非线性粘滞性阻尼器的结构运动方程的解法

非线性粘滞性阻尼器的结构运动方程的解法
提要：本文基于国内外现有的粘滞阻尼器性能试验和计算研究，提出单自由度粘滞阻尼器的计算方法文中给出了粘滞阻尼器非线性运动方程的解法，并运用该方法进行了大量的比较计算，研究了这种解法的精度.
关健词：非线性粘滞阻尼器sap2000
１引言
粘滞性阻尼器是抗震被动控制中的一种十分有效的耗能减震装置，一般是由缸体、活塞和流体组成。

活塞在缸筒内可作往复运动活塞上有适量小孔，筒内盛满流体，利用活塞在粘滞性流体中运动消耗地震时输入结构的能量。

国内外关于粘滞性阻尼器的数值计算和试验研究都很多，但大多数都局限于将其简化为线性阻尼器模型再进行计算。

但是当一个长周期的结构承受强烈的地面振动时，线性的粘滞性阻尼器会产生额外的阻尼力，这对结构来说是不利的，而非线性的粘滞阻尼器则不同，它不但在结构运动速度很快时提供阻尼力，而且可以有效的限制阻尼力的幅值。

采用非线性时程分析的方法求解单自由度系统的非线性的运动方程，可以得出系统在动力荷载作用下的反应。

目前，国内外学者对粘滞性阻尼器多采用等效刚度等效阻尼模型进行非线性时程分析。

但是等效模型将粘滞性阻尼器的刚度、阻尼均简化为线性，会导致阻尼器应力应变曲线有一定程度的失真，将直接影响到减震结构的时程分析结果。

为了保证减震结构设计的安全可靠，有必要对设有粘滞阻尼器的消能减震结构进行更加深人，更加准确的非线性时程分析。

为此，本文提出了一种非线性时程分析的计算方法.
２非线性粘滞阻尼器
非线性粘滞阻尼器的力和位移的关系可以写成：
（１）
其中为对应不同速度指数ａ值零频率时的阻尼系数，ａ为正实数指数，其变化范围在0.1—1.0之间。

符号ｓｇｎ（Ｄ）是一个正负符号函数。

当ａ=１时，方程（１）可写为
，这时方程表示的是线性的粘滞性阻尼器；当=０时，方程（1）可写为，这时方程表示的是纯摩擦阻尼器。

因此ａ为非线性粘滞阻尼器的非线性特征量。

３单自由度系统的非线性运动方程的解法
安装有粘滞性阻尼器的单自由度系统运动方程为：
(2)
其中ｍ为质量，ｋ为弹性刚度，ｃ为线性阻尼系数，为地面运动加速度。

当，时，方程（２）为非线性方程。

在逐步积分的过程中，设时间步长加ｔ，使用Ｗｉｌｓｏｎ- 无条件稳定的积分方法，采用下列假设：
设，代替上式的，上式可改写为
因为粘滞阻尼器的系统非线性运动方程中，速度项为非线性项，因此在ｔ十时刻，用速度项来代替位移和加速度项，则：
ｔ十时刻的加速度为：
那么将式（５），（６）带入方程（２）在ｔ十时刻的系统运动方程（２）可写为：
式（７）是关于的非线性方程，通过Ｎｅｗｔｏｎ－Ｒａｐｈｓｏｎ等求解非线性方程的数值方法即可求解出。

则ｔ＋时刻的加速度、速度和位移为：
４与ｓａｐ２０００的算法比较
为了验证这种方法的精度，考虑单自由度系统在四种不同工况下（详见表１），与sap2000的算法进行比较。

其中sap2000程序中所采用的是等效线性化模型来求解非线性运动方程。

单自由度体系的质量为10000ｋｇ，刚度为43865ＫＮ／ｍ，结构的阻尼比为５％，则系统的周期为，非线性阻尼比为５％ａ输人的地震波为ＥＬ波８度多遇地震。

图１、２、３、４是单自由度非线性阻尼器在多地震荷载作用下位移时程曲线，其中粗线为本文所提出的算法求解出的位移，细线为sap2000所用算法求解出的位移。

表２为在四种工况下，本文所提出的算法求解出的位移、速度和加速度曲线和sap2000所用算法求解出的位移、速度加速度曲线的Ｐｅａｒｓｏｎ乘积矩相关系数其中Ｐｅａｒｓｏｎ乘积矩相关系数，ｒ，是一个范围在-1.0到1.0之间的无量纲指数反映了两个数据集合之间的线性相关程度）。

从图２、３、４和表２中工况二、三、四可以看出当非线性阻尼指数“大于0.2时，本文算法与sap2000 的算法拟合程度非常的高，这种情况下，本文的算法和sap2000所用的等效线性化算法差别不大，表明sap2000在此工况下对粘滞非线性阻尼器进行线性简化具有其合理性。

但图１和表２中工况一的计算结果表明当非线性阻尼指数ａ等于0.2时，本文的算法和sap2000所用的等效线性化算法就有显见差别。

当非线性阻尼指数ａ小于0.2时，差别越趋明显。

这主要是因为sap2000所采用的等效线性化模型，将粘滞阻尼器的刚度、阻尼均简化为线性，这样将阻尼器的应力应变的滞回曲线都假设为椭圆形，而在ａ小于等于0.2时，阻尼器的滞回曲线接近了矩形，这导致等效线性化模型的失真，而本文所提出的算法没有进行任何线性假设，在ａ小于等于0.2时的与等效线性化算法相比更加的精确。

６结论:
本文所提出的求解粘滞阻尼器的非线性方程的方法十分的精确，尤其是在非线性阻尼指数“小于等于0.2时，与等效线性的算法相比更加精确。

参考文献
1.T.T,Soong and G..F.darguush.Passive Energy dissipation System in structural Engineering.State University of New York at buffalo,1997.
2.R.W.Clough and J.Penzien.Dynamics of Structures.McGraw Hill.New York.1975
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。