个概念用于每 个计息期支付一次利息的利率，它是与“名义利率” 相 对的。“名义利率”是一个计息期内支付多次利息的利率。
经济学讲义-第二十二讲：利息理论(作者：本博客管理员)
按：本系列文章的作者是本博客管理员（不是张五常教授）！第二十二讲利息理论之前的学习中我们都没有涉及到时间的因素，但在现实之中，时间是有价的！而这个价格，就是利息（Interest）！因此，这一讲我们就要把时间的因素也考虑进来，所讲解的就是课本402页的第十五章《时间经济学》，实际上是关于“利息理论”的。
利息理论（或时间经济学）是金融学、投资学的基础——前面关于“信息费用”的部分讲解了以信息费用来量度风险，而除却风险之外，金融学、投资学余下的内容都属于利息理论——，主要是由费雪（I. Fisher）一人创立的。
人们不但要在同一时点上选择不同的物品来消费，也要对同样的物品选择在不同的时点上消费。
事实上，同样的物品在不同的时点上就已经是不同的物品——如课本402页中所说的谷物，现在的谷物与未来的谷物就已经是不同的谷物。
给你两个选择：现在就得到100单位的谷物，或者是一年之后才得到100单位的谷物，你愿意要哪一个？即使不存在通货膨胀的问题，你也会愿意现在就得到100单位的谷物。
为什么呢？原因有两个：其一，说句不好听的话，一年之后说不定你已经死了，人死灯灭，那时不要说给你100单位的谷物，就是把全世界的物品都给了你，你也没命去享受！也就是说，由于生命无常，而人是要活着才能享受的，所以人们会认为目前的消费所值（现在的物品的使用价值或效用）高于未来的消费所值（未来的物品的使用价值或效用）。
但是，当然了，鉴于一年之后你也不一定非死不可，因此将未来的收入提高到一定程度时——如一年之后你可以得到110单位的谷物——，你会愿意等上一年。
这增加了的10单位谷物就是利息，是用来换取你耐心地等待一年的价格（代价）。
这是从消费的方面来解释利息的存在。
利息的存在还有生产方面的原因。
现在就给你100单位的谷物，你把它们扔进一块肥沃的土地里，什么都不再管，一年之后它自己就结出多于100单位的谷物，也就是物品的价值随着时间的过去自然而然会增长。
利息理论 ppt课件
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有
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139 1000 (1 5%) 1019.4 （元） 365
在复利下，还款总额为
1000 (1 5%)
139 365
1018.75 （元）
10
(3) 设借款t年后需要还款1200元。 在单利下，有
1200 1000 (1 t 5%)
解得 t=4（年） 在复利下，有
3
资金在周转中实现价值
何二从丁一处买一头猪，欠1000元
张三从何二处买四条狗，欠1000元 李四从张三处买一双皮鞋，欠1000元
王五从李四处买一套衣服，欠1000元
赵六从王五处买两套书，支付1000元 王五立即还李四，李四立即还张三，张三立即还何二，何二 立即还丁一，于是，仅用1000元，完成了5个1000元的交易， 谁也不欠谁了。
A(5) 10000 (1 2 5% 3 6%) 12800(元)
三、现值和贴现率
我们把1单位元在t年前的值或者未来t年1单位元在现在的值称 为t年的现值。
贴现因子
13
现值和贴现率
在单利下，1元的t年现值为
1 , 1 i1 i2 it
1 当年利率 相等时，为 1 it
货币的发明真是人类经济生活中的伟大事件！
4
一、累积函数
(一)总额函数
本金：最初投资的滋生利息的款项。 累积额：本金经过一段时期后形成的金额称为累积额，它是 本金与利息之和，又称本利和。
A(t )
总额函数
I (t )
利息函数
I (t ) A(t ) A(0)
A(t ) A(0) I (t )
1200 1000 (1 5%)t
解得 t 3.74(年)
例2.2 以10000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3
年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。 解： 在单利下，有 在复利下，有
A(5) 10000 (1 5%)2 (1 6%)3 13130.95(元)
1
1
1
0 图2-1
t
0 图2-2
t
图2-3
0
t
a(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正
的利息。 有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数， 在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3 所示。
6
(三)利息率
利息率 1年内1单位本金的利息就是实际年利息率
以 i n 表示第n个基本计息时间单位的实际利率
A(1) A(0) i1 a(1) 1 A(0)
a ( n) A(n) A(n 1) in 1 a(n 1) A(n 1)
二、单利和复利
单利：只在本金上生息
设第t年实际利率it，1年末的累积额为:
A(1) A(0) A(0)i1 A(0)(1 i1 )
年金在债务偿还和债券价格计算中的应用
2
第一节 利息基本理论
利息
在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的 增值。资金周转使用的时间越长，实现的价值增值 就越大。 另一方面，受通货膨胀的影响，等额的货币在 不同时间上的价值也不同。 转让货币使用权就得到与放弃这个使用机会时 期长短相应的报酬，利息正是借入资本需要支付的 使用代价，或者是出让资本使用权应得的报酬。
解： （1）在单利下，还款总额为
A(2) A(0)(1 2i) 1000 (1 2 5%) 1100 （元）
在复利下，还款总额为
A(2) A(0)(1 i)2 1000 (1 5%)2 1102.5 （元）
（2）计自成息天数为139天。在单利下，还款总额为
第二章 利息理论
人们在生命期内都会面临生、老、病、死的风险，
都需要通过商业保险和社会保险得到经济安全保
障。但无论是商业人寿和年多保险，还是社会养 老保险或企业年金，都有资金投资和利息问题， 因而利息理论成为保险精算学的基础。
1
学习要点
利息的基本理论和计算 确定年金的相关理论 累积函数、利率、贴现率、年金现值与终值
第2年末的累积额为:
A(2) A(0)(1 i1 ) A(0)(1 i1 )i2 A(0)(1 i1 )(1 i2 )
当各年利率均为i时，有
A(n) A(0)(1 i)n
a(t ) (1 i)t
9
例2.1 某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利息为5%, 试分别以单利和复利计算： （1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少 ？ （2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少 ？ （3）借款多长时间需要还款1200元？
贴现是在累积额基础上的减少额。
例
1000元本金经过一年投资成为1100元，增加的100元 是利息。 反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的 价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
第2年末的累积额为:
A(2) A(0)(1 i1 ) A(0)i2 A(0)(1 i1 i2 )
当各年利率均为i时，有
A(t ) A(0)(1 8
复利：在本金和利息上生息
设第t年实际利率it，1年末的累积额为:
A(1) A(0) A(0)i1 A(0)(1 i1 )
单利下的现值与累积值
14
现值和贴现率
1 在复利下，1元的t年现值为 (1 i )(1 i )(1 i ) , 1 2 t
1 t 当年利率相同时，为 t ，即 v . (1 i )
复利下的现值与累积值
15
贴现额：如果将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付，
则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额称为贴现额。它相 当于资金投资在期初的预付利息。 贴现和利息的区别： 区别于分析的出发点不同，利息是在本金基础上的增加额。
(二)累积函数
累积函数是单位本金的经过t时期后的增值额函数，以 a(t ) 表示:
a (t )
A(t ) A(0)
5
显然 a(0) 1
A(t ) A(0) a(t )
a(t)通常为t 的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）
点的曲线，如图2-1和图2-2所示
a(t) a(t) a(t)