(完整版)复数的基本概念和几何意义

一、考点、热点回顾

1. 复数的有关概念 （1）复数

① 定义：形如 a ＋ bi （ a ， b ∈ R ）的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i 2＝－ 1. ② 表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z ＝ a ＋bi （ a ，b ∈ R ），这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数 z 的实部， b 叫做复数 z 的虚部 .

注意：复数 m ＋ni 的实部、虚部不一定是 m 、 n ，只有当 m ∈R ，n ∈R 时，m 、n 才是该复数的实部、虚部 . （ 2）复数集

①定义：全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示：通常用大写字母 C 表示 .

2. 复数的分类

实数（ b ＝0）

2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

3. 复数相等的充要条件

设 a 、 b 、 c 、 d 都是实数，则 a ＋bi ＝c ＋di? a ＝c 且 b ＝d ，a ＋bi ＝0?a ＝b ＝0. 注意：（1）应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）的形式，即分离实部和虚 部.

2）只有当 a ＝c 且 b ＝d 的时候才有 a ＋bi ＝c ＋di ，a ＝ c 和 b ＝d 有一个不成立时，就有 a ＋bi ≠c ＋ di.

3）由 a ＋ bi ＝ 0，a ，b ∈R ，可得 a ＝0 且 b ＝ 0. 4.

复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实

数；除了

原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 .

6.复数的模

复数 z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）对应的向量为 O →Z ，则O →Z 的模叫做复数 z 的模，记作 |z|，且 |z|＝ a 2＋b 2. 注意：复数 a ＋bi （a ， b ∈R ）的模 |a ＋ bi|＝ a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以 比较大小 .

考点一、复数的概念 例 1、下列命题：

①若 a ∈ R ，则（ a ＋1）i 是纯虚数； ②若 a ，b ∈R ，且 a>b ，则 a ＋i>b ＋ i ；

复数

1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）

虚数（ b ≠0）

纯虚数 a ＝ 0 非纯虚数

5.复数的两种几何意义 （ 1）复数 z ＝a ＋bi （a ， b ∈R ）

一一对应

←一

―一对

―应

→复平面内的点

Z （a ，b ） 一一对应

←―

平面向量 O →Z.

典型例题

③若（ x2－ 4）＋（ x2＋3x＋ 2）i 是纯虚数，则实数 x＝±2；④实数集是复数集的真子集 .

其中正确的是（ ） A. ① B.② C.③ D.④

【解析】 对于复数 a ＋bi （a ，b ∈R ），当 a ＝0且 b ≠0 时，为纯虚数 .对于① ，若 a ＝－ 1，则（ a ＋1）i 不 是纯虚数，即 ①错误.两个虚数不能比较大小，则 ②错误.对于 ③，若 x ＝－2，则 x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时 （x 2－4）＋（ x 2＋3x ＋2）i ＝0，不是纯虚数，则 ③错误 .显然，④正确 .故选 D.

【 答案】 D 变式训练 1、 1.对于复数 a ＋ bi （ a ，b ∈R ），下列说法正确的是（ A. 若 a ＝0，则 a ＋bi 为纯虚数

B. 若 a ＋（ b －1）i ＝3－2i ，则 a ＝ 3，b ＝－ 2

C. 若 b ＝0，则 a ＋bi 为实数

D. i 的平方等于 1 解析： 选 C.对于 A ，当 a ＝0 时， a ＋bi 也可能为实数； 对于 B ，若 a ＋（ b － 1） i ＝ 3－ 2i ， 对于 D ，i 的平方为－ 1.故选 C.

2. 若 4－3a －a 2i ＝a 2＋4ai ，则实数 A.1 C.－4 4 － 3a ＝ a 2

，

解析： 选 C.易知 2 解得

－a 2

＝4a ， 考点二、复数的分类

例 2、已知 m ∈R ，复数 z ＝m （m ＋2）

m －1

（1）z 为实数？（ 2）z 为虚数？（ 3） z 为纯虚数？

则 a ＝3，b ＝－ 1；

a 的值为（ ） B.1 或－ 4

D.0 或－ 4 a ＝－ 4. （m 2＋2m －3）i ，当 m 为何值时，

解】 2） 要使

1）要使 z 为实数， m 需满足 m 2＋2m －3＝0，且 m （ m ＋ 2）有意义，即 m －1≠0，解得 m ＝－

3. m －1 z 为虚数， m 需满足 m 2＋ 2m － 3≠ 0，且m （ m ＋ 2）

有意义，即 m －1≠ 0，解得 m ≠1 且

m ≠－3. m －1

3） 要使

z 为纯虚数， m 需满足

m （ m ＋ 2）

变式训练 2、 当实数 m 为何值时，复数 纯虚数；

（ 2）实数 . ＝0，且 m 2

＋2m －3≠0，解得 m ＝0 或

－ 2. m －1

lg （ m 2－ 2m － 7）＋（ m 2＋ 5m ＋ 6） i 是

解：（1）复数 lg （ m 2

－ 2m － 7）＋ m 2＋5m ＋6）i 是纯虚数，则

lg 2（m2－2m －7）＝0，

m 2

＋ 5m ＋6≠0，

解得 m ＝ 4.

m

2

－2m －7>0 ，

2）复数 lg （ m 2

－ 2m － 7）＋（ m 2

＋ 5m ＋ 6） i 是实数，则 m 2＋5m ＋6＝0，

解得 m ＝－ 2 或 m ＝－ 3.

考点三、复数相等 例 3、

（ 1） 3） 若（ x ＋y ）＋ yi ＝（ x ＋1）i ，求实数 x ，y 的值；

已知 a 2＋（m ＋2i ）a ＋2＋mi ＝0（m ∈R ）成立，求实数 a 的值； 若关于 x 的方程 3x 2－ a 2x － 1＝（ 10－ x － 2x 2）

求实数 a 的值 . x ＋y ＝0， 解】 （ 1）由复数相等的充要条件，得

解得 y ＝x ＋1， 1 x ＝－ 2， 2）因为 a ，m ∈ R ，所以由 a 2

＋ am ＋2＋（ 2a ＋m ）i ＝ 0，可得 1

y ＝12. a 2＋ am ＋2＝0， 2a ＋ m ＝0，

解得

a m ＝＝－22，

2或 a ＝－ 2， m ＝ 2 2， 所以 a ＝ ± 2.

（ 3）设方程的实根为 x ＝ m ，

则原方程可变为 3m 2－a 2m －1＝（ 10－m －2m 2） i ，