整式乘法公式
第十讲整式的乘除(乘法公式)
第十讲整式的乘除（乘法公式）一、【知识要点】1.单项式乘以单项式：；2.单项式乘以多项式：m（a+b）=；3、多项式乘以多项式：(m+n)(a+b)=；（x+a）(x+b)=；4、单项式除以单项式：；5、多项式除以单项式：(am+an)÷a=；6、平方差公式：(a+b)(a-b)=；227、完全平方公式：(a+b)=；（a-b）=；二千二百二十二8、立方和公式：(a+b)(a-ab+b)=；立方差公式：(a-b)(a+ab+b)=.二、【典型例题】1、计算：（1）（－a－b）（a－b）（2）（2x？（3）（-a-b）（4）(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)（5）（x？2y？z）（x？2y？z）（6）（x+5）－（x－2）（x－3）2、先化简，再求值：（x＋２y）（x－２y）－（２x－y）（－２x－y），其中x＝８，y＝－８；3.已知a-3a+1=0。
找到一个？第1页共4页二2二11)(?2x?)332411和a2?2的值；AA4。
验证：两个连续整数加上较大数之和的乘积等于较大数的平方5、已知a、b、c是△abc的三边的长，且满足a?2b?c?2b(a?c)?0，试判断此三角形的形状。
6.如图所示，三个小圆的中心位于大圆的直径上，其直径分别为a、B和C①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。
三、 [巩固练习]1。
多项选择题：（1）如果一个单项式与?3ab的积为?222abc32abc,则这个单项式为（）4129219a、acb、acc、acd、ac4444（2）（2x？1）（？2x？1）的计算结果为（）a.-4x+1b.1-4xc.4x+1d.4x-1二(3)如果(x－2)(x＋3)＝x＋px＋q，那么p、q的值为（）a、 P=5，q=6B。
P=1，q=-6C。
P=1，q=6D。
P=5，q=-6（4）在下列操作中，正确的是（）a、?a?b??a?bb、??x?y??x?2xy?y二百二十二万二千二百二十二2二2C十、3.十、2.十、6d、？？A.BA.BA.B222（5）若x+mx+1是完全平方式，则m=（）a、±2b、2c、±4d、4第2页，共4页2（6）知道4x吗？mxy？9y是X，y的完全平方，那么M的值是（）a、6b、?6c、12d?12二（7）若二项式4m+9加上一个单项式后是一含m的完全平方式，则这样的单项式的个数有（）a、 4 B，3 C，2 D，1（8）为了应用平方差公式计算?a?b?c??a?b?c?，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（）a、 c22??a?c??b???a?c??b?b、??a?b??c???a?b??c???b?c??a???b?c??a?d、?a??b?c???a??b?c ??22（9）已知（a？B）？7，（a？b）？3，那么a？B和ab的值为（）a.4,1b.2,2233c。
第十讲整式的乘除(乘法公式)
第十讲 整式的乘除（乘法公式）一、【知识要点】1、 单项式乘以单项式： ；2、 单项式乘以多项式：m(a+b) = ；3、 多项式乘以多项式：(m+n)(a+b)= ；（x+a ）(x+b)= ；4、 单项式除以单项式： ；5、 多项式除以单项式：(am+an) ÷a= ；6、平方差公式：(a+b)(a-b)= ；7、完全平方公式：(a+b)2= ；（a-b ）2 = ；8、立方和公式：(a+b)(a 2-ab+b 2) = ；立方差公式：(a-b)(a 2+ab+b 2) = .二、【典型例题】1、计算：（1）（－a －b ）（a －b ） （2）(31x 2+-)(31x 2--)（3）（-a-b ）2 （4）)1)(1)(1)(1(42-+++x x x x(5))2)(2(z y x z y x ++-+- （6）（x+5）2－（x －2）（x －3）2、先化简，再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）－（２x －y ）（－２x －y ），其中x ＝８，y ＝－８；3、已知a 2－3a ＋1＝0．求aa 1+和221a a +的值；4、求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方5、已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状。
6、如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c① 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长② 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。
三、【巩固练习】1、选择题：（1）如果一个单项式与3ab -的积为234a bc -,则这个单项式为（ ） A 、214a c B 、14ac C 、294a c D 、94ac （2）)12)(12(+-+x x 的计算结果是 （ ）A.-4x 2+1B.1-4x 2C. 4x 2+1D. 4x 2-1(3)如果(x －2)(x ＋3) ＝ x 2＋px ＋q ，那么p 、q 的值为（ ）A ．p ＝5，q ＝6B ．p ＝1，q ＝－6C ．p ＝1，q ＝6D ．p ＝5，q ＝－6(4)下列运算中，正确的是（ ）A 、()222a b a b +=+B 、()2222x y x xy y --=++C 、()()2326x x x +-=-D 、()()22a b a b a b --+=- （5）若x 2+mx+1是完全平方式，则m=（ ） A 、±2 B 、2 C 、±4 D 、4（6）已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m 的值为（ ）A 、6B 、6±C 、12D 12±（7）若二项式4m 2+9加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则这样的单项式的个数有（ ）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个（8）为了应用平方差公式计算()()c b a c b a -++-，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）A 、()[]()[]b c a b c a +--+ B 、()[]()[]c b a c b a -++- C 、()[]()[]a c b a c b +--+ D 、()[]()[]c b a c b a -+--（9）已知7)(2=+b a ,3)(2=-b a ,则22b a +与ab 的值分别是（ ） A. 4,1 B. 2,23 C.5,1 D. 10,23 （10）如图，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A ．a 2-b 2=(a+b)(a-b)B ．(a+b)2=a 2+2ab+b 2C ．(a-b)2=a 2-2ab+b 2D ．(a+2b)(a-b)=a 2+ab-2b 22、填空题:(1)若多项式m x y 12x 92+-是完全平方式,则m= . (2)若x 2＋kx ＋25是一个完全平方式，则k ＝ ．(3)单项式36a b 与229a b c 的公因式为（4）若1,2=-=-c a b a ,则=-+--22)()2(a c c b a（5）若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= （6）已知a －a 1 =3，则a 2+a 12 的值等于 (7)已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝ ；(8)若m 2+n 2＝6n －4m －13，则m 2－n 2 =_________.（9）已知0134622=+-++y x y x ，则2046)(y x +的值为 （10）己知a 2=a+1，则代数式a 5－5a+2的值为3、计算：（1）（a+b ）（－b+a ） （2）（3a+2b ）（3a －2b ） （3）（4m+n ）2（4）（y-12）2 （5）（a －b ）（a+b ）（a 2+b 2） (6)（a+2b －3c ）（a －2b+3c ）（1）992 （2）998×1002 （3）98×102－992 （4）1198992++5、先化简，再求值： [(x －y)2+(x+y)(x －y)]÷2x，其中x=3,y=－1.56、己知a+b=1, 求证：a 3+b 3+3ab=17、观察下列算式：1×3＋1＝4＝22 ，2×4＋1＝9＝32 ，3×5＋1＝16＝42 ，4×6＋1＝25＝52 ……请将你找出的规律用公式表示出来，并加以证明。
整式的乘法与因式分解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。
2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。
初一年级下数学公式
初一年级下数学公式一、幂的运算公式。
1. 同底数幂相乘。
口诀：底数不变，指数相加。
公式：a^m· a^n=a^m + n（a≠0，m、n是整数）。
就好比你有a的m个小方块和a的n个小方块，把它们合在一起，那就是a的m + n个小方块啦。
2. 同底数幂相除。
口诀：底数不变，指数相减。
公式：a^m÷ a^n=a^m n（a≠0，m、n是整数且m>n）。
这就像是你有a的m个小物件，要分成a的n份，那每份就是a的m n个小物件咯。
3. 幂的乘方。
口诀：底数不变，指数相乘。
公式：(a^m)^n=a^mn（a≠0，m、n是整数）。
想象一下把a的m个小堆，每个小堆又分成n个更小的堆，那总共就有mn个小堆啦，所以就是a的mn次方。
4. 积的乘方。
口诀：先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘。
公式：(ab)^n=a^nb^n（n是整数）。
就好像你有a个苹果和b个橘子装在一个盒子里，有n个这样的盒子，那苹果就有a^n个，橘子就有b^n个，总体就是(ab)^n 啦。
二、整式乘法公式。
1. 单项式乘以单项式。
就是把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如3x^2·2x^3=(3×2)(x^2· x^3) = 6x^5。
可以想象成一群x^2小怪兽和另一群x^3小怪兽结合在一起，系数就像是小怪兽的首领，也得相乘。
2. 单项式乘以多项式。
用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式：m(a + b + c)=ma+mb + mc。
就好比你有一个魔法棒m，你要对a、b、c 这三个小伙伴分别施展魔法，最后把结果加起来。
3. 多项式乘以多项式。
先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
公式：(a + b)(m + n)=am+an+bm+bn。
这就像是两组小伙伴a、b和m、n互相握手，a要和m、n分别握手，b也要和m、n分别握手，然后把握手的结果加起来。
整式的乘法公式
整式的乘法公式一、整式乘法的基本概念。
1. 单项式乘单项式。
- 法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
- 例如：3x^2y· 4xy^2=(3×4)(x^2· x)(y· y^2)=12x^2 + 1y^1+2=12x^3y^3。
2. 单项式乘多项式。
- 法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：a(b + c)=ab+ac，具体计算如2x(x^2 - 3x+1)=2x· x^2-2x·3x + 2x·1 = 2x^3-6x^2 + 2x。
3. 多项式乘多项式。
- 法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
- 例如：(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd。
计算(x + 2)(x - 3)=x· x+x·(-3)+2· x+2×(-3)=x^2-3x + 2x-6=x^2 - x - 6。
二、乘法公式。
1. 平方差公式。
- 公式：(a + b)(a - b)=a^2 - b^2。
- 推导：(a + b)(a - b)=a· a - a· b+b· a - b· b=a^2 - b^2。
- 应用示例：计算(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2 = 9x^2 - 4y^2。
2. 完全平方公式。
- 完全平方和公式：(a + b)^2=a^2+2ab + b^2。
- 推导：(a + b)^2=(a + b)(a + b)=a· a+a· b+b· a + b· b=a^2+2ab + b^2。
- 应用示例：(x + 3)^2=x^2+2× x×3+3^2=x^2 + 6x+9。
整式的乘除知识点整理
一、知识点归纳： （一）幂的四种运算：1、同底数幂的乘法：⑴语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ⑵字母表示：a m ·a n = a m+n ；(m ，n 都是整数) ；⑶逆运用：a m+n = a m ·a n2、幂的乘方：⑴语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘； ⑵字母表示：(a m ) n = a mn ；(m ，n 都是整数)； ⑶逆运用：a mn =(a m )n =(a n )m ；3、积的乘方：⑴语言叙述：积的乘方，等于每个因式乘方的积； ⑵字母表示：(ab)n = a n b n ；(n 是整数)； ⑶逆运用：a n b n = (a b)n ；4、同底数幂的除法：⑴语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减；⑵字母表示：a m ÷a n = a m-n ；(a≠0，m 、n 都是整数)； ⑶逆运用：a m-n = a m ÷a n .（二）整式的乘法：1、单项式乘以单项式：⑴语言叙述：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
⑵实质：分三类乘：⑴系数乘系数；⑵同底数幂相乘；⑶单独一类字母，则连同它的指数照抄； 2、单项式乘以多项式：⑴语言叙述：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
⑵字母表示：c)＝ma ＋mb ＋mc ；（注意各项之间的符号！） 3、多项式乘以多项式：(1)语言叙述：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；(2)字母表示：＝mn ＋mb ＋an ＋ab ；（注意各项之间的符号！） 注意点：⑴在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。
⑵多项式的每一项都包含它前面的符号，确定乘积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。
⑶运算结果中如果有同类项，则要 合并同类项（三）乘法公式： 1、平方差公式：(1)语言叙述：两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差。
整式的乘法公式
整式的乘法公式整式的乘法公式是数学中的重要概念，它可以帮助我们快速、准确地进行整式的乘法运算。
在本文中，我将详细介绍整式的乘法公式及其应用。
一、整式的乘法公式整式是由常数和变量的乘积以及它们之间的加减运算所构成的代数式。
在乘法运算中，可以利用整式的乘法公式来简化计算。
整式的乘法公式包括以下几条：1. 乘法分配律：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：a(b+c) = ab + ac(b+c)a = ba + ca这条乘法分配律的应用非常广泛，它可以用于加法和乘法的结合。
例如，对于整式3(x+2)，根据乘法分配律，我们可以得到：3(x+2) = 3x + 62. 平方差公式：对于任意的整式a和b，有如下公式：(a+b)(a-b) = a^2 - b^2这条平方差公式在整式乘法中十分常用，可以用来求平方差的计算。
例如，对于整式(x+3)(x-4)，根据平方差公式，我们可以得到：(x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 123. 三角形式乘法公式：对于任意的整式a、b和c，有如下公式：(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+bc+ca)(a+b+c) - abc这条三角形式乘法公式常用于多项式的乘法运算。
例如，对于整式(x+1)(x+2)(x+3)，根据三角形式乘法公式，我们可以得到：(x+1)(x+2)(x+3) = (x^2+3x+x+2)(x+3) - (x+1)(x+2)(x+3) =(x^2+4x+2)(x+3) - (x^2+3x)(x+3) = x^3 + 6x^2 +11x + 6二、整式的乘法公式的应用整式的乘法公式在代数学中有着广泛的应用。
下面我将通过实际例子来说明整式的乘法公式的应用。
例题1：计算(2x+3)(x+1)。
根据乘法分配律，我们可以按照以下步骤进行计算：(2x+3)(x+1) = 2x(x+1) + 3(x+1) = 2x^2 + 2x + 3x + 3 = 2x^2 + 5x + 3例题2：计算(3x+2)(3x-2)。
整式的乘法乘法公式
先算乘方，再算乘除，最后算 加减；
运用分配律
将括号内的代数式展开，并运用 分配律进行计算；
合并同类项
将同类项进行合并，得到最简结果 。
整式乘法公式的计算技巧
熟记公式
熟练掌握整式乘法公式，如平 方差公式、完全平方公式等；
化简代数式
在计算过程中，尽量化简代数 式，减少计算量；
灵活运用运算法则
整式乘法公式是一种简化的运算方法，适用于任何两个整式 的乘法运算。
整式乘法公式的特点
1
整式乘法公式具有普遍适用性，适用于任何两 个整式的乘法运算。
2
整式乘法公式可以简化复杂的计算过程，提高 运算效率。
3
整式乘法公式有助于培养学生的数学思维能力 和符号意识。
整式乘法公式的历史与发展
01
整式乘法公式是数学运算中的基本工具，有着悠久的历史和广 泛的应用。
2023
《整式的乘法乘法公式》
contents
目录
• 整式乘法公式概述 • 整式乘法公式的形式与证明 • 整式乘法公式的计算方法与技巧 • 整式乘法公式的应用实例
01
整式乘法公式概述
整式乘法公式的定义
整式乘法公式定义：整式乘法公式是单项式与单项式相乘， 把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的 指数不变，作为积的因式的运算。
交换律公式
$(a+b)(c+d)=(a+b)(c+d)$
整式乘法公式的证明方法
分配律公式的证明
根据乘法分配律，可以得出$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$。
结合律公式的证明
根据乘法结合律，可以得出$(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$。
第07讲 整式的乘法与乘法公式
第7讲 整式的乘法与乘法公式学习数学的惟一方法是做数学。
——哈尔莫斯 知识方法扫描整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式和多项式乘多项式。
乘法公式是多项式相乘得出的，它们是既有特殊性，又有规律性和实用性的具体结论．常用的公式有：;))()(1(22b a b a b a -=-+;2))(2(222b ab a b a +±=±;))()(3(3322b a b ab a b a ±=+±;222))(4(2222ca bc ab c b a c b a +++++=++;33))(5(32233b ab b a a b a +++=+;3))()(6(333222abc c b a ca bc ab c b a c b a -++=---++++))()(7(122321-----+++++-n n n n n b ab b a b a a b a n n b a -=))()(8(122321-----++-+-+n n n n n b ab b a b a a b a n n b a +=（n 为奇数）经典例题解析例1．（第16届“希望杯”初二第2试题）计算：1998)37(×20002000357153++。
解 原式02000020200020001998)57(7)53(3)37(⨯+⨯+⨯=2000200020000002002000201998577533)37(⨯+⨯+⨯= )51(7)51(3)37(20000002000220001998+⨯+⨯⨯=00028919)73()37(⨯= 219988919)73()73()37(⨯⨯=⋅=⨯⨯=499499)7337(1998 例2．(2005年四川省初中数学联赛决赛八年级试题) 计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝＿＿＿解 原式=(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1=(22-1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1=(24-1)(24＋1)…(232＋1)＋1=……=(232-1)(232＋1)＋1=(264-1)＋1=264例3．(1999年武汉市初中数学竞赛试题) 设x,y 为实数，且满足⎩⎨⎧-=-+-=-+-1)1(1998)1(1)1(1998)1(33y y x x ， 则x+y=( )(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2解 设 x-1=a,y-1=b,则有 ⎩⎨⎧-=+=+119981199833b b a a ， 将两式相加，得 a 3+b 3+1998a+1998b=0，即 (a+b)[(a 2-ab+b 2)+1998(a+b)=0, 从而(a+b)( a 2-ab+b 2+1998)=0注意到 a 2-ab+b 2+1998=,01998])([21222>++++b a b a 所以a+b=0, 也就是 (x-1)+(y-1)=0, x+y=2, 故选C 。
整式的乘法公式的实际应用
整式的乘法公式的实际应用1. 引言整式的乘法公式是数学中重要的基础知识之一。
它是解决多项式的乘法运算的基本方法，广泛应用于实际生活中的问题解决中。
本文将介绍整式的乘法公式的定义和运用，并通过实际问题引入多项式的乘法运算。
2. 整式的乘法公式整式是指由常系数与未知数的乘积相加或相减而组成的代数表达式。
整式的乘法公式是指两个整式相乘时所遵循的运算规律。
根据乘法公式，若有两个整式相乘，首先将每一个整式中的每一项分别与另一个整式中的每一项相乘，然后将所得的乘积相加。
这样，就得到了两个整式的乘积。
例如，对于多项式(a+b)(c+d)，根据整式的乘法公式，我们可以用分配律展开运算，得到ac+ad+bc+bd。
这个展开式就是两个整式相乘的结果。
3. 实际应用举例整式的乘法公式在实际生活中有着广泛的应用。
以下将通过几个实际问题引入整式的乘法公式的应用。
3.1. 面积计算假设有一个矩形的长为x+2厘米，宽为3x厘米。
我们可以用整式的乘法公式计算出这个矩形的面积。
根据矩形的面积公式 $S = l \\times w$，其中l代表矩形的长，w代表矩形的宽。
将给定的整式代入公式，可以得到：$S = (x+2) \\times (3x) = 3x^2 + 6x$因此，这个矩形的面积可以表示为3x2+6x平方厘米。
3.2. 物体数量计算假设有一个班级，班上有x+5个男生，每个男生身上带着3x个铅笔。
我们可以用整式的乘法公式计算出班级男生所有铅笔的总数。
根据每个男生带着的铅笔数量，我们可以得到班级男生所有铅笔的总数为$(x+5) \\times (3x)$。
使用乘法公式进行展开运算，可以得到：3x2+15x因此，班级男生所有铅笔的总数可以表示为3x2+15x支。
3.3. 代数式的化简根据整式的乘法公式，我们可以将代数式进行化简，简化计算过程。
假设有一个代数式2(x+3)(x−4)，我们可以使用乘法公式进行展开运算，得到：2(x+3)(x−4)=2(x2−4x+3x−12)=2(x2−x−12)通过乘法公式的运算，我们将一个复杂的代数式化简为一个简单的整式。
整式的乘除—乘法公式
整式的乘除—乘法公式【复习】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2(a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2)=x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )]=2x (-2y +2z )=-4xy +4xz【典例分析】例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。
例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。
例3：计算19992-2000×1998例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2+b 2和(a-b)2的值。
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x 2-z 2的值。
整式的乘法
整式的乘法包括（单项式）与（单项式）相乘；(单项式)与（多项式）相乘；（多项式）与（多项式）相乘单项式与单项式相乘的运算法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
整式乘法法则：1、同底数的幂相乘：法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示：a m.a n=a m+n（其中m、n为正整数）2、幂的乘方：法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示：（a m）n=a mn（其中m、n为正整数）3、积的乘方：法则：积的乘方，先把积中各因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
（即等于积中各因式乘方的积。
）数学符号表示：（ab）n=a n b n（其中n为正整数）4、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
5、单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
6、多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
7、乘法公式：平方差公式：（a+b）·（a-b）=a2-b2，完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2。
整式乘法运算：单项式乘以单项式法则：单项式与单项式相乘，利用乘法交换律和结合律，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，一起作为积的因式.注：单项式乘以单项式，实际上是运用了乘法结合律和同底数的幂的运算法则完成的。
①．积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误是，将系数相乘与指数相加混淆，如2a3·3a2=6a5，而不要认为是6a6或5a5.②．相同字母的幂相乘，运用同底数幂的乘法运算性质.③．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式.④．单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.⑤．单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.单项式乘以多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式的乘法，然后再把所得的积相加.法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.方法总结：在探究多项式乘以多项式时，是把某一个多项式看成一个整体，利用分配律进行计算，这里再一次说明了整体性思想在数学中的应用。
整式乘法公式专题复习
²
(1) 498×502
2) 29.7²
(3)（3a+b）² - （3a-b）² (4) (a+b-3) (a-b+3)
（5） a（1-x）（1-x） （6）[(a+2b)² +(a-2b)² ] (2a² -8b² ) (7) (x-1)² (x+1)²
1.比比看，看谁算得快
1、 499² -498² 2、 98 × 102-99²
2
n 6m 10n 34 0
2
求m+n的值
2
பைடு நூலகம்
(2 1)(2 1)(2 1)(2 1) 1 试求：
2 4 8
今天的数学作业 1.填一填：
如果 x² +ax+16 是一个完全平方式， 则 a=___ （2）如果 25a² -30ab+m 是一个完全平 方式，则 m=___ （3）16x² +（ )+25y² =（ ）
拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由． 2 2 (1) (4a+1) =(1−4a) ； 成立
(2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝ (4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
基础训练
填空: (1) (2x-3y) ( -3y-2x )=9y2-4x2
(2)
(-3x -2) (3x -2 )=4-9x2 9 n2 3 2 (3) m -3mn+ 4 = (m - 2 n )2
1 (5) 若4x2+mx+ 是一个完全平方 4
《整式的乘法》课件
同类项相加
如果两个整式含有同类项，则将它们 的同类项的字母和字母的指数分别相 加，例如：$x^2y cdot xy^2 = x^{2+1}y^{1+2} = x^3y^3$。
整式乘法的应用
01
02
03
解决实际问题
整式乘法在实际问题中有 着广泛的应用，例如计算 面积、体积、路程等。
代数运算
整式乘法是代数运算中的 基本运算之一，它可以用 于解决代数方程、不等式 等问题。
掌握好单项式乘多项式和多项式乘多 项式的计算方法，是学好整式乘法的 基础。
合并同类项时，要注意不要遗漏任何 一项，特别是系数和字母因式部分。
多项式乘多项式的实例解析
例如
$(x+1)(x^2+2x+3)$，先分别用$(x+1)$去乘$(x^2+2x+3)$的每一项，得到 $x^3+2x^2+3x$，$x^2+2x+3$，再将同类项合并，得到 $x^3+3x^2+5x+3$。
整式乘法的符号表示
用“·”表示整式相乘，例如：$a^2 cdot b^3 = a^{2+3} cdot b^{3+1} = a^5 cdot b^4$。
整式乘法的规则
系数相乘
合并同类项
整式相乘时，首先将它们的系数相乘 ，例如：$2x cdot 3y = 6xy$。
在整式乘法中，如果两个整式含有相 同的字母和字母的指数，则可以将它 们合并为一个项，例如：$2x^2y + 3x^2y = 5x^2y$。
再如
$(-2x+3y)(-2x-3y)$，利用平方差公式得到$4x^2-9y^2$。
初二整式的乘法
整式的乘法、乘法公式一、 考点、热点回顾1、 同底数幂的乘法一般地，如果字母m 、n 都是正整数，那么a m ·a n = (aaa…a)·(a·a·a…a)m 个a n 个a= a·a·a…a = a m+nm+n 个a幂的运算法则a m ·a n = a m+n （m 、n 是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加逆用n m n m a a a .=+2、 幂的乘方()a a m n mn =（m ，n 都是正整数）。
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
逆用：m n n m m n a a a )()(==3、 积的乘方()ab a b n n n =·（n 为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
逆用：m m m ab b a )(=4、整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式。
单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
n m n m a a a -=÷（n m a .,0≠都是正整数，并且n m ）同底数幂相除，底数不变，指数相减10=a （0≠a ）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加4、 乘法的平方差公式：()()22b a b a b a -=-+两个数的和乘以两个数的差，等于这两个数的平方差。
6、完全平方公式:()2222222)(2b ab a b a b ab a b a +-=-++=+两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍二、 例题精讲1、例1、计算下列各式，结果用幂的形式表示：6656)1(⨯ 45)2(x x ⋅ 3)21(2)21)(3(-⨯- 32)4(y y y ⋅⋅ 4)(3))(5(b a b a +⋅+； )(4)(2))(6(b a b a b a -⋅-⋅-；例2、填空：（1）若a m =a 3•a 4，则m=____（2）若x 4•x m =x 6，则m=____（3）若x •x 2•x 3•x 4•x 5=x m ，则m=____ （4） a 3•a 2•( )=a 112、例1 计算：（1）25)10(； （2）33)(y ； （3）[2)3(-]3； （4）[3)(a -]5例2 计算；（1）53a a ∙+42)(a ； （2）3342)()(a a ∙；（3）223)(a a ∙ （4）43)(a +43a a ∙例3把下列各式写成n b a )(+或n b a )(-的形式：（1）[]23)(b a + （2）[)(b a -2)(a b -]43、例１计算：①()52b ；②()4xy -；③()32y x -；④232⎪⎭⎫ ⎝⎛abc ；⑤()()3211x x --例2、计算：①()()y x x 2353⋅-；②()()()xy xy xy 43322-⋅-+4.1、例1 计算以下各题：(1)4n 2·5n 3； (2) 4a 2x 2·(-3a 3bx)；(3) (-5a 2b 3)·(-3a)； (4)(4×105)·(5×106)·(3×104)．例2 计算以下各题：(3)(-5amb)·(-2b 2)；(4)(-3ab)(-a 2c)·6ab 2．例3计算以下各题：（1）)53(5)2(2232y x xy y x -∙∙- （2）y x xy xy xy 232235)53()(4∙-+∙4.2、例1 计算以下各题：(1)2a b·（3a 2b-2ab 2） (2))12()3241(2xy y x x -∙-例2 计算以下各题：（1）（2）例3化简：4.3、例1 计算以下各题：(1)（a+3）·（b+5）；（2）（3x-y ）(2x+3y)； (3)(a-b)(a+b)；(4)(a-b)(a 2+ab+b 2)例2 计算以下各题：（1）(3x-2)(2x-3)(x+2)；（2）(a-b)(a+b)(a 2+b 2)例3计算：(1)；（2）； （3）5、例1：计算1．)2)(2())((y x y x y x y x +++-+ 2. ()()()773-+--x x x x练习： 辨别下列两个多项式相乘，那些可以使用平方差公式（1）()()n m n m 2332-- （2）()()m n n m 2332--（3）)54)(45(xz y z xy --+- （4）)14)(14(---a a （5）))((z y x z y x -+++例3：计算：（1）())1100(1100-+ （2）98102⨯ （3）8.292.30⨯6、例1利用完全平方公式进行计算：（1）2)32(y x + （2）2)56(-x （3）2)2(b a +- （4）2)23(b a --练习：1、 判断下列各式计算是否正确，错误的请加以改正.（1）222)(b a b a +=+ （2）2222)2(b ab a b a ++=+（3）22242)2(b ab a b a +-=- （4）2249)7(a a -=-2 填空使下列等式成立．（1）)(22)41(161a a +=++ （2）()()2)14(8-=+-a a （3）()()2219=+a例2 计算：（1）()2c b a ++ （2）)2)(2(+--+y x y x三、 课堂练习(一)填空1．a 8=(-a 5)______．2．a 15=( )5．3．3m 2·2m 3=______．4．(x+a)(x+a)=______．5．a 3·(-a)5·(-3a)2·(-7ab 3)=______．6．(-a 2b)3·(-ab 2)=______．7．(2x)2·x 4=( )2．8．24a2b3=6a2·______．9．[(a m)n]p=______．10．(-mn)2(-m2n)3=______．11．3(a-b)2[9(a-b)3](b-a)5=______ ．12．若a2n-1·a2n+1=a12，则n=______．14．(3x2)3-7x3[x3-x(4x2+1)]=______．15．一长方体的高是(a+2)厘米，底面积是(a2+a-6)厘米2，则它的体积是______．(二)选择1．下列计算正确的是[ ]A．9a3·2a2=18a5；B．2x5·3x4=5x9；C．3x3·4x3=12x3；D．3y3·5y3=15y9．2．(y m)3·y n的运算结果是[ ]B．y3m+n；C．y3(m+n)；D．y3mn．3．下列计算错误的是[ ]A．(x+1)(x+4)=x2+5x+4；B．(m-2)(m+3)=m2+m-6；C．(y+4)(y-5)=y2+9y-20；D．(x-3)(x-6)=x2-9x+18．4．计算-a2b2·(-ab3)2所得的结果是 [ ]A．a4b8；B．-a4b8；C．a4b7；D．-a3b8．5．下列计算中错误的是[ ]A．[(a+b)2]3=(a+b)6；B．[(x+y)2n]5=(x+y)2n+5；C．[(x+y)m]n=(x+y)mn；D．[(x+y)m+1]n=(x+y)mn+n．6．(-2x3y4)3的值是[ ]A．-6x6y7；B．-8x27y64；C．-8x9y12；D．-6xy10．7．下列计算中，[ ](1)b(x-y)=bx-by，(2)b(xy)=bxby，(3)b x-y=b x-b y，(4)2164=(64)3，(5)x2n-1y2n-1=xy2n-2．A．只有(1)与(2)正确；B．只有(1)与(3)正确；C．只有(1)与(4)正确；D．只有(2)与(3)正确．8．(-6x n y)2·3x n-1y的计算结果是[ ]A．18x3n-1y2；B．-36x2n-1y3；C．-108x3n-1y；D．108x3n-1y3．9．下列计算正确的是[ ]A．(6xy2-4x2y)·3xy=18xy2-12x2y；B．(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1；C．(-3x2y)(-2xy+3yz-1)=6x3y2-9x2y2z2-3x2y；10．下列计算正确的是[ ]A．(a+b)2=a2+b2；B．a m·a n=a mn；C．(-a2)3=(-a3)2；D．(a-b)3(b-a)2=(a-b)5．11．把下列各题的计算结果写成10的幂的形式，正确的是[ ]A．100×103=106；B．1000×10100=103000；C．1002n×1000=104n+3；D．1005×10=10005=1015．12．t2-(t+1)(t-5)的计算结果正确的是[ ]A．-4t-5；B．4t+5；C．t2-4t+5；D．t2+4t-5．(三)计算1．(6×108)(7×109)(4×104)．2．(-5x n+1y)·(-2x)．3．(-3ab)·(-a2c)·6ab2．4．(-4a)·(2a2+3a-1)．5．5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)．6．(2x-3)(x+4)．7．(-2a m b n)(-a2b n)(-3ab2)．8．(5a3+2a-a2-3)(2-a+4a2)．9．(3x4-2x2+x-3)(4x3-x2+5)．10．(3a m+2b n+2)(2a m+2a m-2b n-2+3b n)．。
整式乘法公式
整式乘法公式
整式乘法公式是指将一个整式乘以另一个整式，并得出最终结果的一种公式。
整式乘法公式可以用来解决各种数学问题，例如求解多项式的乘积、积分运算等。
整式乘法公式的基本结构是：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd，其中a,b,c,d分别是整式中的四个单项，ac表示a乘以c的积，ad表示a 乘以d的积，bc表示b乘以c的积，bd表示b乘以d的积，最后结果是ac+ad+bc+bd。
整式乘法公式可以用来解决多项式的乘积问题。
首先，需要将多项式分解成单项，并用整式乘法公式进行运算。
例如，求解(x-2)(x+3) 的积，首先将其分解为(x-2)(x) + (x-2)(3)，然后根据整式乘法公式，最终结果为x^2-2x+3x-6，即 x^2+x-6。
另外，整式乘法公式也可以用来解决积分运算问题。
积分运算是求解一个函数在一定区间上的积分，例如求解 f(x) = x^2+3x+2 在区间[0,1] 上的积分。
首先，将函数f(x) 进行分解，即f(x) = (x+2)(x+1)，然后根据整式乘法公式，最终结果为x^2+3x+2，即积分的结果为x^3/3+3x^2/2+2x。
总之，整式乘法公式是一种非常有用的公式，它可以用来解决多项式的乘积以及积分运算等多项数学问题。
在解决这些数学问题时，
要特别注意把握整式乘法公式，才能得到正确的答案。
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乘法公式专项过关训练
一计算
(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) (1) (x+6)2 （3） (y-5)2
(4) (-2x+5)2 (5) (
34x-23y)2 (6) (y+3x)(3x-y) (7) (-2+ab)(2+ab)
(8) (2x-3)2 (9) (-2x+3y)(-2x-3y) (10) (12m-3)(12
m+3)
(11) (13
x+6y)2 (12)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(13) (x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) (14) (a+2b-1)2
(15) (2x+y+z)(2x-y-z) （16）22)2()2()2)(12(+---+-x x x x
(17)1241221232⨯- （18）(2x ＋3)(2x －3)－(2x-1)2
(19）、(2x ＋y ＋1)(2x ＋y －1) （20）)3)(12(--x x
二、判断正误：对的画“√”，错的画“×”.
(1)(a-b)(a+b)=a 2-b 2； （ ） (2)(b+a)(a-b)=a 2-b 2； （ ）
(3)(b+a)(-b+a)=a 2-b 2； （ ） (4)(b-a)(a+b)=a 2-b 2； （ ）
(5)(a-b)(a-b)=a 2-b 2. （ ） (6)(a+b)2=a 2+b 2； （ ）
(7)(a-b)2=a 2-b 2； （ ） (8)(a+b)2=(-a-b)2； （ ）
(9)(a-b)2=(b-a)2. （ ）
三、填空题
6、______________)3)(32(=-+y x y x ；
7、_______________)52(2=+y x ；
8、______________)23)(32(=--y x y x ；
9、______________)32)(64(=-+y x y x ；
10、________________)22
1(2=-y x 11、____________)9)(3)(3(2=++-x x x ；
12、___________1)12)(12(=+-+x x ；
13、4))(________2(2-=+x x ；
14、_____________)3)(3()2)(1(=+---+x x x x ；
15、____________)2()12(22=+--x x ；
16、224)__________)(__2(y x y x -=-+；
17、______________))(1)(1)(1(42=++-+x a x x x
18、 如果多项式92+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是 。
19、如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，则k 的值是 。
20、()()_________22=--+b a b a ()__________2
22-+=+b a b a 四、1、已知12,3-==+ab b a ，求下列各式的值．（1）22b ab a +- （2） 2)(b a -．
2、．已知________,60,172=+==+y x xy y x 2则
五、计算 1、______________12()12)(12)(12(242=++++）n
K
______________12979899100222222=-+⋯⋯+-+-
2、若13a a +=,则221a a
+的值是 。
六、图a 是一个长为2 m 、宽为2 n 的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形, 然后按图b 的形状拼成一个正方形。
图a
图b
(1)你认为图b 中的阴影部分的正方形的边长等于 。
(2)请用两种不同的方法求图b 中阴影部分的面积。
方法1：
方法2：
(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式: ()(). , ,2
2mn n m n m -+
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：
若5,7==+ab b a ，求2)(b a -的值。
七、阅读填空。
（1）. ①(x-1)(x+1)＝x 2-1 ②（x-1）(12++x x )＝x 3-1
③（x-1）(x 3+12++x x )＝x 4-1
④（x-1）(x 4+x 3+12++x x )＝x 5-1
（2）.根据上述规律，并用你发现的规律直接写出下列各题的结果。
①（x-1）(x 6+x 5+x 4+x 3+12++x x )＝ ②若（x-1）•Φ=12008-x
，求Φ ， Φ＝。