平面向量夹角的计算方法

平面向量夹角的计算方法

【知识要点】

一、两个非零向量的夹角的概念

已知非零向量a r 与b r ，作,,OA a OB b ==u u u r r u u u r r

，则(0)AOB θθπ∠=≤≤叫a 与b 的夹角.当0θ=时a r 与

b r 同向；当θπ=时，a r 与b r 反向；当2

π

θ=时，a r 与b r 垂直，记a b ⊥r r .

（1）对于0,r

不谈它与其它向量的夹角问题.

（2）a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r

,确定向量a r 与b r 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如：

A AC A

B ∠>=<, 但是B B

C AB ∠>≠<, B BC AB ∠->=<π,

二、求两个向量的夹角一般有两种方法

方法一：cos ,a b

a b a b

<>=u u r r

r r g r r

方法二：设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，θ为向量a r 与b r

的夹角，则121222221

1

2

2

cos x y x y

θ=

+⋅+

【方法讲评】 方法一 利用公式cos ,a b

a b a b

<>=u u r r

r r g r r 求解.

使用情景 一般没有坐标背景.

解题步骤 先求a b r r g

，||,||a b r r ，再代入公式cos ,a b

a b a b

<>=u u r r

r r g r r 求解.

【例1】已知,2,x a b y a b =+=+r r r u r r r 且||||1,.a b a b ==⊥r r r r

（1）求||||x y r u r 和；（2）求,x y r u r

夹角的余弦值.

【点评】（1）22

2||||a a a a ==r r r r 和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用

公式cos ,a b

a b a b

<>=u u r r

r r g r r 求解时，要先求a b r r g

，||,||a b r r 这些基本量，再代入公式. 【反馈检测1】已知,a b r r

都是非零向量，且3a b +r r 与75a b -r r 垂直，4a b -r 与72a b -r r 垂直，求a r 与b r 的

夹角.

方法二 利用公式121222221

1

2

2

cos x x y y x y x y

θ+=

+⋅+求解.

使用情景 一般有坐标背景.

解题步骤

先求出,a b r r

的坐标，再代入公式121222221

1

2

2

cos x x y y x y x y

θ+=

+⋅+求解.

【例2】 如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02

ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1).

（Ⅰ）求ϕ的值；

（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM u u u u r 与PN u u u

r 的夹角的余弦.

【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1

sin .2

ϕ= 因为02

π

ϕ≤≤

，所以6

π

ϕ=

.

【点评】 此类问题的一般步骤是：先求,a b r r

的坐标，再12122

2221

1

2

2

cos x y x y

θ=+⋅+求解. 学科@网

【反馈检测2】||1,||3,3,1a b a b ==+=r r r r

已知）， ||a b a b a b -+-r r r r r r

（1）试求；（2）与的夹角.

参考答案

【反馈检测1答案】

3

a b

π

r r

与的夹角为

【反馈检测2答案】（1）2；（2）

2

3

π.

【反馈检测2详细解析】

22

2

||()242

a b a b a a b b a b

-=-=-+=-

r r r r r r r r r r

g g

(1)

22

||224424

a b a a b b a b

+=∴++=∴+=

r r r r r r r r

Q g g

20||42

a b a b

∴=∴-==

r r r r

g

(2)设两个向量的夹角为α，

22

()()131

442

||||

a b a b a b

a b a b

α

+---

∴===-

-+

r r r r r r

g

r r r r

cos=

2

3

απαπ

<<∴=

Q