抽象函数图像的对称问题

抽象函数图象的对称问题

关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =

+2对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b =+2的对称点为()A a b m n '+-，。

[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--==

∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。

二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =

-2对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2的对称点为()A b a m n '--，。

∵f b b a m f a m n [()]()---=+=

∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =

-2

的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知，函数y f x a b =++⎛

⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭

⎪2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣

⎢⎤⎦⎥=+22()的图象，由y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦

⎥=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2

对称。

三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +⎛⎝ ⎫⎭

⎪2，对称。 证明：设点()A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +⎛⎝ ⎫⎭⎪2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。

[]∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222

∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +⎛⎝ ⎫⎭⎪2，对称

说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。

四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭

⎪2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭⎪2，的对称点为()A b a m c n '---，2

()[]()∵222c f b b a m c f a m c n ----=-+=- ∴点A'在()y c f b x =--2的图象上

反过来，同样可以证明，函数y c f b x =--2()图象上任一点关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭

⎪2，的对称点在函数y f a x =+()图象上。

故函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭⎪2，对称。

说明：此命题同样可以从图象变换的角度去理解。